平面向量数量积运算专题附答案

1、学习好资料欢迎下载平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上，BC=3BE,DC=XD*AEAF=1,贝U入的值为.(2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，那么pApB的最小值为()A.-4+2B.-3+V2C.-4+22D.-3+22变式训练1(2015湖北)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAoB=.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a,b满足|a|=平同，且(a-b)±(3a+2b),则a与b的

2、夹角3为()71A.4兀B.2D.兀(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于g,|a|=2,|b|=3,则2ab与a+2b的夹角的余弦值等于()欢迎下载学习好资料1111A.26B-26C-12D.-12变式训练2（2014课标全国I）已知A,B,C为圆O上的三点，若AO=2（AB+AC）,则aB与aC的夹角为.题型三利用数量积求向量的模例3（1）已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于（）A.2B.4C.2.5D.6（2）已知直角梯形ABCD中，AD/BC,/ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，fr7一一

3、一则|PA+3PB|的最小值为.1变式训练3（2015浙江）已知研，e2是平面单位向重，且e62=2.若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.欢迎下载学习好资料高考题型精练,，一,、1.（2015山东）已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60,则BDCD等于（）3232A.12aB.14ac3232C.4aD.2ax,x>y,y,x>y,、2 .（2014浙江）记maxx,y=iminx,y=c设a,b为平面向量，则（）ly,x<y,x,x<y,A.min|a+b|,|ab|<min|a|,|b|B.min|a+b|,|ab|>min|a|,|b|

4、C.max|a+b|2,|a一b|20|a|2+|b|2D.max|a+b|2,|a-b2刁a|2+|b|23 .（2015湖南）已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC.若点P的坐标为（2,0）,则同+m+PC|的最大值为（）A.6B.7D.9C.8欢迎下载学习好资料4 .如图，在等腰直角ABO中，OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l,P为垂线上任一点，设OA=a,OB=b,OP=p,则p（b-a）等于（）A.-2-3C.一2,.,>,，71.-t.r一一一5 .在平面上，ABjAB2,|OBi|=|OB2|=1,AP=ABI+AB2.若|OP|

5、<2,则OA|的取值范围是（）B.率3D.C27,.25A.（0,/C.（25,26 .如图所示，ABC中，/ACB=90°且AC=BC=4,点M满足BM=3MA,则CMCB等于（）B.3D.6A.2C.47 .（2014安徽）设a,b为非零向量，|b|=2|a|,两组向量xi,X2,X3,X4和y1，y2,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y+X2y2+X3y3+x4、4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为（）2兀兀兀A.3叼c.6D.0欢迎下载学习好资料、.一.一,一，.一一一.一>_与之->-8 .(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD

6、中，已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,则ABAD的值是9 .设非零向量a,b的夹角为0,记f(a,b)=acos0bsina若ei,e2均为单位向量，且研e2=乎,则向量f(e1，e2)与f(e2,e1)的夹角为.10 .如图，在4ABC中，。为BC中点，若AB=1,AC=3,<AB,品=60°,则15A尸_I、4IY5>D,AD=5,且满足AD=/DB.11 .已知向量a=(sinx,4),b=(cosx,1).当a/b时，求cos2xsin2x的值;12 .在ABC中，AC=10,过顶点C作AB的垂线，垂足为求|aBAC|；(2)存在实数t>1

7、,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=xy,求k的最小值.欢迎下载学习好资料平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1（1）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上，BC=3BE,DC=XD*AEaF=1,贝U入的值为.（2）已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，那么PAPB的最小值为（）B.-3+/D.-3+2,2C.-4+22答案(1)2(2)D解析（1）如图,AEAf=(>Ab+BE)(ad+Df)=(yAB+Bc)(tAD+1DC)=>ABaD+JaBIDC+BcA

8、D+E3A333/BCDC=2X2Xcos120°+-X2X2+1X2X2+'X2X2Xcos120=2+4+4-入33入入33入3入3学习好资料欢迎下载又,.AlAF=1,入=2.(2)方法一设|PA|=|PB|=x,ZAPB=0,则tan912x'1tan2从而cos0=:1+tan2.x2x21.,27PAPB=|PA|PB|cos0_2x21x4x2=xx2+r=x2+1(x2+1j3(x2+1廿2xn=x2+1+-3>2,2-3,当且仅当x2+1=V2,即x2=421时取等号，故PApB的最小值为2印3.方法二设/APB=仇0。兀，则|两=|晶|=1.

