平面几何轨迹问题分类例析

1、平面几何轨迹问题分类例析近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考.一、直线型动点轨迹事实上，要说明一动点轨迹为直线型（直线、射线或线段），必须证明两点：第一、该轨迹恒过一定点（确定位置）;第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行（明确方向）.例1（2013年湖州）如图1,已知点A是第一象限内横坐标为2格的一个定点，AN_Lx轴于点M,交直线y=x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，/APB=30>BA_LPA，则点P在线段ON上运动

2、时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.7+图1解析如图2,由点P位于O、N时，点B所对应的位置B。、Bn以及点P在线段OC上运动，可猜想点B的轨迹是线段B0Bn.如何证明呢？显然，点B的轨迹已经过B。点，下面只需证明/A&B为定值，即证明它与某一个定角相等即可.观察可得，NAPN就是与/AB°B相等的定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难想到用三角形相似来证明两角相等.由AB0=AOtan301AB=APtan30，得AB。：AO=AB:AP=tan30°又易知/OAC=/B0AB捐AAB0BsAAOP,所以/AB°

3、B=/AOP为定值.故点B在线段B0Bn上,即线段BoBn就是点B运动的路径（或轨迹）.同理可证AAoBnBAAON,且相似比为tan3则B0n氏OaNn3=0GM.=223图2注例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向.例2（2010年桂林）如图3,已知AB=1O,点C、D在线段AB上，且AC=DB=2.P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边MEP和等边APFB,连结EF,设EF的中点为G.当点P从点C运动到点D时，点G移动路径的长是.图3解析如图4,分别延长AE、BF交于点H,由/EAP=NFBP=60=可知，当点P在线段CD上移动时，

4、点E、F分别在线段AH、BH上移动.H由/A=/FPB=60*,知AH/PF,同理BH/PE.所以四边形EPFH为平行四边形，得EF与HP互相平分.又G为EF的中点，故G为PH中点.连结CH、DH,设其中点分别为M、N,则MN/CD,且MG/CD,所以MN与MG所在的直线重合，故点G的运动轨迹AHCD的中位线MN,长度为3.二、圆弧型动点轨迹根据圆的定义可知，要确定动点的轨迹为圆弧型，只需证明动点到某一定点的距离为定值.例3(2011年湖州)如图5,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外)，直线PM交AB的延长

5、线于点D.(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)当MPD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图6),当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.图5解析(1)D(2,4-m);34-2(2)分AP=DP,PD=AD和AP=AD三种情况讨论，可求得m的值为于一，一和一;233(3)动点H到哪个定点的距离为定值呢？由OH_LME和O、M为定点，联想到连结OM，取其中点N,则动点H到定点N的距离为定值，即H点的轨迹是以点N为圆心、10M为半径的圆上的一段圆弧.2显然，当点P无限接近点

6、C时，点E趋向无穷远，ME与x轴接近于平行，所以点H无限接近于点C;当点P与点O重合时，H对应的位置点为轨迹的另一个端点，此时，可求得抛物线的解析式为y=-x2+3x,得点E的坐标为(3,0).过M点作y轴的垂线于F点，可得ZFME=45*,得/CME=135，又/OCM=/MHO=90，/COH=45、连结CN,由CN=ON=HN,知.CNM=2.COM,.HNM=2HOM,.HNC=90.由勾股定理，得HN=OM='5,故H点的轨迹长为45n.224三、图象型动点轨迹建立适当的坐标系，求出动点坐标所满足的函数关系式，依据函数图象判定动点轨迹的形状.例4(2012年福州)如图7,在R

7、tABC中，/C=90：AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动.过点P作PD/BC,交AB于点D,连结PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t之0).(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=.(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形*存在，求出t的值;若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度.(3)在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.图74解析（1）PDt,B

8、Q=8-2t;3(2)四边形PDBQ不可能为菱形当Q在CB上运动的速度为每秒16个单位时，存在t=10秒时，四边形PDBQ为菱形;153如图7,以点C为原点，直线CA为x轴建立平面直角坐标系，设M点的坐标为(x,y),过M点作MN_Lx轴于N点，则MN/QC,PM1PQ一2PNMN.：PMNsPQC,PCQC又PC=6-t,CQ=2t,，一1.一一1得MN=t,PN=3-t,故CN=CPPN=3t,22-1.x=3-t,y=t.2消去t,得y=2x+6.又由0MtM4,得1<x<3.所以M点的轨迹是以E(3,0),F(1,4)为端点的线段EF,由两点之间距离公式得M经过的路径长EF=2