数电课件：2_逻辑代数基础

1、Digital Electronics Technology2022-5-2第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础Digital Electronics Technology2022-5-21. 逻辑与逻辑运算逻辑与逻辑运算n逻辑：事物间的因果关系。逻辑：事物间的因果关系。n逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行推理的过程。推理的过程。2. 逻辑代数与逻辑变量逻辑代数与逻辑变量n逻辑代数：是描述客观事物逻辑关系的数学方法，逻辑代数：是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数是进行逻辑分析与综合的数学工具。因

2、为它是英国数学家乔治学家乔治布尔布尔(George Boole)于于1849年提出的，所以年提出的，所以又称为布尔代数。又称为布尔代数。n逻辑变量：逻辑代数中的变量。逻辑变量的取值范逻辑变量：逻辑代数中的变量。逻辑变量的取值范围仅为围仅为“0”和和“1”，且无大小、正负之分。，且无大小、正负之分。2.1 概述概述Digital Electronics Technology2022-5-2 安理会由个常任理事国和个非常任理事国组成。安理会由个常任理事国和个非常任理事国组成。个常任理事国是中国、法国、俄罗斯、英国、美国。个常任理事国是中国、法国、俄罗斯、英国、美国。 每个理事国都有个投票权，程序问

3、题要至少票才能通每个理事国都有个投票权，程序问题要至少票才能通过。常任理事国对实质问题都拥有否决权，只要有票反过。常任理事国对实质问题都拥有否决权，只要有票反对就不能通过。这就是对就不能通过。这就是“大国一致大国一致”规则，通常称为规则，通常称为“否否决决”权。非常任理事国无否决权。权。非常任理事国无否决权。 实际上，在程序问题上，实际上，在程序问题上，安理会常任理事国也拥有否决权。因为安理会会员国就该安理会常任理事国也拥有否决权。因为安理会会员国就该问题是问题是“程序问题程序问题”还是还是“实质问题实质问题”产生分歧时候，就产生分歧时候，就可以把该问题认定为可以把该问题认定为“实质问题实质问

4、题”，有人称其为，有人称其为“双重否双重否决权决权”。2.1 概述概述Digital Electronics Technology2022-5-22.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算1. 与逻辑（与逻辑（AND） 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑。生，这样的因果关系称为与逻辑。 设定逻辑变量并状态赋值：设定逻辑变量并状态赋值： 逻辑变量：逻辑变量：A和和B，对应两个开，对应两个开关的状态。关的状态。1闭合，闭合，0断开；断开； 逻辑函数：逻辑函数：Y，对应灯的状态，对应灯的状态，1灯亮，灯亮，0灯灭

5、。灯灭。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111描述逻辑关系的图表称为真值表 Y=ABABYDigital Electronics Technology2022-5-22.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算2. 或逻辑（或逻辑（OR） 当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮亮闭合断开亮亮闭合闭合亮ABY000011101111 Y=A+BABYDigital Electron

6、ics Technology2022-5-22.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算3. 非逻辑（非逻辑（NOT） 当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。开关A灯Y断开亮闭合灭AY0110 Y=A=AAYDigital Electronics Technology2022-5-22.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算4. 复合逻辑复合逻辑与非与非真值表真值表YXFXYFXYF001101011110&XYFYXFXYF001

7、101011000XYF或非或非真值表真值表XYF1Digital Electronics Technology2022-5-22.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算异或异或真值表真值表XYF001101010110XYF001101011001同或同或真值表真值表BABABAFBAF=1BAFF=X Y=XY+XYBAFBAF=与或非与或非)(DCBAFDigital Electronics Technology2022-5-22.3 逻辑代数基本与常用公式逻辑代数基本与常用公式1. 基本公式（基本公式（P24）序号公 式序号公 式规 律1A 0=010A+0=A01律2A 1=A11

8、A+1=101律31=0; 0=1（公理）12(A)=A还原律4A A= A13A+A=A重叠律5A A=014A+A=1互补律6A B=B A15A+B=B+A交换律7A （B C） = （A B） C16A+（B+C）=（A+B）+C结合律8A （B+C）=A B + A C17A+（BC） =（A+B) (A+C) 分配律9(A B)=A+B 18(A+B)=AB反演律德摩根（De. Morgan）定理Digital Electronics Technology2022-5-22. 常用公式（常用公式（P25）序号公 式规 律19A+A B=A吸收律20A+A B=A+B吸收律21A B