9、J)tan£,27PAPB=|PA|PB|cos=(/cos0tan2学习好资料欢迎下载cos222。(12sin2)sin1-2sin22sin2令x=sin2/0<x<1,1*口=2x+3>22-3,一，1r一当且仅当2x=,即x=x故PAPB的最小值为2423.方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2+y2=1,设A（x1，y1），B（x1，一y1），P（xo,0）,则PAPB=(x1-xo,y1)(x1x0,-y1)=x2-2x1x0+x2-y2.由OAPA?OAPA=(x1,y1)(x1x°,y1)=0?x2x1x0+y

10、2=0,又x2+y2=1,所以xx0=1.从而PAPB=x22x1x0+x2y2=x12+x0(1x1)欢迎下载学习好资料=2x2+x0-3>22-3.故画pB的最小值为203.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a,b的数量积ab与代数中a,b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab=0时得不到a=0或b=0,根据平面向量数量积的性质有|a|2=a2,但|ab|<|a|b|.变式训练1(2015湖北)已知向量OA，苑，|6A|=3,则0而=.答案9解

11、析因为6AXAB，所以6AaB=0.所以6aoB=6a(oA+ab)=oA2+6aaB=|6a|2+0=32=9.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a,b满足|a|=平同，且(a-b)±(3a+2b),则a与b的夹角3为()7tD.兀(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于g,|a|=2,|b|=3,则2ab与a+2b的夹角的余弦1A.26值等于()1B.一26r±D.一1a答案(1)A(2)B欢迎下载学习好资料解析由(a-b)±(3a+2b)得(a-b)(3a+2b)=0,即3a2-ab-2b2=0.又=|a|=乎问，设3a

12、,b=0,即3|a|2-|a|b|cos。一2|b|2=0,1-8|b|2-邛21b12cos0-2|b|2=0.33.八J2c兀cos0=亍.又0Wg兀，0=(2)记向量2a-b与a+2b的夹角为&又(2a-b)2=4X22+324X2X3Xcos：=13,3(a+2b)2=22+4X32+4X2X3Xcos3c=52,(2ab)(a+2b)=2a22b2+3ab=8-18+9=-1,故cos0=工26化ab)(a+2b)_|2ab|a+2b|一即2ab与a+2b的夹角的余弦值是一1-.26点评求向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律，（2）数量积大于0说明不共线的两向量

13、的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2（2014课标全国I）已知A,B,C为圆O上的三点，若危=2漏+芯），则aB与启的夹角为.答案90°解析AO=%AB+AC),欢迎下载学习好资料点O是4ABC中边BC的中点，.BC为直径，根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为90°.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于(A.2B.4C.2.5D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,/ADC=90°,AD

14、=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为.答案(1)A(2)5解析(1)因为平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,所以|2a+b|="(2ab2+2X|2a|x|b|cos120°=22X12+22+2X2X1X2X12.(2)方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a,DP=x.D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),PA=(2,-x),PB=(1,a-x),PA+3PB=(5,3a4x),欢迎下载学习好资料|PA+3PB|2=25

15、+(3a-4x)2>25,一 |PA+3PB|的最小值为5.方法二设凉=xDC(0<x<1),PC=(1-x)DC,PA=DADP=DAxDC,217PB=PC+CB=(1x)DC+2DA,>_5，-、 .PA+3PB=2DA+(3-4x)DC,|PA+3PB|2=25dA2+2X|x(3-4x)DAdC+(34x)2DC2=25+(3-4x)2DC2>25, .|PA+3PB|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a=(x,V),求向量a的模只需利用公式|a|="x2+y2即可求解.(2)向量不

16、放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|=4.1变式训练3(2015浙江)已知e1,e2是平面单位向重，且e1G2=2.右平面向重b满足bei=be2=1,则|b|=.答案气331解析因为冏|=向|=1且e1e2=2.所以e1与e2的夹角为60.又因为ba=b%=1,所以be1-be2=0,即b(e1一62)=0,所以b，(e1e?).所以b与e1的夹角为30。,所以be1=|b|e11cos30=1.所以|b|=2、3学习好资料欢迎下载高考题型精练1.（2015山东）已知菱形ABCD的边长为a,/AB

17、C=60°,则BDCD等于（）.3A.12aB.-3a43C.4a32D.2a答案D解析如图所示，由题意，得BC=a,CD=a,/BCD=120°.BD2=BC2+CD22BCCDcos120=a2+a22aax(-尸3a2,BD=3a.y,x>y,f设a,b为平面向量，则(lx,x<y,BDCD=|BD|(3D|cos30=榴2x半=|a2_卜，一一2.(2014浙江)记maxx,y=Sminx,y=hx<y,A.min|a+b|,|ab|<min|a|,|b|B.min|a+b|,|ab|上min|a|,|b|C.max|a+b|2,|a一b|2

18、0|a|2+|b|2D.max|a+b|2,|a-b2刁a|2+|b|2答案D欢迎下载学习好资料解析由于|a+b|,|ab|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关，故A,B错.当a,b夹角为锐角时，|a+b|>|ab|,此时，|a+b|2>|a|2+|b|2;当a,b夹角为钝角时，a+b|<|ab|,此时，|ab|2>|a|2+|b|2;当ab时，|a+b|2=|a-b2=|a|2+|b|2,故选D.3.(2015湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则同+PB+无的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案B解析A,B,

