广东东莞高二数学下学期期末考试试题A理含解析新人教A版

1、2012-2013学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷A（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. （5分）已知a-ai=b+i,其中i为虚数单位，a,b为实数，则a+b=（）A.-2B.TC.0D.2考点：复数相等的充要条件.专题：计算题.分析：利用复数相等即可得出a,b.解答.a=b,一解：=a-ai=b+i,其中i为虚数单位，a,b为头数，,解得a=b=-1.1- a+b=-2.故选A.点评：熟练掌握复数相等是解题的关键.2. （5分）函数f（x）的定义域为开区间（a,b）,导函数f'（x）在（a,b）内的图象如A.X1,X3,X5B.

2、X2,X3,X4C.X1,X5图所示，则函数f（x）在开区间（a,b）内的极值点是（）D.X2,X4考点：函数在某点取得极值的条件.专题：导数的综合应用.分析：根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数.解答：解：因为图象是导函数的图象，所以导数值的符合代表函数单调性的变化.由图象可知在X1处，左侧导数为负右侧为正，所以在X1处函数取得极小值.在X5处，左侧导数为正右侧为负，所以在X1处函数取得极大值.故选C.点评：本题主要是通过导函数的图象研究函数的极值问题.如果是导函数，则需要看导数值的正负变化，如果是原函数，则看的是函数的单调性的变化.23. （5分）已知服从正态分布N

3、（,（T）的随机变重在区间（1-a,（i+b）,（科-2（t,科+2b）,和（科-3（t,+3（r）内取值的概率分别为68.3%,95.4%,和99.7%,某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cmj）服从正态分布（165,52）,则适合身高在155175cm范围内的校服大约要定制（）A.683套B.954套C.972套D.997套考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题：概率与统计.分析：变量服从正态分布N（165,52）,即服从均值为165cm,方差为25的正态分布，适合身高在155175cm范围内取值即在（-2（T,科+2）内取值，其概率为：95

4、.4%,从而得出适合身高在155175cm范围内校服大约情况，得到结果.解答：解：二学生的身高（单位：cm）服从正态分布NI（165,52）,即服从均值为165cm,方差为25的正态分布，.适合身高在155175cm范围内取值即在（-2a,科+2）内取值，其概率为：95.4%,从而得出适合身高在155175cm范围内学生穿的服装大约套数是：1000X95.4%=954套故选B.点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的变化特点，本题是一个基础题，不需要多少运算4. （5分）用数学归纳法证明+a+f不（aw1,nCN*）,在验证当n=11-a时，等式左边应为（）A.1B.1+

5、aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3考点：数学归纳法.专题：点歹h递归数列与数学归纳法.分析：根据等式的特点，即可得到结论.解答：._证明：:l+a+之二：（aw1,nCN）,1-a当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3,故答案为：1+a+a2+a3.点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.5. （5分）（爪巧芋”的二项展开式中，x2y4项的系数是（）A.45B.90C.135D|270考点：二项式定理.专题：计算题；概率与统计.分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的哥指数等于2,且y的哥指数等于4,求得r的值，即可求得展x2y4项的系数.解答：解：在（

6、工+“y）6的二项展开式中，通项公式为Tr+1=C?x6r?（/jv），令6-r=2,且r=4,求得r=4,故x2y4项的系数是黑？（）*=135,故选C.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.6. （5分）曲线y=2sinx在点P（兀，0）处的切线方程为（）A.y=-2x+2兀B.y=0C.y=-2x2兀D.y=2x+2兀考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的概念及应用.分析：由求导公式和法则求出导数，再把x=Tt代入求出切线的斜率，再代入点斜式方程化为斜截式即可.解答：解：由题意得，y'=2cosx,则点P（兀，0