9、+A B=A22A（A+B）= A23A B+A C+B C=A B+ACA B+A C+B C D=A B+AC吸收律24A（AB）=AB；A（AB）=A2.3 逻辑代数基本与常用公式逻辑代数基本与常用公式Digital Electronics Technology2022-5-2需记忆Digital Electronics Technology2022-5-21. 代入定理代入定理 在任何一个含有变量在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。的位置，该等式仍然成立。2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基

10、本定理例：(A+B)=AB (AB)=A+B (A+B+C)=A(B+C)=ABC (ABC)=A+(BC) =A+B+C 分别代入：B+CB BC B 德摩根（De. Morgan）定理也适应于多变量的情况Digital Electronics Technology2022-5-22. 反演定理反演定理 在一个逻辑式在一个逻辑式Y中中,若将其中所有的若将其中所有的“+”变成变成“”，“”变成变成“+”，“ 0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，原变量变成，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：的反逻辑式

11、，记作：Y 。例：例：已知已知 Y=AB+(C+D)E，求，求Y。解：解： Y=(AB+(C+D)E)= (A+B)(CD+E)2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理Digital Electronics Technology2022-5-22.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2. 反演定理反演定理 在一个逻辑式在一个逻辑式Y中中,若将其中所有的若将其中所有的“+”变成变成“”，“”变成变成“+”，“ 0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，原变量变成，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：的

12、反逻辑式，记作：Y 。1 、优先次序：、优先次序：“（）（）” “ ” “ ” ；2 、不属于单个变量上的反号应保留。、不属于单个变量上的反号应保留。CDCBAFCDCBAF)(Digital Electronics Technology2022-5-2 对偶式：对偶式：在一个逻辑式在一个逻辑式Y中中,若将其中所有的若将其中所有的“+”变成变成“”，“”变成变成“+”，“0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，所，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：得函数式即为原函数式的对偶式，记作：YD。3. 对偶定理对偶定理 若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。若两个函数式相等，那么它们的对偶式

13、也相等。2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理首先写出等式两边的对偶式 A+（BC） =（A+B) (A+C)例：例：A(B+C） 和 AB+ AC 根据乘法分配率，这两个对偶式相等，即A(B+C）= AB+ AC 由对偶定理可得原来的两式也相等Digital Electronics Technology2022-5-21. 逻辑函数逻辑函数 输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法Y=F（A，B，C，）2. 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑

14、图、波形图和、波形图和卡诺图卡诺图。 （1）逻辑真值表：）逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格。列写方法是：量取值所构成的表格。列写方法是： a) 找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；找出输入、输出变量，并用相应的字母表示； b) 列出所有输入变量可能的取值，计算对应的输出值，列出所有输入变量可能的取值，计算对应的输出值，并以表格形式列写出来。并以表格形式列写出来。Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 例：例：三人表决电路，当输入变量三人表决电路，当

15、输入变量A、B、C中有两个或两中有两个或两个以上取值为个以上取值为1时，输出为时，输出为1；否则，输出为；否则，输出为0。 三人表决电路的真值表三人表决电路的真值表 Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 （2）逻辑函数式）逻辑函数式 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称函用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称函数式或逻辑式。数式或逻辑式。 例：例：三人表决电路：三人表决电路： ABCABCCABBC

16、AY （3）逻辑图）逻辑图 是将逻辑函数中输出变是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。符号表示出来的图形。例：例：三人表决电路逻辑图三人表决电路逻辑图 123456ABCD654321DCBATitleNumberRevisionSizeBDate:20-Feb-2009Sheet of File:F:My Documents公司公司当前工作军品项目绵阳外协绵阳外协.ddbDrawn By: A A A AABCYDigital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数

17、及其表示方法逻辑函数及其表示方法 （4）波形图（）波形图（P31）（5）各种表示方法之间的转换）各种表示方法之间的转换真值表真值表 逻辑式逻辑式逻辑式逻辑式 真值表真值表逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图 逻辑式逻辑式Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（5）各种表示方法之间的转换）各种表示方法之间的转换 由真值表求逻辑表达式由真值表求逻辑表达式 1）把真值表中逻辑函数值为）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来；的变量组合挑出来； 2）若输入变量为）若输入变量为1，则写成原变量，若输入变量为，则写成

