计量地理学第4章第3节时间序列分析

1、时间序列分析时间序列分析v时间序列分析的基本原理 v趋势拟合方法v季节变动预测 一、时间序列分析的基本原理一、时间序列分析的基本原理 （一）时间序列的组合成份 长期趋势（T），是时间序列随时间的变化而逐渐增加或是时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少的长期变化之趋势。减少的长期变化之趋势。 在时间数列的分析中，可以每小时、每天、每星期、每月、在时间数列的分析中，可以每小时、每天、每星期、每月、每年或每隔任何一段时间进行测量。尽管时间数列的资料一般每年或每隔任何一段时间进行测量。尽管时间数列的资料一般呈现随机起伏的形态，但在一段较长的时间内，时间序列仍然呈现随机起伏的形态，但在一段较长的时间内，时

2、间序列仍然呈现逐渐增加或逐渐减少的转变或变化。时间数列的逐渐转变呈现逐渐增加或逐渐减少的转变或变化。时间数列的逐渐转变称为时间数列的趋势，这种转变或趋势通常是长期因素影响的称为时间数列的趋势，这种转变或趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变化、人口总体统计特征的变化、方法的结果，如人口总量的变化、人口总体统计特征的变化、方法的变化和顾客偏爱的变化等都是长期因素。变化和顾客偏爱的变化等都是长期因素。 季节变动（S），是时间序列在一年中或固定时间内，是时间序列在一年中或固定时间内，呈现出的固定规则的变动。呈现出的固定规则的变动。 季节周期：通常以“年”为周期、也有以“月、周、日”为周期的准季

3、节变动。4本例给出了1992年第一季度至2008年第三季度我国GDP季度数据（单位：亿元）。 循环变动（S），是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景气循环变动又称景气循环变动(Business Cycle Movement) (Business Cycle Movement) 。尽管一个时间数列可以显示长期趋势，但时间数尽管一个时间数列可以显示长期趋势，但时间数列的所有未来值不可能准确地落在趋势线上。事实上，列的所有未来值不可能准确地落在趋势线上。事实上，时间数列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。任何时时间数列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。任何时间间隔超过一

4、年的环绕趋势线上、下的波动都可归结间间隔超过一年的环绕趋势线上、下的波动都可归结为时间数列的循环成分。为时间数列的循环成分。如：经济增长中：“繁荣衰退萧条复苏繁荣”商业周期。固定资产或耐用消费品的更新周期等。不规则变动（I），是指在时间序列中由于随机因素影响是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的变动。所引起的变动。 时间数列的不规则成分是剩余的或时间数列的不规则成分是剩余的或“包罗万象包罗万象”的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成分的给定期望值后，时间数列值的真正偏差。不规分的给定期望值后，时间数列值的真正偏差。不规则成分是由那些影响时间数

5、列的短期的、不可预期则成分是由那些影响时间数列的短期的、不可预期的和不重复出现的因素引起的。因为这种成分说明的和不重复出现的因素引起的。因为这种成分说明时间数列中的随机变动、所以它是无法预测的，我时间数列中的随机变动、所以它是无法预测的，我们不能预测它对时间数列的影响。们不能预测它对时间数列的影响。 n经济系统的内部因素n自然因素n制度性因素n规律性低n固定周期n循环n季节n波动成因n周期规律n变动n季节变动和循环变动的比较（二）时间序列的组合模型 加法模型，假定时间序列是基于四种成份相加而成的。假定时间序列是基于四种成份相加而成的。长期趋势并不影响季节变动。若以长期趋势并不影响季节变动。若以

6、Y Y表示时间序列，则表示时间序列，则加法模型为：加法模型为：Y=T+S+C+I Y=T+S+C+I 乘法模型乘法模型，假定时间序列假定时间序列是是基于四种成份相乘而成的。基于四种成份相乘而成的。假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为：的方程式为：ISCTY二、趋势拟合方法二、趋势拟合方法时间序列分析的平滑法主要有三类时间序列分析的平滑法主要有三类 ：1.移动平均法移动平均法:设某一时间序列为设某一时间序列为 y1，y2，yt，则，则t+1时刻的预测值为时刻的预测值为： 式中，式中， 为为t点的移动平均值，点的移动平均值，n称为移