19、C在圆x2+y2=1上，且ABXBC,二.AC为圆直径，故F+PC=2|PO=(-4,0),设B(x,y),则x2+y2=1且xC1,1,国=(x2,y),PA+PB+PC=(x-6,y).故|PA+而+PC|=12x+37,.-.x=-1时有最大值<49=7,故选B.4.如图，在等腰直角ABO中，OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l,P为垂线上任一点，设OA=a,OB=b,OP=p,则p(b-a)等于()1B.2“1A.2D.|答案A解析以OA,OB所在直线分别作为x轴，y轴,欢迎下载学习好资料O为坐标原点建立平面直角坐标系,一31则A(1,0),B(0,1

20、),0(-,-),直线i的方程为y；=x5，44即xy=0.21一1设P(x,X2)，则P=(x,x2),而ba=(1,1),1 1所以p(b-a)=-x+(x-)=._.,一心-一心1r.r.一.,.一5 .在平面上，AB/AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB+AB2.若QP|<2,则OA|的取值范围是()A.(0,呼B.(卓冬0.(£,2D.(£,2答案D解析由题意，知BnB2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，2为半径的圆的内部.又AA,>ap=AB1+Ab2,所以点A在以B1B2为直径的圆上,当P与O点重合时，|OA|取得最大值V2,欢迎

21、下载学习好资料当p在半彳仝为2的圆周上时，|OA|取得最小值乎,故选D.6 .如图所示，4ABC中，/ACB=90°且AC=BC=4,点M满足BM=3MA,则CMCB等于（）B.3D.6A.2C.4答案解析在4ABC中，因为/ACB=90°且AC=BC=4,所以AB=4，2,且B=A=45°.因为bM=3ima,所以bM=：bA.所以cMCb=（5b+Bm）Cb=Cb2+BmCB=CB2+（bAcb=16+3X472x4cos135=4.7 .（2014安徽）设a,b为非零向量，|b|=2|a|,两组向量xi,x2,X3,X4和必，刈,空,丫4均由2个a和2个b排

22、列而成.若x1y+x2y2+X3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为（）2兀兀兀A.3B.3CgD.0答案B4解析设a与b的夹角为0,由于xi,y（i=1,2,3,4）均由2个a和2个b排列而成，记S=£i=1（xiyi）,则S有以下三种情况：S=2a2+2b2;S=4ab;S=|a|2+2ab+|b|2.欢迎下载学习好资料|b|=2|a|,中S=10|a|2,中S=81a12cos。，中S=5|a|2+4|a|2cos0.易知最小，即81a12cos0=4|a|2,-cos可求仁协故选B.23、.一.一,一，.一一一.一>_与之->-8.（

23、2014江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,则ABAD的值是答案22解析由东=3而，得DP=1dC=1AB,Ap=;ad+5p=>aD+1Ab,bp=Ap->ab=>ad+-ab4444之之3一八“r、之17317217f32AB=AD4AB.因为APBP=2,所以（AD+AB）（ADAB）=2,即AD-ADAB-AB=2.又因为AD2=25,AB2=64,所以ABA5=22.9.设非零向量a,b的夹角为0,记f（a,b）=acos0bsina若e1，e2均为单位向量，且研e23=2,则向重f（e1，©2）与f（金

24、,一仇）的夹角为.答案2解析由e1e2=W3,可得cose1，e2=e1e2=坐，2|e1|e2|2二八，,5,5兀故（e1,e2>=一，（色，e1>=兀一（e2,e1>=一66;一、44馅1f（e1'%）=e1cos6一为sin62&-2e2'f（62,e1）=e2cos6一（一e1）sin5jt1近7=2e1-Te23113：3-f（e1,%）f（e2,，）=（2812）（28-2e2）=2e1e2=0,所以f（e1，e2）_Lf（e2,一e1）.欢迎下载学习好资料一一兀故向重f(ei,佥)与f(e2,ei)的夹角为5.10 .如图，在4ABC中，

25、O为BC中点，若AB=1,AC=3,<AB,AC>=60°,则|OA|=答案卷3解析因为危病=60。，所以母品=|丽|品|360=1X3x=I，又AO=1(aB+AC),所以AO2=1(AB+品)2=4(启+2苑AC+AC2),即A02=：(i+3+9)=E3,所以|OA尸房.311 .已知向重a=(sinx,4),b=(cosx,1).(1)当a/b时，求cos2xsin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a+b)b,已知在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=於,M6b=2,sinB=-,求f(x)+4cos(2A+6)(x0,3)的取值范围.解(1)因为a/b,所以3cosx+sinx