18、原变量，若输入变量为0，则写成反变量；则写成反变量； 3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项； 4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。A B C表 决 结 果 Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZDigital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 由逻辑表达式列出真值表由逻辑表达式列出真值表 按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，

19、按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。成表格。A B C表决结果 Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZDigital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 由逻辑函数式求逻辑电路由逻辑函数式求逻辑电路 1）画出所有的逻辑变量；）画出所有的逻辑变量； 2）用）用“非门非门”对变量中有对变量中有“非非”的变量取的变量取“非非”；

20、3）用）用“与门与门”对有关变量对有关变量的乘积项，实现逻辑乘；的乘积项，实现逻辑乘； 4）用）用“或门或门”对有关的乘对有关的乘积项，实现逻辑加；积项，实现逻辑加；ABCCABCBABCAZDigital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 由逻辑图求逻辑表达式由逻辑图求逻辑表达式 由输入到输出逐级推导，按照每个门的符号写出每个由输入到输出逐级推导，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。BABY=A B+ABA BA1&AB&am

21、p;11Digital Electronics Technology2022-5-2Digital Electronics Technology2022-5-2Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法3. 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 （1）最小项和的形式）最小项和的形式积之和（积之和（“与与或或”表达式）表达式） 最小项：最小项：设设 m 为包含为包含 n 个因子的乘积项，且这个因子的乘积项，且这 n 个因个因子以原变量形式或者反变量形式在子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，中

22、出现且只出现一次，称称 m 为为 n 变量的一个最小项。变量的一个最小项。n变量共有变量共有2n个最小项。个最小项。 最小项的编号规则：最小项的编号规则：把最小项把最小项 m 取取值为值为1 的输入变量的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作号，记作mi 。 Digital Electronics Technology2022-5-2（1 1）最小项）最小项 ( (举例）举例）具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量积项为三变量A A、B B、C C的最小项。的

23、最小项。设设A A、B B、C C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：量按以下规则构成乘积项： 每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；它的一个因子； 每个变量都以反变量每个变量都以反变量(A(A、B B、C)C)或以原变量或以原变量(A(A、B B、C)C)的形式出现一次，且仅出现一次。的形式出现一次，且仅出现一次。 Digital Electronics Technology2022-5-2三变量最小项真值表三变量最小项真值表 Digital Electronics Technolog

24、y2022-5-2（2 2）最小项的性质）最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为值为1 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为，而变量取其余各组值时，该最小项均为0 0； 任意两个不同的最小项之积恒为任意两个不同的最小项之积恒为0 0； 变量全部最小项之和恒为变量全部最小项之和恒为1 1。 Digital Electronics Technology2022-5-2最小项也可用最小项也可用“m mi i” 表示，下标表示，下标“i i”即最小即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为项的编号。编号方法：把最小项取值为1 1所对应的所

25、对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。进制数，就是该最小项的编号。三变量最小项的编号表三变量最小项的编号表 Digital Electronics Technology2022-5-2 （3 3）最小项表达式）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式形式标准与或表达式标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例例1-71-7将将Y Y= =ABAB+ +B

26、CBC展开成最小项表达式。展开成最小项表达式。 解： BCAABCCABBCAACCABBCABY)()()7 , 6 , 3(),(763mmmmCBAY或： Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法将函数式化成最小项和的形式的方法为：将函数式化成最小项和的形式的方法为： 该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反变量，展开即可。加上其反变量，展开即可。Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示

27、方法逻辑函数及其表示方法例：例：将函数式化成最小项和的形式。将函数式化成最小项和的形式。解：解： DCBABDCBAY 15,13,10, 9 , 8 , 7 , 5,15131098751015137589mmmmmmmmmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCBADCBABDCBAYDigital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 （2）最大项积的形式）最大项积的形式和之积（和之积（“或或与与”表达式）表达式） 最大项：最大项：设设M为包含为包含n个因子的和，

28、且这个因子的和，且这n个因子以原变个因子以原变量形式或者反变量形式在量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称中出现且只出现一次，称M为为n个个变量的一个最大项。变量的一个最大项。n个个变量共有变量共有2n个最大项。个最大项。 最大项的编号规则：最大项的编号规则：把最大项把最大项 M 值为值为0 的输入变量取的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最大项的编号，值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最大项的编号，记作记作Mi 。 Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法三变量的最大项编号表三变量的