7、动时距。称为移动时距。 )(1111101ntttntttnjjttyynynyyyynyty （一）平滑法（一）平滑法 移动平均法使用时间数列中移动平均法使用时间数列中最近几个时期数最近几个时期数据值的平均数作为下一个时期的预测值。据值的平均数作为下一个时期的预测值。因此，因此，移动平均数的计算公式如移动平均数的计算公式如下：下： 使用使用“移动移动”项是因为每一时期新的观测值项是因为每一时期新的观测值对时间数列都是有用的，用它代替式中最旧的观对时间数列都是有用的，用它代替式中最旧的观测值，可计算一个新的平均数。因此，当新的观测值，可计算一个新的平均数。因此，当新的观测值变得有用时，平均数将

8、变化或移动。测值变得有用时，平均数将变化或移动。 年份粮食产量三点移动五点移动1990 3149.44 1991 3303.66 1992 3010.30 1993 3109.61 3154.47 1994 3639.21 3141.19 1995 3253.80 3253.04 3242.44 1996 3466.50 3334.21 3263.32 1997 3839.90 3453.17 3295.88 1998 3894.66 3520.07 3461.80 1999 4009.61 3733.69 3618.81 2000 4253.25 3914.72 3692.89 2001 4

9、101.50 4052.51 3892.78 2002 4119.88 4121.45 4019.78 2003 4258.65 4158.21 4075.78 2004 4401.79 4160.01 4148.58 2.2. 滑动平均法滑动平均法 ：其计算公式为其计算公式为 式中，式中， 为为t点的滑动平均值，点的滑动平均值，L L为单侧平滑时距。为单侧平滑时距。 若若L=1，则上式称为三点滑动平均，其计算公式为，则上式称为三点滑动平均，其计算公式为 若若L=2，则称为五点滑动平均，则称为五点滑动平均， 其计算公式为其计算公式为)(12111) 1(lttttltlttyyyyyylyty

10、 3/)(11ttttyyyy5/ )(2112ttttttyyyyyy年份粮食产量三点滑动五点滑动1990 3149.44 1991 3303.66 3154.47 1992 3010.30 3141.19 3242.44 1993 3109.61 3253.04 3263.32 1994 3639.21 3334.21 3295.88 1995 3253.80 3453.17 3461.80 1996 3466.50 3520.07 3618.81 1997 3839.90 3733.69 3692.89 1998 3894.66 3914.72 3892.78 1999 4009.61

11、4052.51 4019.78 2000 4253.25 4121.45 4075.78 2001 4101.50 4158.21 4148.58 2002 4119.88 4160.01 4227.01 2003 4258.65 4260.11 2004 4401.79 3.指数平滑法 一次指数平滑一次指数平滑 为平滑系数。一般时间序列较平稳，为平滑系数。一般时间序列较平稳，取值可小取值可小一些一些一般取一般取（0.05, 0.3） ；若时间序列数据起伏；若时间序列数据起伏波动比较大，则波动比较大，则应取较大的值应取较大的值一般取一般取（0.7, 0.95）。 ttnjjtjtyyyy)1(

12、)1(101 高次指数平滑法 一次指数平滑法 二次指数平滑法的预测公式 为 二次指数平滑法的预测公式为其中 )1(1)1()1(tttSyS)2(1)1()2()1(tttSSSKbayttkt)2()1(2tttSSa)(1)2()1(tttSSb 高次指数平滑法 三次指数平滑法的预测公式 为 2KcKbaytttkt三种最常用的趋势线 直线型趋势线直线型趋势线指数型趋势线指数型趋势线 抛物线型趋势线抛物线型趋势线 btaytttaby2ctbtayt（二）趋势线法（二）趋势线法利用趋势推测法进行预测：例题利用趋势推测法进行预测：例题1考虑某工厂过去考虑某工厂过去1010年的自年的自行车销售

