一元二次方程根与系数关系(附答案)

1、一元二次方程根与系数的关系 （附答案）评卷人 得分一 ?选择题（共6 小题）1 .已知关于x的一元二次方程3X2+4X-5=O，下列说法正确的是（）A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C?没有实数根D.无法确定2 . 关于 X 的一元二次方程X2+2X- m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A. m>- 1 B. m> - 1 C. m<- 1 D. mv - 13 .关于X的一元二次方程x2+3x-仁0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C?没有实数根D.不能确定4 .设Xi、X2是一元二次方程2X2- 4X- 1=0

2、的两实数根，则X12+X22的值是（）A. 2 B. 4 C. 5 D . 65 . 若 a B 是一元二次方程X2 - 5X- 2=0 的两个实数根，则a+B 的值为（）A.- 5 B. 5 C. - 2 D. 二6. 已知关于X的方程x2- 4X+C+仁0有两个相等的实数根，贝 U常数c的值为（）A.- 1 B. 0 C. 1 D. 3评卷人 得分二 . 填空题（共1 小题）7. 若关于X的一元二次方程 x2-3x+a=0 （aA0）的两个不等实数根分别为 p, q ， 且 p2- pq+q2=18 ，则二?一的值为.P q评卷人 得分?解答题(共8小题)8. 已知关于x的方程x2-( 2

3、k+1) x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线 L的长.9 .已知关于x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10 .已知关于x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x- m) =0 (m为常数).(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程一个根为3,求m的值.11 .已知关于x的一元二次方程x2-x+a-仁0. 当a=- 11时，解这个方程；(2) 若这个方程有两个实数

4、根 X1, x2,求a的取值范围；(3)若方程两个实数根 X1, x满足2+X1 (1 - X1) 2+X2 (1 - X2) =9,求a的 值.12 .已知X1, X2是关于X的一元二次方程4k/- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2X1 - X2) ( X1- 2x2)二-上成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(2)求使tX -2的值为整数的实数k的整数值；1若k=- 2,入=,试求入的值.13 .已知关于x的方程(k+1) X - 2 (k - 1) x+k=0有两个实数根X1, X2.(1)求k的取值范围；(2)若X1+x2=x1X2+2,求k的值.

5、14 .已知关于 x 的方程 x2 - 2 (m+1) x+m2- 3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设Xi、X2是方程的两根，且 Xi2+X22=22+XiX2,求实数m的值.15 .已知关于x的一元二次方程x2- 2x+m-仁0有两个实数根Xi、X2.(1) 求 m 的取值范围；(2) 若 x,+X 22=6x iX2 ，求m 的值 .参考答案与试题解析一 ?选择题（共6 小题）1 . 已知关于 x 的一元二次方程3x2+4x- 5=0, 下列说法正确的是（ ）A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C?没有实数根D.无法确定【解答】解：？?=42

6、- 4X 3X （ - 5） =76>0,. ?方程有两个不相等的实数根.故选： B.2 . 关于 x 的一元二次方程x2+2x- m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A. m>- 1 B. m>- 1 C. m <- 1 D. mv - 1【解答】解：?关于x 的一元二次方程X2+2X-m=0 有实数根，? =22 - 4X 1X （- m） =4+4m>0,解得：m -1.故选：A.3 .关于x的一元二次方程X2+3X-仁0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C?没有实数根D.不能确定【解答】解： ?a=1, b=3, c

7、=1,? =b2- 4ac=3 2 - 4X 1X （ - 1） =13>0, . ?方程有两个不相等的实数根.故选： A.4 .设Xi、X2是一元二次方程2X2-4X-仁0的两实数根，则X12+X22的值是（A. 2 B. 4C. 5 D . 6【解答】解：？?？XI、X2是一元二次方程2X2- 4X-仁0的两实数根,Xi+X2=2, XiX2=-? X12+X22= (X1+X2) -22IX2=22-2X(4)=5-故选：c.5 .若a B是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根，则a+B的值为()A.- 5 B. 5 C. - 2 D.-【解答】解：T a B是一元二次方

8、程X2- 5X- 2=0的两个实数根，? a B =5故选：B.6. 已知关于X的方程X2- 4x+c+仁0有两个相等的实数根，贝 U常数c的值为()A.- 1 B. 0 C. 1 D . 3【解答】解：？?关于X的方程X2 - 4x+c+仁0有两个相等的实数根，? = (- 4) 2-4X 1X(c+1) =12- 4c=0,解得：c=3.故选：D.二填空题(共1小题)7. 若关于x的一元二次方程X2- 3x+a=0 (a A0)的两个不等实数根分别为p, q,且p2- pq+q2=18,则二？一的值为 二5.【解答】解：？?关于X的一元二次方程X2- 3x+a=0( a M 0)的两个不等