29、最大项编号表Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法最大项的性质：最大项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为值为0； b) 任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1； c) 全体最大项之积为全体最大项之积为0； d) 只有一个变量不同的两个最大项相乘，可合并为一只有一个变量不同的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去一个不同因子。项，并消去一个不同因子。将函数式化成最大项积的形式的方法为：将函数式化成最大项积的形式的方法为： 首先化成最小项

30、和的形式，然后直接写成除了这些最首先化成最小项和的形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形式。小项编号以外的最大项积的形式。Digital Electronics Technology2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法例：例：将函数式将函数式 化成最大项积的形式。化成最大项积的形式。解：解： 利用基本公式 A+BC = (A+B)(A+C)6 , 4 , 1 , 0()()()()()()()()(MCBACBACBACBACBAACBBACCBACBCABACBAABAACBAYACBAYDigital Electronics Technology

31、2022-5-22.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4. 逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换n 其他其他表达式表达式与非与非- -与非式：与非式：CABAF 或或- -与非式：与非式：或非或非- -或式：或式：与或式：与或式：)(CABAF)()(CABAFCABAFDigital Electronics Technology2022-5-2逻辑代数有哪三种基本运算？逻辑代数有哪三种基本运算？分别对应的开关电路图？真值表？分别对应的开关电路图？真值表？ 逻辑表达式？逻辑表达式？ 逻辑图？逻辑图？Y Y = = A AB B 实现怎样的逻辑功能？实现怎样的逻辑功能？什么是逻辑函数？

32、有哪些表示方法？什么是逻辑函数？有哪些表示方法？基本公式有几个？常用公式有几个？基本公式有几个？常用公式有几个？三个基本定理分别是什么？三个基本定理分别是什么？Digital Electronics Technology2022-5-2在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。运算规则运算规则( (复习）复习） （1 1）代入规则）代入规则 推广利用代入规则可以扩大公式的应用范围。利用代入规则可以扩大公式的应用范围。理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个

33、逻辑变量一样，只有逻辑变量一样，只有逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1两种取值。因此，可将两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 Digital Electronics Technology2022-5-2 （2 2）反演规则）反演规则运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或）括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。，必要时可加或减扩号。1)(0DCBAYCDBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY对任何一个逻辑表达式对任何一个逻辑表达式Y Y 作反演变换，可得作反演变换，可得Y Y 的

34、的反函数反函数 Y Y 。这个规则叫做反演规则。这个规则叫做反演规则。 反演变换：反演变换：“”“”“”“”“”“” “0” “1” “0” “1”“1” “0”“1” “0”，原变量原变量反变量反变量反变量反变量原变量原变量Digital Electronics Technology2022-5-2 对任何一个逻辑表达式对任何一个逻辑表达式Y Y 作对偶变换，可得作对偶变换，可得Y Y的对的对偶式偶式Y YD D。 （3 3）对偶规则）对偶规则 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。必要时可加或减扩号。 ) 1)()0(CAB

35、AYCABAYD对偶变换：“”“”“”“”“0” “1”“1” “0”Digital Electronics Technology2022-5-2利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。减少一半。 互为对偶式互为对偶式 对偶定理：对偶定理： 若等式若等式Y Y= =WW成立，则等式成立，则等式Y Y D D= =W W D D也成立。也成立。 Digital Electronics Technology2022-5-2（1 1）化简的意义）化简的意义 CBBCBCAABAYCBBCBCAABACBBCBCAABAY2.6 逻辑函数的化简方法

36、逻辑函数的化简方法Digital Electronics Technology2022-5-2若将该函数化简并作变换：若将该函数化简并作变换：CBBCBCAABAYCACABBCBCBAY)()1 (Digital Electronics Technology2022-5-2（2 2）逻辑函数的多种表达式形式）逻辑函数的多种表达式形式CAABYCAABY)()(CABAYCABAY与与- -或表达式或表达式与非与非- -与非表达式与非表达式 或或- -与非表达式与非表达式 或非或非- -或表达式或表达式 Digital Electronics Technology2022-5-2由以上分析可知