13、量时间数列，资行车销售量时间数列，资料见表料见表1 1。第。第1 1年销售了年销售了2121 600600辆，第辆，第2 2年销售了年销售了2222 900900辆，辆，第，第1010年年（即最近一年）销售了（即最近一年）销售了3131 400400辆。尽管图辆。尽管图1 1显示在显示在过去过去1010年中销售量有上、年中销售量有上、下波动，但时间数列总的下波动，但时间数列总的趋势是增长的或向上的。趋势是增长的或向上的。表表1 自行车销售量时间数列自行车销售量时间数列 年年/t销售量销售量/千辆千辆年年/t销售量销售量/千辆千辆121.6627.5222.9731.5325.5829.7421

14、.9928.6523.91031.4 不想关注时间数列的每一时间趋势成分和每一次不想关注时间数列的每一时间趋势成分和每一次向上或向下的波动。但趋势成分将反映时间数列的向上或向下的波动。但趋势成分将反映时间数列的一种逐渐的变动，如这个例子中波动是向上的。在一种逐渐的变动，如这个例子中波动是向上的。在观察了表观察了表1中的时间数列资料和图中的时间数列资料和图1之后，我们认为之后，我们认为在图在图2中显示的线性趋势，可对时间数列的长期运中显示的线性趋势，可对时间数列的长期运动提供合理的描述。动提供合理的描述。 图图1 自行车销售时间序列图形自行车销售时间序列图形 图图2 用线性函数对自行车销售量的趋

15、势描述用线性函数对自行车销售量的趋势描述 用自行车销售量的资料，来说明应用回归分析确用自行车销售量的资料，来说明应用回归分析确定线性趋势的计算问题。用最小二乘法来发现两个变定线性趋势的计算问题。用最小二乘法来发现两个变量的线性关系，建立自行车销售量时间数列的线性趋量的线性关系，建立自行车销售量时间数列的线性趋势的方法。回归分析来估计时间和销售量之间的关系。势的方法。回归分析来估计时间和销售量之间的关系。描述自变量描述自变量x和因变量和因变量y之间线性关系的估计回归方程之间线性关系的估计回归方程为：为： 为了强调在这个预测中自变量是时间这一事实，我们用t来替代式中的x。另外，我们用Tt取代 y

16、，因此被估计的销售量可表示为时间的函数，其表达式如下： 式中式中: Ttt期时间数列的趋势值；期时间数列的趋势值； b0线性趋势的截距；线性趋势的截距； b1线性趋势的斜率；线性趋势的斜率； t 时间。时间。 T时间数列的平均值，即时间数列的平均值，即: t的平均值，即的平均值，即 式中式中: Ttt期时间数列的值；期时间数列的值； n 时期的个数；时期的个数； =t/n。根据计算根据计算b0和和b1的关系式及表的关系式及表11-1的自行车销售量资料，有如下计算结果的自行车销售量资料，有如下计算结果:因此，自行车销售量时间数列的线性趋势成分的表达式为因此，自行车销售量时间数列的线性趋势成分的表

17、达式为 Tt=20.4+1.1t1.自相关性判断 时间序列的自相关，时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。 测度测度:设设y1，y2，yt，yn，共有，共有n个观察值。把前后相个观察值。把前后相邻两期的观察值一一成对，便有（邻两期的观察值一一成对，便有（n1）对数据，即）对数据，即(y1,y2)，(y2,y3)，(yt,yt+1)，(yn-1,yn)。其一阶自相关系数。其一阶自相关系数r1为为 1111211211111)()()(ntntttttntttttyyyy

18、yyyyr（三）自回归模型（三）自回归模型二阶自相关系数r2为k阶自相关系数为 2121222221222)()()(ntntttttntttttyyyyyyyyrkntkntktktktkntktktttkyyyyyyyyr11221)()()(一阶自相关年份粮食产量y yt ty yt+1t+11992 108 108 109 1993 109 109 115 1994 115 115 121 1995 121 121 127 1996 127 127 135 1997 135 135 133 1998 133 133 141 1999 141 141 151 2000 151 151 1

