平面与空间直线

1、第3章平面与空间直线3.1 平面的方程1 .求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点Mi(3,1,-1)和点M2(1,1,0)且平行于矢量-1,0,2的平面(2)通过点M1(1,5,1)和M2(3,2,2)且垂直于xoy坐标面的平面；(3)已知四点A(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与AABC平面垂直的平面。解：(1);M1M2=-2,-2,1,又矢量-1,0,2平行于所求平面，故所求的平面方程为：x=3-2u-vy=1-2uz=-1u2v一般方程为：4x-3y2z-7-0(2)由于平面垂直于

2、xoy面，所以它平行于z轴，即0,0,1与所求的平面平行，又M1M2=2,7,-3,平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为:1_x=12u4y=-5+7uz=1-3u+v一般方程为：7(x1)2(y+5)=0,即7x2y17=0。(3) (i)设平面TL通过直线AB,且平行于直线CD:AB=-4,5,-1,CD=-1,0,2从而冗的参数方程为：x=5-4u-vy=15uz=3-u2v一般方程为：10x+9y+5z74=0。(ii)设平面n,通过直线AB,且垂直于ABC所在的平面AB=-4,5,1,ABMAC=-4,5-1x0-1,1=4,4,4=4(1,1,1均与平行，所以的参数式方程为

3、：|x=5一4uv4y=1+5u+vz=3u+v，J一般方程为：2xy-3z-2=0.2.化一般方程为截距式与参数式：二：x2y-z4=0.解：n与三个坐标轴的交点为：(-4,0,0),(0-2,0),(0,0,4),所以，它的截距式方程为：-=1.-4-24又与所给平面方程平行的矢量为：4,2,0,4,0,4,二所求平面的参数式方程为：|x-42uvy=uz=vJ3.证明矢量v=X,Y,Z平行与平面Ax+By+Cz+D=0的充要条件为AXBYCZ=0.证明：不妨设A#0,则平面Ax+By+Cz+D=0的参数式方程为：DBCx=一一-u-vAAAy=u|z=vIBC故其方位矢量为：B,1,0,

4、C,0,1,AA从而v平行于平面Ax+By+Cz+D=0的充要条件为：BCv,-一,1,0,0,1共面uAA0=0二AXBYCZ=0.4.已知：连接两点A(3,10,5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x+4yz1=0,求B里的坐标z.解：AB=-3,2,5z而AB平行于7x+4y-z-1=0由题3知：(4)V7+2父4_(z+5)=0从而z=18. 3.2 面与点的相关位置1 .计算下列点和平面间的离差和距离:(1) M(-2,4,3),n:2xy+2z+3=0；(2) M(1,2,-3),n:5x3y+z+4=0.解：将n的方程法式化，得：-2x+1y=z-1=0,33313212故

5、离差为:、(M)=(-)(-2)4-x3-1=333M到冗的距离d一,1=|S(M)|=3(2)类似(1),可求得M)-七十焉十瘾-七SM到n的距离d=|6(M)=0.2.求下列各点的坐标：(1)在y轴上且到平面2+2y-2z-2=0的距离等于4个单位的点;(2)在z轴上且到点M(1,-2,0)与到平面3x2y+6z9=0距离相等的点;(3)在x轴上且到平面12x16y+15z+1=0和2x+2yz1=0距离相等的点。解：(1)设要求的点为M(0,y0,0)则由题意一49一二y0-1=6=y0=-5或7.即所求的点为(0,-5,0)及(0,7,0)。(2)设所求的点为(0,0,)则由题意知：、

6、二吟9由此，z0=2或-82/13。故，要求的点为(0,0,2)及(0,0,82)。13(3)设所求的点为(x0,0,0),由题意知：12012x0-1253由此解得：x0=2或11/43。所求点即(2,0,0)及(11/43,0,0)。3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(2,11,5),C(1,1,4),计算从顶点S向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：2x-y-2z5=0-6-24+5所以，高h=3。34.求中心在C(3,-5,2)且与平面2xy3z+11=0相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面n：2xy3z+11=0的距离，它为:235611,1