37、，由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。用的。 （3 3）逻辑函数的最简标准）逻辑函数的最简标准由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或表达式的最简标准。表达式的最简标准。最简与或表达式为：最简与或表达式为： 与项（乘积项）的个数最少；与项（乘积项）的个数最少； 每个与项中的变量最少。每个与项中的变量最少。Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2. 公式化

38、简法公式化简法1. 最简最简与或表达式与或表达式 表达式中的乘积项最少；表达式中的乘积项最少； 乘积项中含的变量少。乘积项中含的变量少。 并项：并项：利用利用AB+AB=A将两项并为一项，且消去将两项并为一项，且消去一个变量一个变量B。 吸收：吸收： 利用利用A+AB = A消去多余的项消去多余的项AB。 消项：消项：利用利用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB +AC消去多余项消去多余项BC或或BCD。 消元：消元：利用利用A+AB=A+B消去多余变量消去多余变量A。 配项：配项：利用利用A+A=A或或A+A=1进行配项。进行配项。Digital Electronics T

39、echnology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法并项：并项：利用利用AB+AB=A将两项并为一项，消去变量将两项并为一项，消去变量B。BCAABBCAY1ABCBCBAY3CABBCAABCCBAY2ABABCDABCABY1)()(2BCDACABCABY吸收：吸收： 利用利用A+AB = A消去多余的项消去多余的项AB。BABBAABBCABCACCBACBACABBACABBA)(BABCBACABCBCA)()(CABBCDACABCABDigital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法

40、消项：消项：利用利用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB+AC消去多余项消去多余项BC或或BCD。DEABABCCDEDEABABCY)()(1DBACBACDEDBACBACDEDABBACBAABCDEDABBDACBAABCY2消元：消元：利用利用A+AB=A+B消去多余变量消去多余变量A。EDCABEDABCABABY1CBACBABACABBACABCBAY2DCACABABY3ADCABDCACABDigital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法配项：配项：利用利用A+A=A或或A+A=1进行

41、配项。进行配项。 BACACBBACBACABCBACBCBABACBACABCBCBACBABACBAACBCCBABACBCBBAY1 ABACBCABCCABABCCBAABCBCAABCCABCBABCAY2CADABDCCADABBCEADCBAABDCCADABBCEADCBADBABDCCADABDBCEADCBADABDCCADABDYDigital Electronics Technology2022-5-2 公式化简法评价：公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运的速度进行化

42、简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。缺点：结果是否最简有时不易判断。 下面将介绍与公式化简法优缺点正好互补的卡诺下面将介绍与公式化简法优缺点正好互补的卡诺图化简法。当变量个数超过图化简法。当变量个数超过5 5时人工进行卡诺图化简时人工进行卡诺图化简较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的较困难，但它是一套完整的方法，只要按照相应的方法就能以最快的速度得到最简结果。方法就能以最快的速度得到最简结果。2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法Digital Electronics

43、Technology2022-5-2卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是： N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：一是相邻紧挨的；二是相对任一行或一列的两头；三是相重对折起来后位置相重。 （1）卡诺图及其构成原则 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 逻辑函数的卡诺图化表示法逻辑函数的卡诺图化

44、表示法3. 卡诺图化简法卡诺图化简法 用各小方块表示用各小方块表示n变量的全部最小项，并使具有逻辑相变量的全部最小项，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得图形邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得图形称为称为n变量最小项的卡诺图。变量最小项的卡诺图。二变量卡诺图二变量卡诺图 三变量卡诺图三变量卡诺图 Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法五变量卡诺图四变量卡诺图 函数式转换成卡诺图：函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形首先将该函数式化成最小项和的形式；然后将该函数式中

45、包含的最小项在卡诺图相应位置处式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置处填填1，其余位置处填，其余位置处填0。 逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法)14,12, 9 , 8 , 6 , 4 , 1 , 0 ()()()(mDCBADCBADCBADCABDCBADBCADCBADCBADABCDCBBAACCDBADCBAADABCDCDBADCBDABCYDigital Electronics Technology2022-5-22.6

46、 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法卡诺图化简圈卡诺图化简圈“1”的原则：的原则：yz1111x00 01 11 100 11111yzx00 01 11 100 111 每次所圈最小项（卡诺图中的每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈）个数尽量多，但所圈1的的的个数应为的个数应为 2i 个；个；11111111yzwx 00 01 11 1000011110Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 每个圈至少包括一个没每个圈至少包括一个没 有被圈过的有被圈过的1；11111111yzwx 00 01