19、53 2001 153 153 167 2002 167 167 170 2003 170 170 176 2004 176 二阶自相关年份粮食产量y yt ty yt+1t+1y yt+2t+21992 108 108 109 115 1993 109 109 115 121 1994 115 115 121 127 1995 121 121 127 135 1996 127 127 135 133 1997 135 135 133 141 1998 133 133 141 151 1999 141 141 151 153 2000 151 151 153 167 2001 153 153

20、167 170 2002 167 167 170 176 2003 170 2004 176 2. 2.自回归模型的建立自回归模型的建立 常见的线性自回归模型：常见的线性自回归模型： 一阶线性自回归预测模型为一阶线性自回归预测模型为 二阶线性自回归预测模型为二阶线性自回归预测模型为 一般地，一般地，p阶线性自回归模型为阶线性自回归模型为 在在以上各式中，以上各式中， 为待估计的参数值，它们可以通为待估计的参数值，它们可以通过过最小二乘法估计获得最小二乘法估计获得。tttyy110ttttyyy22110tptpttyyy110), 2 , 1 , 0(pii基本步骤：（1 1）对原时间序列求移

21、动平均，以消除季节变动和不规）对原时间序列求移动平均，以消除季节变动和不规则变动，保留长期趋势；则变动，保留长期趋势； （2 2）将原序列）将原序列y除以其对应的趋势方程值（或平滑值），除以其对应的趋势方程值（或平滑值），分离出季节变动（含不规则变动），分离出季节变动（含不规则变动），即：即： 季节系数季节系数= TSCI/趋势方程值（趋势方程值（TC或平滑值）或平滑值）=SI 三、三、季节性预测季节性预测法法（3 3）将月度（或季度）的季节指标加总，以由计算误差导）将月度（或季度）的季节指标加总，以由计算误差导致的值去除理论加总值，得到一个校正系数，并以该校正致的值去除理论加总值，得到一个校

22、正系数，并以该校正系数乘以季节性指标从而获得调整后季节性指标。系数乘以季节性指标从而获得调整后季节性指标。（4 4）求预测模型）求预测模型，若求下一年度的预测值，延长趋势线即，若求下一年度的预测值，延长趋势线即可；若求各月（季）的预测值，需以趋势值乘以各月份可；若求各月（季）的预测值，需以趋势值乘以各月份（季度）的季节性指标。（季度）的季节性指标。 求季节变动预测的数学模型（以直线为例）为求季节变动预测的数学模型（以直线为例）为 式中：式中： 是是t+k时时预测值，预测值，at、bt为方程系数，为方程系数， 为季节性为季节性指标。指标。kttktkbay)(ktyk 例 题 某旅游景点某旅游景

23、点20022004年各季度客流量年各季度客流量yi（104人次）如下表所示，人次）如下表所示，下面我们用上述步骤，预测该旅游景点下面我们用上述步骤，预测该旅游景点2005年各季度的客流量。年各季度的客流量。 年份年份季度季度t游客人数游客人数三次滑动平均三次滑动平均20021126022375325 33340313 44223279 200315275303 26412346 37352332 48231290 200419287315 210428360 311364345 412243解题步骤：解题步骤：（1）求时间序列的三次滑动平均值，见上表中第5列。（2）求季节性指标：将上表中第4列

24、数据分别除以第5列各对应元素，得相应的季节系数。然后再把各季度的季节系数平均得到季节性指标，见下表。季节性指标之和理论上应等于4。现等于3.9515，需要进行校正。校正方法是：先求校正系数：=4/3.9515=1.0123。然后将表中的第5行，分别乘以，即得校正后的季节性指标（见表第6行）。 1 2 3 4 2002 1.1538 1.0874 0.7983 2003 0.9066 1.1896 1.0613 0.7966 2004 0.9101 1.1900 1.0551 季节性指标0.9084 1.1778 1.0679 0.7975 校正季节性指标0.9195 1.1923 1.0810