7、）处的切线斜率k=-2,点P（兀，0）处的切线方程是：y-0=-2（x兀），即y=-2x+2兀,故选A.点评：本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及点斜式方程的应用.7. （5分）投掷一枚骰子，若事件A=点数小于5,事件B=点数大于2，则P（B|A）=（）A.1B.1C.1D.15432考点：条件概率与独立事件.专题：概率与统计.分析：由题意，P（B|A）为投掷一枚骰子，点数大于2而小于5的概率，从而可得结论.解答：解：由题意，P（B|A）为投掷一枚骰子，点数大于2而小于5的概率，投掷一枚骰子，基本事件有6个，点数大于2而小于5,基本事件有2个，P（B|A）号）6

8、3故选C.点评：本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.8. （5分）从n（nCN,且n>2）人中选两人排A,B两个位置，若其中A位置不排甲的排法数为25,则n=（）A.3B.4C.5D|6考点：排列、组合及简单计数问题.专题：概率与统计.分析：由题意，A位置不排甲，故从其余n-1人中选一人排A位置，再从剩下的n-1人中选一人排B位置，由此可得结论.解答：解：由题意，A位置不排甲，故从其余n-1人中选一人排A位置，再从剩下的n-1人中选一人排B位置，,由题意，A位置不排甲，故从其余n-1人中选一人排A位置，再从剩下的n-1人中选一人排B位置（n-1）2=251. n=

9、6故选D.点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9. (5分)已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)=6.9,则a的值为()X4a9Pm0.20.5A.5B.6C.7D.8考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.专题：概率与统计.分析：先根据概率分布表，利用概率之和为1,求出m再利用期望公式求出a的值.解答：解：由分布列性质知：m+0.2+0.5=1,m=0.3,.E(X)=4X0.3+aX0.2+9x0.5=6.9,.a=6故选B.点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的计算能力，属于基础题.10. (5分)函数

10、f(x)的定义域为R,f(-2)=2013,对任意xCR,都有f'(x)V2x成立，则不等式f(x)>x2+2009的解集为()A.(-2,2)B.(-2,+8)C.(-8,2)D.|(-8,+oo)考点：函数的单调性与导数的关系.专题：导数的综合应用.分析：构造函数g(x)=f(x)-x2-2009,利用对任意xCR都有f'(x)V2x成立，即可得出函数g(x)在R上单调性，进而即可解出不等式.解答：解：令g(x)=f(x)-x2-2009，贝Ug'(x)=f'(x)-2x<0,函数g(x)在R上单调递增，而f(-2)=2013,_、一，一,一、2

11、_g(-2)=f(-2)-(-2)-2009=0.，不等式f(x)>x2+2009,可化为g(x)>g(-2),xv-2.即不等式f(x)>x2+2009的解集为(-8,2).故选C.点评：恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. (5分)若复数汽(i是虚数单位)，则z的模忆尸_注_.1-2i考点：复数代数形式的混合运算；复数求模.专题：计算题.分析：分子分母同乘以1+2i对复数化简，整理成代数形式，再代入复数模的公式求解.解答：解：由题意得，l+3i=（1+及）-21a-21）（1+21）=-1+

12、i,5则忆尸，（-i）汩=7,故答案为：血.点评：本题考查了复数的除法运算，以及复数模的公式，属于基础题.12. （5分）若根据儿童的年龄x（岁）和体重y（kg）,得到利用年龄预报体重的线性回归A方程是尸3x+5.现已知5名儿童的年龄分别是3,4,5,6,7,则这5名儿童的平均体重大约是20（kg）.考点：回归分析的初步应用.专题：概率与统计.分析：根据所给的5名儿童的年龄做出平均年龄，代入线性回归方程求出纵标，就是要求的平均体重.解答：解：.5名儿童的年龄分别是3,4,5,6,7,.这5名儿童的平均年龄是3+4+5+6+7=55A用年龄预报体重的回归方程是尸31+5A，这5名儿童的平均体重是

13、尸3><5+5=20kg故答案为：20.点评：本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.13. （5分）由曲线尸工和直线乂二！，x=3及x轴所围图形的面积为21n3x3考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题；导数的概念及应用.分析：作出曲线y=1和直线J,X=3的图象，得出它们的交点横坐标，可得所求面积为函x3数y=3在区间工，3上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答x3案.斛：,曲线尸工和直线重不,x=3及x轴所围图形的面积S=J?dx=1nx|1=1n3-x3上x33ln-=2ln3.3故答案为：2ln3点评：本题求两条曲线围成的曲边图形