7、4所以，要求的球面的方程为:(x-3)2(y5)2(z2)2=56.一222_即：xyz-6x10y4z-18=0.3.3两平面的相关位置1 .判别下列各对直线的相关位置：(1) x+2y_4z+1=0与2+z3=0；42(2) 2x_y_2z_5=0与x+3y-z-1=0；(3)6x+2y_4z-5=0与9x+3y11,、解：(1)1:2:(T)=-:：(1),42(2) :2:(-1):(-2)#1:3:(-1),(3) :6:2:(=9:3:(-6),9-6z=0。2;(1)中的两平面平行(不重合)；(2)中两平面相交；(3)中两平面平行(不重合)。2 .分别在下列条件下确定l,m,n的

8、值:(1)使(l3)x+(m+1)y+(n3)z+8=0和(m+3)x+(n9)y+(l3)z16示同一平面；(2)使2x+my+3z5=0与lx6y6z+2=0表示二平行平面;(3)使lx十y3z+1=0与7x+2yz=0表示二互相垂直的平面。解：(1)欲使所给的二方程表示同一平面，则：l-3m1_n8m3n-9l-3-16即：m+2l-3=0*n+2m-7=0I+2n-9=071337从而：l=,m=,n=。999(2)欲使所给的二方程表示二平行平面，则：l所以：l=工，m=3。-6-6（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则:71-23=0,1所以：173.求下列两平行平面间的距离:(1

9、) 19x4y+8z+21=0,19x4y+8z+42=0;(2) 3x+6y2z7=0,3x+6y2z+14=0。解：（1）将所给的方程化为:19-x2119-x21所以两平面间的距离为：421y-y212-1=1。-z-1=021-z-2=021（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。4.求下列个组平面成的角:(1)x+y-11=0,3x+8=0;2x3y+6z12=0,x+2y+2z-7=0。解：(1)设：x+y11=0,n2：3x+8=0-32co6(,二2)=土23一2,、二,3二/（兀1,兀2）=一或。44(2)设n1：2x3y+6z12=0,兀2：x+2y+2z7=0

10、_2-6128COS-1,-2)二7321,1481z81/(nhQncos或上(/,n2)=冗cos。2121 3.4 间直线的方程1 .求下列各直线的方程：(1)通过点A(_3,0,1)和点B(2,-5,1)的直线；(2)通过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面明：AxBiyGzDi=0(i=1,2)的直线;(3)通过点M(15,3)且与x,y,z三轴分别成60：45：120的直线；(4)通过点M(1,0,-2)且与两直线上/=丫=三!和)=匕1=匚垂直的直线;11-11-10(5)通过点M(2,4,5)且与平面6x3y5z+2=0垂直的直线。解：(1)由本节(3.46)式，得所求

11、的直线方程为:即：心=工5-5x3_y23-5x3亦即=1z-1y-10z-1=o0(2)欲求直线的方向矢量为:所以，直线方程为:B1B2C1C2C1C2A1A2A1B1A2B2x一%y-y。B1C1B2C2(3)欲求的直线的方向矢量为:C1C2A1A2z-z0AB1AB2os60,cos45,cos120,2故直线方程为:x-1y5-1(4)欲求直线的方向矢量为:%,1,-1)1,-1,0)=二1,-1,-2),所以，直线方程为：x-1_y_z2112(5)欲求的直线的方向矢量为：6,-3,-5),所以直线方程为：x-2_y-3_z5=O-32 .求以下各点的坐标：(1)在直线纪1=纥8=三

12、二8上与原点相距25个单位的点;213,x-y-4z+12=0,，一(2)关于直线y与点P(2,0,1)对称的点。2x+y-2z+3=0解：(1)设所求的点为M(x,y,z),则:x=12ty=8tz=83t即：(1+2t)2+(8+t)2+(8+3t)2=252,解得：t=4或必7所以要求的点的坐标为:(9,12,20),(-1176130、-,-)。77(2)已知直线的方向矢量为：1,-1,-4)：2,1,-2)=16,-6,3),或为：2,-2,1,过P垂直与已知直线的平面为：2(x2)2y+(z+1)=0,即2x-2yz-3=0,该平面与已知直线的交点为(1,1,3),所以若令P(x,

