同济大学概率论与数理统计第七章

1、.第七章 随机变量的数字特征.主要内容 数学期望 方差与标准差 协方差和相关系数 两个不等式 中心极限定理.一、数学期望（均值） 期望定义 常见分布的期望 随机变量函数的期望 期望的性质. 引例： 某校有3个学生英语考试成绩分别为85、70、70，求平均成绩。211285707533iiixa p.常见分布的期望. 例1. 设随机变量XB（5，p），已知 E（X）=1.6，求参数p. 例2.设随机变量 ，已知 PX XEXpXp求,2211P=0.32E(X)=4.随机变量函数的期望. 例3试分别求下列分布的 22XE2XEPX baRX, EX 2,XN 3222babaXE222XE222

2、XE.222200(),829xE XYxy f x y dxdydxx y dy .重新计算例5中两个分量的期望。. 性质（3),（4）可以推广到任意有限个随机变量上去。（1）设随机变量 ，则 （2）设随机变量 , 则 nXXXX21nXEXEXEXE211122nnYk Xk Xk Xc 1122nnE Yk E Xk E Xk E Xc. 例6证明二项分布的数学期望 证: npXEXEXEXEn21nXXXX21npXEpnBX:,且相互独立, ,1pBXi(),1,2,iE Xpin.例7. 设X，Y相互独立，X参数为2的指数分布， Y参数为3的指数分布， 求E（2X+3Y），E（XY

3、）。答：E （2X+3Y）=2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6.例8. 设X，Y相互独立，XR（2，6）， YR（-1,3） 求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2).答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1， E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3 =（4+12+36）/3=52/3.二、方差与标准差 定义 常见分布方差 性质.定义.常见分布方差.方差性质.一般的，有 22 2D aXbYca D Xb D YabEXEXYEY

4、. 设 相互独立，则nXXX,21niiniiXDXD11211nniiiiiiDk Xck DX.XB（n,p）,则X=X1+X2+XnXiB(1,p)且相互独立。由性质得D（X）=D X1+DX2+DXn =np(1-p). 例12 设X，Y相互独立，XR（0，3）， Y参数为2的指数分布， 求D（X+Y）,E(X2Y2). 解： D(X+Y)= D(X)+ D(Y) = 3/4 + 1/4= 1 由X，Y相互独立可推得X2，Y2相互独立， 因此 E(X2Y2)= E(X2) E(Y2) = D(X) + E(X)2 D(Y)+ E(Y)2 = 3/4 + 9/4 1/4 +1/4 = 3

5、/2.例13 设X，Y相互独立， XN（1,4），YN(0,1) ， 1). 求E(X-2Y), D（X-2Y）, 2). 求Z=X-2Y的密度函数解： E(X-2Y)=1 D（X-2Y）=D(X)+4D(Y)=4+4=8 Z=X-2YN(1,8) zezfzZ,1611612.三、协方差和相关系数 协方差定义 协方差性质 相关系数定义 相关系数性质.协方差定义. E（X）=0， E（Y）=1， E（XY）=-1/3，可以推出Cov（X,Y） =-1/3求Cov（X，Y） . 例16 试证cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y) 证： cov(X+Y,X-Y) =cov(X,X)-cov(X,Y)+cov(Y,X)- cov(Y,Y) =D(X)-D(Y).相关系数定义.四、两个不等式.五、中心极限定理. 大数定律 中心极限定理.（一） 大数定律 依概率收敛定义 独立