5.4定积分的应用2-A

1、5.4 定积分的应用定积分的应用2三、小结三、小结 思考题思考题 一、旋转体的体积一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积yxy.,),(:轴轴围围成成由由设设曲曲边边梯梯形形xbxaxxfyS .xVxS的体积的体积轴旋转一周所成旋转体轴旋转一周所成旋转体绕绕求求x1 1、绕、绕 x 轴旋转的旋转体轴旋转的旋转体ab)(xfy选选取取积积分分

2、变变量量)2(元素法元素法,bax 为为体积元素体积元素)3(积分积分)4(作草图作草图)1(.,轴的平面轴的平面作垂直于作垂直于上上在典型区间在典型区间xdxxx dxydVx2 bx ax x badxxf2)( baxdxyV2 )(xfy dxxf2)( dxx x例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积解解xhry , 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,

3、dxxx ，yrhPxo直线直线 方程为方程为OP作草图作草图)1(x 选选取取积积分分变变量量为为)2(dxxhrdVx2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVhx20 hxhr03223 .32hr 体积元素体积元素)3(积分积分)4(yrhPxoxxhry a a.12222而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积轴轴旋旋转转所所围围成成图图形形绕绕计计算算由由椭椭圆圆xbyax 例例1 1解解作草图作草图)1(22xaaby ,aax x 选选取取积积分分变变量量为为)2(dxydVx2 体积元素体积元素)3(dxxaab)(2222 积分积分)4( aaxdxxaabV)(2222 xy

4、oaa 22xaaby xaaxxaab 33222 234ab .34 2abVx 椭球体积椭球体积问题问题22222341abybyax 而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积轴轴旋旋转转所所围围成成图图形形绕绕椭椭圆圆解解作草图作草图)1(,bby y 选选取取积积分分变变量量为为)2(yxob b？22ybbax b bdyxdVy2 体积元素体积元素)3(dyybba)(2222 积分积分)4( bbydyybbaV)(2222 bbyybba 33222 ba234 .34 2baVy 椭球体积椭球体积 ,球球的的体体积积时时当当ba .34 3aV y22ybbax xyo)(yx

5、 cd dcydyxV2 .,),(:轴轴围围成成由由设设曲曲边边梯梯形形ydycyyxS .yVyS的体积的体积轴旋转一周所成旋转体轴旋转一周所成旋转体绕绕则则一般情况一般情况 dcdyy2)(求求由由曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕 x轴轴及及 y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解请你动手计算请你动手计算轴轴旋旋转转绕绕x)1(求交点求交点 042yxy)0 , 2(),0 , 2( 24xy 222dxyVx 2222)4(dxx 15512 2 , 2 x轴轴旋旋转转绕绕y)2(yx 44 , 0 y 402dyxVy 40)4(dyy 8 解解

6、绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy练习 设平面图形由曲线2yx与直线1,0 xy所围成，求此图形（1）绕 x 轴旋转构成旋转体的体积.（2）绕 y 轴旋转构成旋转体的体积.xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算

7、个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积yx例例 3 3 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为xyoRx,222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积yhxA )(立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 22xRh 一一平平面面

8、经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 请你动手计算请你动手计算RR xyo x旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕

9、非轴直线旋转一周三、小结三、小结5.4 定积分的应用定积分的应用3-求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长xoy0MA nMB 1M2M1 nM一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念记记作作为为终终点点的的曲曲线线弧弧为为起起点点是是以以设设,BACCAB在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，问题问题什么样的曲线弧可以求弧长？什么样的曲线弧可以求弧长？光滑曲线可求长光滑曲线可求长.结论结论若此折线的长若此折线的长 |11

10、niiiMM的极限存在，的极限存在，则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧AB的弧长的弧长.xoy0MA nMB 1M2M1 nMC元素法元素法方法方法dxxoyabxdxx dy二、直角坐标情形二、直角坐标情形若曲线弧若曲线弧C C为：为：)(xfy )(bxa 在在 上有一阶连续导数上有一阶连续导数. .,ba求曲线弧求曲线弧C C的弧长的弧长)(xfy 且且（元素法）（元素法）作草图作草图)1(选选取取积积分分变变量量)2(,bax 为为以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 .,处作曲线的切线处作曲线的切线的的在在xdxxx积分积分)4(小小切切线线段段的的长长

11、22)()(dydx dxy21 dyxds21 弧长元素弧长元素)3(弧长弧长.12dxysba (弧微分弧微分)xoyabxdxx dydx注意注意,),(dycyxC 为为若曲线若曲线,为为积积分分变变量量则则选选取取y此时弧长元素此时弧长元素dxyds21 .12dyxsdc 解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 1 1 求求曲曲线线2332xy 上上相相应应于于 x 从从 a 到到 b 的的一一段段弧弧的的长长度度.作草图作草图)1(选选取取积积分分变变量量)2(,bax 为为弧长元素弧长元素

12、)3(积分积分)4(,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 三、参数方程情形三、参数方程情形若曲线弧若曲线弧C C由参数方程表示为：由参数方程表示为：求曲线弧求曲线弧C C的弧长的弧长例例 2 2 求星形线求星形线 taytax33sincos)20( t的全长的全长.解解根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( r在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 四、极坐标情形四、极坐