25、 0.8072 （3）用二次指数平滑法，求预测模型系数：取平滑指数 ，分别计算一次指数平滑值和二次指数平滑值，然后在分别计算趋势预测模型的系数和，结果如下表所示。由表可知，预测模型为：式中： 为校正后的季节性指标。 kkky)5297. 76661.320(12k2 . 0年份 季度t游客人数一次指数平滑St(1)二次指数平滑St(2)atbt200211260260.00 260.00 260.00 0.00 22375283.00 264.60 301.40 4.60 33340294.40 270.56 318.24 5.96 44223280.12 272.47 287.77 1.91

26、 200315275279.10 273.80 284.40 1.32 26412305.68 280.17 331.18 6.38 37352314.94 287.13 342.76 6.95 48231298.15 289.33 306.97 2.21 200419287295.92 290.65 301.20 1.32 210428322.34 296.99 347.69 6.34 311364330.67 303.72 357.62 6.74 412243313.14 305.61 320.67 1.88 （4）求预测值 。以2004年第4季度为基期，套用公式（3）中预测模型，计算预测

27、2005年各季度的客流量第一季度： = 296.58（104人次）第二季度： = 386.82（104人次）第三季度： = 352.74（104人次）第四季度： = 264.92（104人次） 由此可以计算出2005年全年度的客流量预测值为： 1301.07（104人次） 讨论扩展到对同时拥有趋势和季节成分的时间数列进讨论扩展到对同时拥有趋势和季节成分的时间数列进行预测的情形。行预测的情形。 剔除季节影响的时间数列称为消除季节影响的时间数剔除季节影响的时间数列称为消除季节影响的时间数列。下面所介绍的方法适用于只有季节影响情形或同时有季列。下面所介绍的方法适用于只有季节影响情形或同时有季节和趋势

28、成分的情形。节和趋势成分的情形。首先计算季节指数，并用它们得到消除季节影响的资首先计算季节指数，并用它们得到消除季节影响的资料；料；然后，如果消除季节影响的资料有明显的趋势，则我然后，如果消除季节影响的资料有明显的趋势，则我们用回归分析估计该资料的趋势成分。们用回归分析估计该资料的趋势成分。利用趋势和季节成分进行预测：例题利用趋势和季节成分进行预测：例题2表表1和图和图1中的是工厂在中的是工厂在过去过去4年中电视机的销售量年中电视机的销售量（单位：千台）。该（单位：千台）。该时间序列时间序列是是基于基于长期趋势、季节变动和长期趋势、季节变动和不规则变动不规则变动相乘而成的（相乘而成的（TSI)

29、。年季度销售量/千台114.824.136.046.5215.825.236.847.4316.025.637.547.8416.325.938.048.41、季节指数的计算、季节指数的计算首先通过计算滑动平均数，将趋势成分首先通过计算滑动平均数，将趋势成分T与季与季节节S及不规则成分及不规则成分I分开，然后使用计算程序，确定分开，然后使用计算程序，确定每个季度的季节影响。每个季度的季节影响。年季度销售量114.824.136.046.5215.825.236.847.4316.025.637.547.8416.325.938.048.4355456061484.第一个滑动平均数6054855

30、60614.第二个滑动平均数485265355.中心化表表2电视机销售量时间数列的中电视机销售量时间数列的中心化的滑动平均数的计算结果心化的滑动平均数的计算结果年年季度季度销售量销售量/千台千台4个季度个季度的的滑动平均滑动平均数数中心化的滑中心化的滑动平均数动平均数114.8 24.1 36.05.3505.475 46.55.6005.738215.85.8755.975 25.26.0756.188 36.86.3006.325 47.46.3506.400316.06.4506.538 25.66.6256.675 37.56.7256.763 47.86.8006.838416.36

31、.8756.938 25.97.0007.075 38.07.150 48.4 图图2 电视机季节销售量时间数列电视机季节销售量时间数列和中心化的滑动平均数的图形和中心化的滑动平均数的图形 中心化的滑动平均数，中心化的滑动平均数，“消除消除”了时间数列了时间数列的季节和不规则波动。的季节和不规则波动。表3 电视机销售量时间数列的季节不规则值年季度销售量/千台中心化的滑动平均数=季节不规则值 年年季度季度销售量销售量/千台千台中心化的中心化的滑动平均数滑动平均数季节不规则季节不规则值值114.8 24.1 36.05.4751.096 46.55.7381.133215.85.9750.971

