人教版高中数学选修（2-1）-3.2《立体几何中的向量方法（第1课时）》教学课件2

1、直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法( (一一) ) 上一节上一节, ,我们把向量从平面推广到空间我们把向量从平面推广到空间, ,并利用空间向并利用空间向量解决了一些立体几何问题量解决了一些立体几何问题. .本节我们进一步学习立体几何本节我们进一步学习立体几何中的向量方法中的向量方法. . 立体几何研究的基本对象是点立体几何研究的基本对象是点、直线直线、平面以及由它平面以及由它们组成的空间图形们组成的空间图形. .为了用空间向量解决立体几何问题为了用空间向量解决立体几何问题, ,首首先必须把点先必须把点、直线直线、平面

2、的位置用向量表示出来平面的位置用向量表示出来. . 如何确定一个点在空间的位置如何确定一个点在空间的位置? ?在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和一个定方向和一个定方向( (向量向量),),能确定一条直线在空间的位置吗能确定一条直线在空间的位置吗? ?给给一个定点和两个定方向一个定点和两个定方向( (向量向量),),能确定一个平面在空间的位能确定一个平面在空间的位置吗置吗? ?给一个定点和一个定方向给一个定点和一个定方向( (向量向量),),能确定一个平面在能确定一个平面在空间的位置吗空间的位置吗? ?OPOPOPP 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向

3、量来表示。我们把向量称为点 的位置向量。OP以及一个定方向确定。一个定点上的位置可以由空间中任意一条直线AllaABPABtAP 这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以不仅可以确定直线确定直线l的位置的位置,还可以具体还可以具体表示出表示出l上的任意一点上的任意一点.a 相交直线来确定。内两条的位置可以由空间中平面obaPbyaxOP这样这样,点点O与向量与向量不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位置,还可以具体表还可以具体表示出示出 内的任意一点内的任意一点,a b 如果表示向量如果表示向量a的有的有向线段所在直线垂直于平面向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面则称这个向量垂

4、直于平面，记作记作a，如果，如果a ，那么，那么向量向量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量la 类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量a,a,那么，过点那么，过点A,A,以向量以向量a a为为法向量的平面是完全确定的。法向量的平面是完全确定的。问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00

5、,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2,2,1),(4,5,3), ABACABC 例：已知求平面的单位法向量。(2,2,1)0(4,5,3)0,1220,124530113(, 1,1),|2212 2 (-33 3nxyznABnACxyzxyzxyzxzxyzynnABC 设平面的法向量为（ ， ， ），则，（ ， ， ），（ ， ， ）即取，得求平面的单位法向量为， ，） 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平的位置，所以我们可以利用直线的方向向

6、量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角夹角等位置关系。等位置关系。例例1 (1)1 (1)设设 分别是直线分别是直线 的方向向量的方向向量, ,根据根据下列条件判断下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: : a b 1l12ll 2l(2,3, 1),( 6, 9,3)ab (5,0,2),(0,4,0)ab ( 2,1,4),(6,3,3)ab 分析分析: :直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系, ,据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系1212;llab llab平行垂直相交或异面平行垂直相交或异

7、面例例1 (2)1 (2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量, ,根据下根据下列条件判断列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: : u v 1(1, 1,2),(3,2,)2uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析: :平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两平面位置关系, ,据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系;uvuv垂直平行相交垂直平行相交(不垂直不垂直)分析分析: :直线方向向量与平面法向量关系和直线与直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系平面位置关系, ,据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断

8、直线和平面的位置关系;lau lau例例1 (3)1 (3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量, , 是直线是直线 的方的方向向量向向量, ,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: : u (2,2, 1),( 3,4,2)ua (0,2, 3),(0, 8,12)ua (4,1,5),(2, 1,0)ua a ll 垂直相交垂直相交(斜交斜交)ll 或或 例例2 2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) A(1,2,3) 、B(2,0,-1) B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量. .

9、 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 例例3 3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直, ,则该直则该直线与此平面垂直线与此平面垂直. .已知已知: :直线直线m,nm,n是平面是平面 内的任意两条相交直线内的任意两条相交直线

10、, ,且且lm,l n.lm,l n.求证求证:l :l 证明证明: :设直线设直线l,m,nl,m,n的方向向量分别为的方向向量分别为因为因为lm,l n,lm,l n,所以所以 同理同理因为因为m,n ,m,n ,且且m,nm,n相交相交, ,所以所以 内任一直线的方向向量内任一直线的方向向量 可以表示为可以表示为 因为因为所以所以 与与 内任一直线垂直内任一直线垂直. . 因此因此 ,a b c ,0aba b 0a c p , ,pxbyc x yR ()()()0a paxbycx a by a c ll 1. 1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具向量解决立体几何问题的两个重要工具, ,是实现是实现空间问题的向量方法的媒