简单的线性规划二

1、简单的线性规划（二） 若实数x,y满足 求z=2x+y的最值.zxxk46(1)24(2)x yx y 上式可化为y=-2x+z，此时z为此直线方程在y轴上的截距直线y=-2x+z要与不等式给定的平面区域有公共点表示平面内 的一个区域求z的最值即求y=-2x+z与不等式组给定区域相交时与y轴的截距的最值 若实数x,y满足求z=2x+y的最值.46(1)24(2)x yx y YOXACBDX+y=4X+y=6X-y=2X-y=42x+y=0按下列步骤进行：画画 移移求求； 当当x=3,y=1时时,zmin=7; 当当x=5,y=1时时,zmax=11;答答42x yx y 由得A(3,1)64

2、xyxy由得C(5,1). 若实数若实数x,y满足满足 求求z=2x+y的最值的最值.46(1)24(2)xyxy线性约束条件，满足约束条件的坐标为可行解 目标函数（线性目标函数）简单线性规划问题取得最值时对应的点坐标为最优解 例1：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。 1255334xyxyx已知 , 求z=2x+y的最大值和最小值。1255334xyxyxxy1234567O-1-1123456BACx=1x-4y+3=03x+5y-25=0l1l2l解：不等式组表示的平面区域如图所示：z.x.x.kxyl2：作直线所以，122523112maxminzzA(5,2

3、), B(1,1),。)522,1(C过A(5,2)时，z的值最大，的值最小，当ll过B(1,1)时，由图可知,当探究结论平移 使之与平面区域有公共点,l解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （1 1）画域：画出线性约束条件所表示的可行域。）画域：画出线性约束条件所表示的可行域。（2 2）找点：对线性目标函数进行变形，找到所）找点：对线性目标函数进行变形，找到所 求求z与直线截距的关系，先画出过原截距的关系，先画出过原 点的直线，平移，在可行域中找到点的直线，平移，在可行域中找到 最优解。最优解。（3 3）求点：观察最优解在可行域中的位置，）求点：观察最优解在可行域中的位置， 求出最优

4、解。求出最优解。 （4 4）求值：由最优解带入线性目标函数求得最）求值：由最优解带入线性目标函数求得最 大最小值，作出答案。大最小值，作出答案。 分析：目标函数变形为zxy2121最小截距为过A(5,2)的直线2l1l2l53952221minz1225maxzx=1AC最大截距为过的直线1l)522, 1(C变式1：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？y1234567O-1-1123456x3x+5y-25=0Bx-4y+3=00ly1234567O-1-1123456变式2求z=3x+5y的最大值、最小值呢？解：不等式组表示的平面区域如图所示：所以，25255381513maxmi

5、nzz作斜率为的直线，：0y53xzl53BACx3x+5y-25=0 x-4y+3=0l由图可知,当的值最小，过B(1,1)时，z的值最大， 当 过 时， l)522, 1 (),2 , 5(CA25522513zmax或0l1lx=12ll1(2004高考全国卷高考全国卷4理科数学试题）理科数学试题）：求z=2x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：, 0, 1yxyyx答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。2 ：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：3x+y=03x+y=29答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.00672432yxyyxyxCBA

6、y=6x-y=72x+3y=24(9,2)(3,6)8(0,6)12(7,0)xOy求z=300 x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：探索结论x+3y=0300 x+900y=0300 x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300 x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300 x+900y有最大值112500.0025023002yxyxyxC125250150BAx+2y=2502x+y=300Oy 小小 结结 本节主要学习了线性约束下如何求目标本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的函数的最值问题最值问题 正确列出变量的不等关系式正确列出变量的不等关系式, ,准确准确作出作出可行域可行域是解决目标函数最值的关健是解决目标函数最值的关健 线性目标函数的最值一般都是在可行域线性目标函数的最值一般都是在可行域的的顶