9、实数根分别为p、q,? p+q=3 , pq=a ,I p2 - pq+q2= ( p+q) 2 - 3Pq=18 ,即 9 - 3a=18,-a=3)pq=- 3,q i'1118-p qpqPQ3-3故答案为：-5.三?解答题(共8小题)8. 已知关于x的方程x2-( 2k+1) x+k2+1=0.(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围；(2) 若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线 L的长.【解答】解：(1)v方程x2-( 2k+1 ) x+k2+1=0有两个不相等的实数根，?= -( 2k+1) 2-4X lX(k2+1) =4k- 3&

10、gt;0,却 4(2) 当k=2时，原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n,? m+n=5, mn=5 ,? ?J叩2十门？血口)15.9 .已知关于x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程，得：1 +a+a- 2=0,解得：a千.(2)证明： =W 4 (a- 2) = (a- 2) 2+4.?(a-2) 2>0,? (a-2) 2+4>0,即公 > 0,?不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10 .已知关于x的一元二次方程(x

11、- m) 2 - 2 (x- m) =0 (m为常数).(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 若该方程一个根为 3, 求 m 的值 .【解答】 ( 1)证明：原方程可化为x2-( 2m+2) x+m2+2m=0 , /a=1 , b=-( 2m+2), c=m 2+2m ,:. =b2 - 4ac= -( 2m+2) 2- 4 (m2+2m) =4>0,?不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将 x=3 代入原方程，得： (3 -m) 2-2(3 - m) =0,解得：mi=3, m2=1.? m勺值为3或i.11.已知关于x的一元二次方程x2

12、-x+a-仁0.(1) 当 a=- 11 时，解这个方程；(2) 若这个方程有两个实数根X1, x2, 求 a 的取值范围；(3)若方程两个实数根Xi, X2满足2+Xi(1 - Xi) 2+x2 (1 - X2) =9,求a的 值.【解答】解： ( 1)把 a=- 11 代入方程，得x2-x- 12=0,(x+3) ( x- 4) =0,x+3=0 或 x- 4=0,X1 = - 3, X2=4;(2) v 方程有两个实数根冷，七 ， 0,即(- 1) 2-4X 1X(a- 1)>0,解得 T 一 二；(3) ? . ?啊，H 2 是方程的两个实数根，xI|+a._L=0 s 七 2-

13、七+卫-1二 0,?2+X1 ( 1 - X1) 2+X2 ( 1 - X2) =9,? I _ T _ I. + 丁1 ,+ ? 2于巴"什算一/_1，黄2_A2二疤一1 代入，得： 2+a- 1 2+a - 1=9 ，即 ( 1+a) 2=9,解得a=- 4, a=2 (舍去)，所以a的值为-412 .已知xi, X2是关于x的一元二次方程4k/- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2xi- X2) ( xi- 2x2)=-寻成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(2)求使上，+上土 - 2的值为整数的实数k的整数值； 吧巧(3)若k=- 2,入=

14、,试求入的值.【解答】解：(1): xi、x2是一元二次方程4&-4kx+k+1=0的两个实数根， Xl+X2 = 1 , Xix2 二 J4k? (2xi - X2)( Xi - 2x2)=2xi2 4xix2 XiX2+2x22=2(Xi+x2)2 9xixz=2X 12 - 9XA2 =24k9(k+l)若2-独吉夸成立解上述方程得，k=-,? =16k2-4X4k (k+1) =- 16k>0)kv 0 , v k >?矛盾，?不存在这样k的值；Xi'+Xp'( IIi XnI -Hx ) 2+ X i Kn(2)原式- 2=- 2=- 4=-4k+

15、T5? k+1=1 或-1,或 2,或-2,或 4,或-4解得 k=0 或-2, 1,-3, 3,- 5.? kv 0.? k=- 2,- 3 或5;(3)v k=2, X= , xi+x2=1,? - XX X2 = 1 , X2= - , XiX41Xi k+ll _X2 4k 彳=8,入+ 18,严13 .已知关于x的方程(k+1) x2 2 (k 1) x+k=0有两个实数根xi, X2.(1)求k的取值范围；(2)若 X1+x2=x1x2+2，求 k 的值.【解答】解：(1):关于x的方程(k+1) x2 2 (k 1) x+k=0有两个实数根，解得：kw，且kM- 1.3(2)T关

16、于x的方 程(k+1) x2 2(k 1) x+k=0 有 X1X2=两个实数根X1, X2.? X1+X2 =k+1 r k+2,T X1+X2=X1X2+2,即口 k+1解得：k= 4,经检验，k= 4是原分式方程的解k=4.14 .已知关于 x 的方程 x2 2 (m+1) x+m2 3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设X1、X2是方程的两根，且X12+X22=22+X1X2,求实数m的值.【解答】解：(= 2 ( m+1) 24 (m23) =8m+16,当方程有两个不相等的实数根时，则有>0,即8m+16>0,解得m>-2;(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系，得 xi+x2=2 ( m+1 ), xix2=m 2 - 3,?.? Xi2+x22=22+xiX2= (X1 +X2) 2 _ 2XIX2,?2( m+1 ) - 2 (m2- 3) =6+ (m2-3),化简，得m2+8m-9=0，解得m=1或m=-9 (不合题意，舍去)，?实数m 的值为 1 .