工程力学江科大第15讲：扭转变形7-3与截面图形几何性质

1、第15讲 扭转变形与截面图形几何性质 教学基本要求与教学基本要求与教学重点：教学重点： 补：附录（补：附录（14） (pddGITx xGITllddp PGITl m)rad(PGITl max m)rad(Pmaxmax GITD+M2M3M1180)2(pepe GIaMGIaMMPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M 33. 2180)23(pepeGIaMGIaMCBBACA D+M2M3MDdtMM 934. 02 DtDDd 34ptmm1006. 22/DIWMPa1 .96tmaxmax WT4544Pmm1083. 732)1( DIm/81. 1180Pm

2、axmax GITmkN98. 1 MTDdtMM MPa1 .9616/3maxmax dT 22mm17494 dA实实222mm5774)7176( 空空A512. 0)8 . 01(194. 1)1(4)(4222122221222212 dDddDAA 例例 题题3已知：机床主轴箱内第已知：机床主轴箱内第4轴的传动示意如图，轴的传动示意如图，P 0.756kW，P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料为材料为45钢，钢，G=80GPa，=40MPa，=1.5()/m。 求求: 设计轴的直径设计轴的直径。例例 题题3mN 3 .39954922enPMmN 15595494

3、4enPMmN 3 .1944e2e3eMMM已知：机床主轴箱内第4轴的传动示意如图，P 0.756kW，P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料为45钢，G=80GPa，=40MPa，=1.5()/m。 求: 设计轴的直径。解：解：1）计算外力偶矩）计算外力偶矩例例 题题3mN 3 .392eMmN 1554eMmN 3 .1943eM已知：机床主轴箱内第4轴的传动示意如图，P 0.756kW，P 2.98kW, n=183.5 r/min,材料为45钢，G=80GPa，=40MPa，=1.5()/m。 求: 设计轴的直径。解2）画扭矩图3）强度计算 3maxpmaxmax16D

4、TWTmm2 .27 163maxTD4）刚度计算 180pmaxmaxGITmm5 .291803242maxGTD选 D=30 mm。CMabABlACBMMAMB00 MMMMBAxCMabABlCMabABlBCAC PP1GIaMGIaTAAC PP2GIbMGIbTBBC baMMAB 0 MMMBAlMaMlMbMBA/ ACBMMAMBMMlABMMMMx ba0BA PbbbPaaaIGlMIGlMBA MMMlABMaMbbpbbpaaaMIGIGM MIGIGIGMPbbPaaPaaaMIGIGIGMPbbPaaPbbbMbMaMBA MMlAB .bhT 3tIhb m

5、axmax tmaxWT tGITl max 2thbW 3t31 hI 2t31 hW h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.3330.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743静矩静矩 平面图形面积与某一平面图形面积与某一轴的一次矩，如图所示。轴的一次矩，如图所示。AyAzSdAzAyS

6、d定定 义义静 矩ASzASyyz静矩的几何意义：静矩的几何意义： 静 矩例题1340Rzy求图形的静矩，及形心位置。求图形的静矩，及形心位置。组合图形时：组合图形时：iinizyAS1iiniyzAS1静 矩iiiiiiAzAzAyAy确定图形形心位置。确定图形形心位置。例题221mm120010120Amm60zmm,511y22mm800Amm5zmm,5022ymm23212211AAyAyAymm38212211AAzAzAz1）确定每块图形面积和形心位置：）确定每块图形面积和形心位置：2）图形形心位置：）图形形心位置：AyAzId2yiniyII1zinizII1组合图形时：组合图

7、形时：有时也把惯性矩写成如下形式有时也把惯性矩写成如下形式2yyAiI 2zzAiI iy 和和 iz 分别称为图形对分别称为图形对 y 轴和对轴和对 z 轴的惯性半径轴的惯性半径一、轴惯性矩一、轴惯性矩和惯性半径和惯性半径AzAyId2惯性矩和惯性半径二、极惯性二、极惯性矩矩AAId2p222zy 因为：因为：所以：所以：zyAIIAzyId22p极惯性矩的几何意义：极惯性矩的几何意义：惯性矩和惯性半径惯惯 性性 积积惯性积的几何意义：惯性积的几何意义：AyzAyzId￥-3 惯惯 性性 积积惯性矩和惯性半径惯惯 性性 积积AyzAyzId惯性矩和惯性半径 若截面对坐标轴的惯性积为零，则称此

8、坐标轴为。称截面对主轴的惯性矩称为。 通过截面形心的主惯性轴，称为。截面对形心惯性主轴的惯性矩，称为。 123hbIy例题3 求Iy例题4例题5平行移轴公式azzbyyCC坐标轴与形心轴间的坐标变换：坐标轴与形心轴间的坐标变换：abAIIAbIIAaIICCCCzyyzzzyy22AACACAaAzaAzdd2d22AaIAaaSICCCyyy222ACAyAazAzId)(d22则：公式公式 已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 及惯性积 ，现需导出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐

9、标为CCyxII ，CCyxI。和aybx. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式证明与不同坐标系的公式因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为ayybxxCC ，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyICCxxAACACACAx222222 dd2dddAaIICxx2注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有CxS同理可得 以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。AbIICyy2abAIICCyxxyAaIICxx2. 组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩

10、和惯性积分别为nixyixyniyiynixixIIIIII111 ， y2 y1yx b1 hO2x 例题例题6 6、 试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix 。(a) 解：解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。212xxxIII(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为 ，每个半圆形对x轴的惯性矩为 ，则有1xI2xI其中：4433mm10333512mm200mm801221adIx83212883222422dddddIIxxC 至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得 ，而半圆形对于直径轴x(图b)的惯性矩等于圆形对x轴的惯性矩 的一半，