23数学归纳法(上xin课)

1、2.3 数学归纳法数学归纳法课题引入课题引入不完全归不完全归纳法纳法,1, 1,11nnnnaaaaa 已已知知观观察察数数列列,212 a,313 a,414 anan1: 猜想归纳通项公式猜想归纳通项公式回想等差数列通项公式的推倒过程：回想等差数列通项公式的推倒过程：像这种由像这种由一系列特殊事例一系列特殊事例得出得出一般结论一般结论的推理的推理方法，叫做方法，叫做归纳法归纳法。21aad32aad43aad.211aad32aad312aad43aad413aad.110aad1234,:a a a a由的表达式 我们得到11naand*,nN对一切都有费马（费马（Fermat）是）是1

2、717世纪法国著名的数学世纪法国著名的数学家，他曾认为，当家，他曾认为，当n nN N时，时， 一定都是一定都是质数，这是他观察当质数，这是他观察当n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4时时的值都是质数，提出猜想得到的半个世的值都是质数，提出猜想得到的半个世纪后，纪后，1818世纪伟大的瑞士科学家欧拉世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现）发现 4 294 967 2974 294 967 29767004176700417641641，从而否定了费马的推，从而否定了费马的推测没想到当测没想到当n n5 5这一结论便不成立这一结论便不成立 122n1252思考：归纳法有什么优点和缺点

3、？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：优点：可以帮助我们从一些具体事可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律例中发现一般规律缺点：缺点：仅根据有限的特殊事例归纳仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的得到的结论有时是不正确的 在使用归纳法探究数学命题时，必在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。判别命题正确与否。思考思考1 1：与正整数：与正整数n n有关的数学命题能否有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？通过一一验证的办法来加以证明呢？思考思考2 2：如果一个数学命题与正整数：如果一个数学命题

4、与正整数n n有有关关, ,我们能否找到一种既简单又有效的证我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？明方法呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？倒下的条件是什么？多米诺骨牌（多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨）是一种用木制、骨制或制或塑料塑料制成的长方形制成的长方形骨牌骨牌。玩时将骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运

5、动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于多米诺是种文化。它起源于中国中国，有着上千年的历史。，有着上千年的历史。 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。一定导致后一块倒下。 （依据

6、）（依据） 条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系：当）事实上给出了一个递推关系：当第第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。思考：你认为证明数列的通项公式思考：你认为证明数列的通项公式 这这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？nan1 （1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下；（基础）（基础）nanaaaaannnnn1), 3 , 2 , 1(1111证明：，已知对于数列成立；时，）当证明：（111111an时，假设当kn )2(成立，kak1时，则当

7、1knkkkaaa11kk111，11k也成立，.121nan）知，）（综上（), 1(kk (1)(1)是是递推的递推的基础基础 (2)(2)是是递推的递推的依据依据 这种证明方法就是数学归纳法这种证明方法就是数学归纳法都成立。何对任时等式都成立，即等式，知道推下去，就时等式也成立，这样递），时等式成立，再根据（也成立。由于时等式），时等式成立，再根据（），：根据（上述结论是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 数学归纳法的概念：数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数定义：对于某些与正整数n有关的命题常有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：常采用下面的方法来

8、证明它的正确性：1.先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立时命题成立 (归纳奠基归纳奠基） ；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立(归纳递推归纳递推）。）。这种证明方法就叫做这种证明方法就叫做_。数学归纳法数学归纳法验证验证n=n0时时命题成立命题成立若若n=k(kn0)时命题成立时命题成立,证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立.归纳奠基归纳奠基假设递推假设递推命题对从命题对从n0开始所有开始所有的正整数的正整数n都成立都成立例例1 1：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：

9、1+3+5+ 1+3+5+(2n-1)n2 dnaan)1(1 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 公差为公差为 ，那么，那么na1ad对一切对一切 都成立都成立 Nn 试用数学归纳法证明试用数学归纳法证明练习：练习：思考思考1 1：试问等式：试问等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？学得到的结论正确吗？解解: :设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4+6+2kk2

10、+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何所以等式对任何nNnN* *都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何下，就断言等式对任何nNnN* *都成立，为时尚早都成立，为时尚早证明：当证明：当n=1时，左边时，左边,21右边右边,212111 假假设设n=k时，时，等式成立

11、，等式成立，,2112121212132kk 那么那么n=k+1时时 1322121212121kk等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考2 2：下面是某同学：下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程, ,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？它符合数学归纳法的证

12、明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132 因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一题的两个步骤，缺一不可。第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。缺了第一步递推失。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。依据，因此无法递推下去。例题例题2用数学归纳法证明用数学归纳法证明6) 12)(1(3212222nnnn证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是1

13、63216) 12)(1(3212222kkkk那么那么 61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立。都成立。用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值明确首取值n n0 0并验证真假。（必不可少）并验证真假。（必不可少） “假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命

14、题形式。并写出命题形式。分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=kn=k”时时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并并 用上假设。用上假设。思考思考：步骤步骤 (1) 中中n取的第一个值取的第一个值n0一一定是定是1吗？为什么？吗？为什么？答：不一定答：不一定举例说明：举例说明：用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n边形边形 的对角线的条数是的对角线的条数是32n n30n此时此时n n取的第一值取的第一值2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时命题成立等）时命题成立 10 nn0n递推基递推基础础 （2）假设假设 时时命题成立命题成立 证明证明 时命题也成立时命题也成立 )N(0nkkkn 且且1 kn递推依据递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始开始 的的所有正整数所有正