14、的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题.14. （5分）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0,常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有BDEF,下面一定有雷的方块有AC.（请填入所有选定方块上的字母）图甲图乙考点：进行简单的合情推理.专题：函数的性质及应用.分析：根据扫雷的

15、基本原理，即可分析得到结论.解答：解：图乙中，由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷.结合B下方的“3”，可得最左边的AB对应的方格中有一个雷；C下方是“1"，故A必定是雷，B必定不是雷，C必定是雷同理可得D,E,F必定不是雷故答案为：BDEFAC.点评：本题考查合情推理，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题.三、解答题：(本大题共6小题，共80分)15. (12分)已知复数z=bi(bCR),三二是实数，i是虚数单位.1+i(1)求复数z；(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念.专题：计

16、算题.分析：(1)由z=bi(bCR),化简l2=bi-2为上工Jtgj.根据三二是实数，可得i+ii+i2i+i至2二0,求得b的值，可得z的值.(2)化简(m+z)2为(吊-4)-4mi,根据复数f(4)所表示的点在第一象限，可得!加*一,解不等式组求得实数m的取值范围._4nC>0解答：解：(1);z=bi(bCR),.z-2bi-2(bi-2)(IT)Cb-2)+(b+2)ib-2b+2.=1+i1+i(1+i)(1-i)22又;三二是实数，里工二。，1+i2ub=-2,即z=-2i.(2) z=-2i,mCR,(m+z)2=(m2i)2=n24mi+4i2=(R4)4mi,又.

17、复数f(4)所表示的点在第一象限，m一4>°,(10分)-411c>0X.解得m<-2,即mC(-8,2)时，复数f(4)所表示的点在第一象限.点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位的嘉运算性质，属于基础题.16. (12分)在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中，共调查了160人，其中女生85人，男生75人.女生中有60人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有20人选修排球，其余的人选修篮球.(每人必须选一项，且只能选一项)(1)根据以上数据建立一个2X2的列联表；2_0(ad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d

18、)(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与体育选修项目有关？<2>k0).500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001(0).4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据:,其中n=a+b+c+d.考点：独立性检验的应用.专题：概率与统计.分析：(1)根据共调查了160人，其中女生85人，男生75人.女生中有60人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有20人选修排球，其余的人选修篮球，可得2X2的列联表；(2)利用公式，求出K2,与临界值比较，即可得到结论.2

19、-30.745，(8分)解答：解：(1)根据题中数据，建立一个2X2的列联表如下：女生男生合计先排球602080日篮球255580P一8575160(6分)160X(60X55-20X25)80X805x75且30.745>10.828,P(K2>10.828)=0.001,(10分)所以能在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为性别与体育选修项目有关.(12分)点评：本题考查2X2的列联表，考查独立性检验知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题.17.(14分)已知函数f(a2-1)x+b(a,bCR),其图象在点(1,f(1)处的切线方程为x+y-3=0.(1

20、)求a,b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值；(3)求函数f(x)在区间-2,5上的最大值.考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用.分析：(1)求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求a,b的值；(2)求导数，利用导数的正负，即可求函数f(x)的单调区间和极值；(3)将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数f(x)在区间-2,5上的最大值.解答：解：(1)由题意，f'(x)=x2-2ax+a2-1.(1分)又函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为x+y-3=0,所以切线的斜率为-1,即f'(1

21、)=-1,.-.a2-2a+1=0,解得a=1.(2分)又点(1,f(1)在直线x+y3=0上，f(1)=2,(3分)同时点(1,f(1)即点(1,2)在y=f(x)上，-a+(相-1)+b,(4分)即2二1-1+(I2-1)+b,解得(5分)(2)由(1)有f(工)=13-丫之+m，f'(x)=x2-2x,(6分)33由f'(x)=0可知x=0,或x=2,所以有x、f'(x)、f(x)的变化情况表如下:x(-8,0)(0,2)2(2,+°0):'(x)+)-0+：(x):及大值极小值(8分)由上表可知，f(x)的单调递增区间是(-°

