平面向量中的最值和范围问题

1、平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.考点1、向量的模的范围0,(ac)(bc)0,则abc的C.2D,2一)满足1,且T与i-T的夹角为例1、已知直角梯形ABCD中，ADBC,ADC90O,ad2,BC1,P是腰DC上的动点，则PA3PB的最小值为.(2)(2011辽宁卷理)若a,b,

2、c均为单位向量，且ab最大值为()A./2-1B.1卜FbI-1(3)(2010浙江卷理)已知平面向量，(0,120,则的取值范围是变式：已知平面向量”，3满足|1,且“与的夹角为120,则|(1t)2t|(tR)的取值范围是;小结1、模的范围或最值常见方法：通过值|2=二2转化为实数问题；数形结合；坐标法.考点2、向量夹角的范围例2、已知OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(42cosa,血sin明则OA与丽夹角的取值范围是()A会B.j器C.本D.方小结2、夹角范围问题的常见方法：公式法；数形结合法；坐标法.考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两

3、条切线，A、B为两切点，则PAPB的最小值为()(A)42(B)3,2(C)42.2(D)322，一iii1_.，一I，一一、一八一一，、一一r1,77(2)如右图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域(含边界)中运动，则APBD的取值范围是,小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：定义；模与投影之积；坐标法；-7.a+b.2,a-b,2ab=(-2-)-(-2-，考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120.如图所示，点c在以o为圆、，1_.一一C,、，一一-，一.，.一心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB其中x

4、,yCR,则x+y的最大值是小结4、向量系数问题的一般处理方法：点乘法；几何法；整体法.uuu变式：已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若APuuuABuuurAC,则的取123值氾围是()A.(一,1)B,(一,1)C.(1-)D(1,2)232专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a,b均为单位向量，其夹角为,有下列四个命题Pi：|ab|1吟）P2：|ab|P13：|ab|10勺P4：|ab|其中真命题是（A.P1,P4BP1,P3C.P2，P3D.P2，P42、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量，定义0,a与b的夹角0,且aob和boa都

5、在集合4nZ中，则aobB.1C.32D.52ABC中,Dm若A120，则AD1A.2B3B.2D.-224、（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A(1,1)右点（x,y）为平面区域上的一个动点，则OMOA的取值范围是（A.-1,0B.0,1C.0,25、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC体内部及面上的两个动点，则AMPQ的最大值是（6、（2011全国大纲理）设向量a,b,c满足aA.1212,的最大值等于（C.27、如图，在直角梯形ABCM,在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动，设=的巩4BC则的取值范围是（）D.-1,2的中点，P,Q是正方

6、B.14D.54c,bC60,则cD.1,动点P(l勺d.(L$JJr一.b3；则ab的最小值是,458、（2012安徽卷）若F面向量a,b满足：2aA.0,yB.T-C.rrrr9、已知向量a=(x1,2),b=(4,y),若ab,则9x3y的最小值为10、（2012北京卷）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DECB的值为,DeDc的最大值为；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1,E为AB的中点，若F为正方形umnuur内（含边界）任意一点，则OEOF的最大值为；12、如图，线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD,BC1,O为坐标原点，则OC?OD的