47、11 1000011110 所有所有1至少被圈过一次。至少被圈过一次。1111yzx00 01 11 100 11111111111yzwx 00 01 11 1000011110Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法合并最小项规则：合并最小项规则： 在所圈的最小项中，变量取值全是在所圈的最小项中，变量取值全是0的，在表达式中以的，在表达式中以反变量的形式出现；变量取值全是反变量的形式出现；变量取值全是1的，在表达式中以原的，在表达式中以原变量的形式出现；变量取值既有变量的形式出现；变量取值既有0也有也有1的，在

48、表达式中不的，在表达式中不出现。出现。 所圈的所圈的2i个相邻的最小项，可以消去个相邻的最小项，可以消去i个变量取值既有个变量取值既有0也有也有1的变量。的变量。例：化简下列逻辑函数。例：化简下列逻辑函数。(1) F=x,y,z(1,2,5,7)1111yzx00 01 11 100 1zyxzxzyFDigital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法zyxzyxzyxzyxzyxF)2(1111yzx00 01 11 100 11zxyFCDDBADCBCDBAY)3(CDBDBAYDigital Electronics

49、Technology2022-5-2卡诺图化简法的特点？步骤？卡诺图化简法的特点？步骤？什么叫逻辑相邻？什么叫逻辑相邻？正确圈组的原则？正确圈组的原则？Digital Electronics Technology2022-5-22.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法无关项无关项：约束项和任意项统称为无关项。：约束项和任意项统称为无关项。约束约束：指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。：指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。约束项约束项：不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。：不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。约束条件约束条件：可以用全部约束项之和等于：可以用全部约束项之和

50、等于0表示。表示。任意项任意项：是指在某些输入变量取值下，函数值是：是指在某些输入变量取值下，函数值是0还是还是1都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所对应的最都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所对应的最小项称为任意项。小项称为任意项。 具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简Digital Electronics Technology2022-5-2 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 无关项的概念无关项的概念 对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的是任意的( (随意项、任意项随

51、意项、任意项) )，或者这些输入变量的取值，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现根本不会（也不允许）出现( (约束项约束项) )，通常把这些输入，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中用表示，在标准与或表达式中用d d（）表示。（）表示。 例：当例：当8421BCD8421BCD码作为输入变量时，禁止码码作为输入变量时，禁止码1010101011111111这六种状态所对应的最小项就是无关项。这六种状态所对应的最小项就是无关项。Digital Electronics

52、 Technology2022-5-2 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 因为无关项的值可以根据需要取因为无关项的值可以根据需要取0 0或取或取1 1，所以在，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使逻辑函数进一步得到简化。逻辑函数进一步得到简化。Digital Electronics Technology2022-5-2A（红）（红） B（黄）（黄） C（绿）（绿）F000000100101X11x10011X1x11Xx111xCBACBAF例：十字路口的交通灯，例：十字路口的交通灯， A A ， B B ，

53、 C C 分别表示红、黄、分别表示红、黄、绿灯的状态（灯亮为绿灯的状态（灯亮为 1 1 ，灯灭为，灯灭为 0 0 ）；用）；用 F F 表示停车表示停车与否（停车为与否（停车为1 1 ，通行为，通行为 0 0 ），）， F F 为为 A A 、 B B 、 C C 的的逻辑函数。逻辑函数。逻辑函数：逻辑函数：约束条件：约束条件：0ABCABACBCDigital Electronics Technology2022-5-2例例1-12 1-12 设设ABCDABCD是十进制数是十进制数X X的二进制编码，当的二进制编码，当X5X5时输出时输出Y Y为为1 1，求，求Y Y的最简与或表达式。的最简与或表达式。表表1-20 1-20 例例1-121-12的真值表的真值表 XA B C DY00 0 0 0010 0 0 1020 0 1 0030 0 1 1040 1 0 0050 1 0 1160 1 1 0170 1 1 1181 0 0 0191 0 0 11/1 0 1 0/1 0 1 1/1 1 0 0/1 1 0 1/1 1 1 0/1 1 1 1解：列真值表，见表解：列真值表，见表1-201-20所示。所示。 画卡诺图并化简。画卡诺图并化简。 Digital Electronics Technology2022-5-2图图1-20 1-20