32、25.26.1880.840 36.86.3251.075 47.46.4001.156316.06.5380.918 25.66.6750.839 37.56.7631.109 47.86.8381.141416.36.9380.908 25.97.0750.834 38.0 48.4 T*S*I T表表4 电视机销售量时间数列的季节指数计算结果电视机销售量时间数列的季节指数计算结果季度季节不规则成分的数值（StIt）季节指数（St）10.971，0.918，0.9080.932 0.840，0.839，0.8340.8431.096，1.075，1.1091.0941.113，1.156，

33、1.141 1.14表表4中的数值的解释提供了电视机销售的季节中的数值的解释提供了电视机销售的季节成分的一些信息。最佳销售季度是第成分的一些信息。最佳销售季度是第4季度，它的季度，它的销售水平比总平均水平高出销售水平比总平均水平高出14%，最差或最低的销，最差或最低的销售季度是第售季度是第2季度，它的季度指数为季度，它的季度指数为0.84，说明其，说明其销售水平比总平均季度销售水平低销售水平比总平均季度销售水平低16%。季节成分。季节成分符合人们收看电视的直观上的期望，可见在第符合人们收看电视的直观上的期望，可见在第4季季度电视购买轨迹趋势上升，是因为冬季即将到来，度电视购买轨迹趋势上升，是因

34、为冬季即将到来，人们减少了户外活动。第人们减少了户外活动。第2季度的低销售量说明因季度的低销售量说明因为存在春季和初夏季节活动的大量消费者，人们降为存在春季和初夏季节活动的大量消费者，人们降低了看电视的兴趣。低了看电视的兴趣。2 消除时间数列的季节影响消除时间数列的季节影响 找出季节指数的目的是为了从时间数列中去掉季找出季节指数的目的是为了从时间数列中去掉季节影响。这种过程称为时间数列消除季节影响。节影响。这种过程称为时间数列消除季节影响。调整季节变异后的经济时间数列（消除季节影响调整季节变异后的经济时间数列（消除季节影响的时间数列）常常刊登在一些出版物上，这些出的时间数列）常常刊登在一些出版

35、物上，这些出版物有版物有当前商业考察当前商业考察（Survey of Current Business）、）、华尔街日报华尔街日报和和商业周刊商业周刊等。等。根据乘法模型的记号，我们有根据乘法模型的记号，我们有: 用时间数列的每个观察值除以相应的季节指数，则可以用时间数列的每个观察值除以相应的季节指数，则可以对时间数列消除季节影响。对时间数列消除季节影响。 图图3 消除季节影响的电视消除季节影响的电视机销售量时间数列机销售量时间数列表表5中是电视机销售量消中是电视机销售量消除季节影响后的时间数列除季节影响后的时间数列资料。资料。 年季度销售量Yt季节指数St消除季节影响的销售量/千台Yt/St

36、=TtIt114.80.935.16 24.10.844.88 36.01.095.50 46.51.145.70215.80.936.24 25.20.846.19 36.81.096.24 47.41.146.49316.00.936.45 25.60.846.67 37.51.096.88 47.81.146.84416.30.936.77 25.90.847.02 38.01.097.34 48.41.147.373、 利用消除季节影响的时间数列确定趋势利用消除季节影响的时间数列确定趋势尽管图3 中的图形显示过去16个季度的资料有一些上、下的随机波动，但时间数列似乎有一个向上的线性趋势。在这种情形中，所用的资料是消除季节影响的季度销售量数据。因此 ，对于这个线性趋势，估计的销售量被作为时间函数，即： Tt=b0+b1t式中： Ttt期电视机销售量的趋势值； b0趋势线的截距； b1趋势线的斜率；同前面一样，同前面一样，t=1对应时间数列的第一个观察值的时间，对应时间数列的第一个观察值的时间，t=2对对应时间数列第应时间数列第2个观察值的时间，依次类推。因此，对消除季个观