22、6;,0)和(2,+8),单调递减区间是(0,2);(10分)，函数f(x)的极大值是f(Q)二耳极小值是f(2)=-1-1(11分)(3)由(2),函数f(x)在区间-2,5上的极大值是f(0)=乡.1(12分)又f(-2)=-4,f二昱，(13分)3函数f(x)在区间-2,5上的最大值为理.(14分)3点评：本题考查导数知识的应用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.18.(14分)根据以往资料统计，大学生购买某品牌平板电脑时计划采用分期付款的期数I的分布列为1_23p0.40.250.35(1)若事件A=购买该平板电脑的3位大学生中，至少有

23、1位采用1期付款,求事件A的概率P(A);(2)若签订协议后，在实际付款中，采用1期付款的没有变化，采用2、3期付款的都至多有一次改付款期数的机会，其中采用2期付款的只能改为3期，概率为工；采用3期付款的5只能改为2期，概率为数码城销售一台该平板电脑，实际付款期数C与利润刀(元)3的关系为123Y200250300求Y的分布列及期望E(Y).考离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式.点：专概率与统计.题：分(1)利用对立事件的概率公式，即可求解；F(N)=(1-0.4)3二。.216，(2分)(4分)P(C=2)=0.25X(1-+0.35X工二",5360P(n=2

24、00)=Z,p(n=250)二"P5=300)=,56060.Y的分布列为析：（2）求出实际付款期数I'的概率，进而可得利润Y的概率，即可求出Y的分布列及期望E（刀）.解解：（1）若事件A=购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款,答：则事件=购买该平板电脑的3位大学生中没有1位采用1期付款.P(A)二1一P(A)=1一0.216=0.734.（2）根据题意，实际付款期数I'的概率为p（已=1)=0.4哈5P（/二3）二0.25X：0.35X（1-1）=U,（10分）5360而销售一台该平板电脑的利润Y的可能值为200元，250元，300元.(11分)20

25、0250300P(3)求证：+-+-塔(门N).-if+3争+5M(3)+7(n)+2n+l的000O(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5);（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式;(12分)19.（14分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第黑点的总数为f（n）.n个图形中所有小正三角形边上“期望E-.乂髀0X拼300X*2呜（元）(14分)点本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属评：于中档题.考,点日纳推理.专探究型.题分(1)由图分别求出f(2),f(3),f(4),f(5).析(2)根据(1)的几个数值，归纳出

26、f(n)的表达式.:(3)利用归纳的f(n)的表达式，将数列进行化简求和，然后利用归纳法证明不等式.解解：(1)由题意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3X2=12,答f(3)=f(2)+3+3X4=27,f(4)=f(3)+3+3X6=48,f:+3+3X8=75.(2)由题意及(即f(n+1)所以f(2)f(3)-ff(4)-ff(n)1)知，f(n+1)=f(n)+3+3X2n=f(n)(n)=6n+3,(1) =6X1+3,(2) =6X2+3,(3) =6X3+3,f(n-1)=6(n1)+3,(5分)(5)=f(4).(2分)+6n+3,(4分)将上面(n-1)个式子相加，得

27、：f(n)-f(1)=61+2+3+-+(n-1)+3(n-1)(1+n-1)(n-1)+3(门-1)=3n2-3(6分)又f(1)(3).f2=3,所以f(n)=3n.(7分),、2(n)=3n1(n)+2n+l分)n*+2n+l(n+1)六n(51)1_1-.nn+1当n=1时,+31,25J靛，原不等式成立.(10分)当n=2时,：-差，原不等式成立.(11分)生+3些+54936361-1O当n>3时,1HH+H(1)+3(2)+5*(3)+7(n)+2nfrlOwDQX3+3£><12+5JJ+(i-1)+-A)+(1-3445nn+11.111493n+12536n+1<36'原不等式成立.(13分)综上所述，对于任意nCN*,原不等式成立.(14分)点本题