13、y,z)为P的对称点，则:-1z2x=0,y=2,z=7,即P(0,2,7)。3.求下列各平面的方程：(1)通过点p(2,0,-1),且又通过直线匕二=1=4二2的平面;2-13(2)通过直线立2=匚=二口且与直线1-5-12xyz30、x+2y-z-5=0平行的平面;_,x-1v，2z-2,一一，一一一(3)通过直线=v=且与平面3x+2yz5=0垂直的平面;2-325x+8y3z+9=0,一一，(4)通过直线3v向三坐标面所引的三个射影平面。2x-4y+z1=0解：(1)因为所求的平面过点p(2,0,-1)和p(-1,0,2),且它平行于矢量2-1,3,所以要求的平面方程为：x-2yz+1

14、2-13=0-303即x十5y十z1=0。(2)已知直线的方向矢量为3-1,1卜1,2,-1=1-1,3,5,平面方程为：x-2y+3z+11-5-1=0-135即11x2yz-15=0(3)要求平面的法矢量为：2,-3,2)：3,2,-1)=二1,8,13),平面的方程为：(x-1)-8(y+2)13(z2)=0,即x-8y13z+9=0。(4)由已知方程5x+8y-3z+9=02x-4y+z-1=036y-11z23=0,9x-z7=0,11x-4y6=0此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：2x+y-z+1=0x+z6=0(1)3

15、(2)3,3x-y-2z-3=02x4yz+6=0(3)x+yz=0、x=2解：(1)直线的方向数为:,射影式方程为:-1-1-1-2-23-1=(-3):1:(-5)3x=-z即51标准方程为:52x-53方向余弦为:cos-3z-51z-5-2-59-59立z153.,351=十，35(2)已知直线的方向数为:射影式方程为:二一z6一二1-4=4:3:(-4),4z-43z-43一一z4标准方程为:二z,方向余弦为:-141441二二341cos=414十。.41（3）已知直线的方向数为:,射影式方程为:-1-1=0：(_1)：(_1)=0:1:1,x=2y=z-2,、一x-2y-2标准式

16、方程为：=t(4)4y=2t+9与3x4y+7z10=0。z=9t-41J解：（1）丁（2）父4+（7）父（2）+3m（2）=0,而4x32m(T)2x03=170,所以，直线与平面平行。（2）丁3M3-2M（-2）+17父7#03-27所以，直线与平面相交，且因为3=7,3-27二直线与平面垂直。（3）直线的方向矢量为：fe-3,21x2,-1,-1=5,9,1）,4父53父9+7父1=0,2=y=z,01方向余弦为：cos：=0,1=,cos=-5,22,-191,24从而平面方程为：5(x-7)-22(y-2)19(z-0)=0,即5x-22y+19z+9=0。3-61=-270丰0,4

17、3+38+7(2)因为=3-1-32直线是异面的。直线的距离:615-33-11d_l324七,1,13,2,4】6227=丁270=3v30152320-1=0-51,21卜4,7,5)=3,1,什,x-2y+5z-8=02x+2y2z-2=0亦即-2y+5z-8=0x+yz1=0 3.7 间直线与点的相关位置A1x+B1y+C1z+D1=01 .直线11y11通过原点的条件是什么？Qx+By+C?z+D2=0解：已知直线通过原点二A0+B0+C10+D1=062c+B20+C20+D2=0D=0D2=0J故条件为D1=D2=0。2 .求点p(2,3,1)到直线，2x-2y+z+3=0、3x

18、2y+2z+17=0的距离。解：直线的标准方程为：x-11_y_z2521-2所以，p到直线的距离为：3242+|24-91-2|-22-93221212(-2)2_2025一345_=15。33.8平面束1.求通过平面4*一丫+32-1=0和*+5丫-2+2=0的交线且满足下列条件之一的平面:(1)通过原点;(2)与y轴平行;(3)与平面2x-y+5z-3=0垂直。解：(1)设所求的平面为：(4x_y+3z_1)+儿(x+5y_z+2)=01欲使平面通过原点，则须：1+2人=0,即九=1,2故所求的平面方程为：2(4x-y3z-1)(x5y-z2)=0即：9x+3y+5z=0。1(2)同(1)中所设，可求出九=。5故所求的平面方程为：5(4x-y3z-1)(x5y-z2)=0即：21x14z-3=0。(3)如(