3-3随机向量函数的分布与期望ppt课件

1、一、随机向量函数的分布一、随机向量函数的分布二、随机向量函数的期望二、随机向量函数的期望3.3 3.3 随机向量函数的分布与期望随机向量函数的分布与期望1、离散型、离散型,( , )D.r.v. X Yg x y（），是是一一个个二二元元函函数数，(,)(,)g X YX Y则则作作为为的的函函数数是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，(,) , ,1,2,ijijX YP Xx Yypi j (,)(1,2,)kZg X YzkZ 设设的的所所有有可可能能取取值值为为，则则 的的概概率率分分布布为为(,) (,),ijkkkijg xyzP ZzP g X Yzp 1,2,.k 一、随机

2、变量函数的分布一、随机变量函数的分布XY1021 . 01021 . 01 . 0003 . 015. 02 . 005. 0例3.12(,)X Y设设的的概概率率分分布布如如下下表表XYXY 求求 及及的的概概率率分分布布. .证：证：i=0,1,2,11()!ieP Xii ，j=0,1,2,22()!jeP Yjj ，例例3.1312(),(),XPYP设设且且相相互互独独立立，12()ZXYP 证证明明Possion分布的可加性分布的可加性12ik-i-12eei!(k-i)!0ki ik-i12k!i!(k-i)!12()0!kiek 12()12() ,!kek k=0,1,212

3、()ZXYP 故故()P ZXYk 0 kiP Xi P Yki 0(,)kiP Xi Yki ,C.r.v. X Y f(x,y)（），( , )g x y 是是一一个个二二元元函函数数，(,)Zg X Y 求求的的分分布布。( ) (,)ZFzP ZzP g X Yz ,( )( )ZZzfzFz 故故对对几几乎乎所所有有的的有有2 2、连续型、连续型( , )( , ),g x yzf x y dxdy (1)卷积公式卷积公式定理：两个独立的连续型随机变量之和仍是连续型随定理：两个独立的连续型随机变量之和仍是连续型随机变量，且其概率密度为两随机变量概率密度的卷积。机变量，且其概率密度为两

4、随机变量概率密度的卷积。( ),( )XYXfx YfyXY即即若若，且且 与与 相相互互独独立立，( )()*( )YXXYffzfzy fy dy ( )( )*( )ZXYYXZXYfzffzffz 则则 ( )*)ZXYfzffz 其其中中-卷积公式卷积公式( )()XYfx fzx dx )(zZPzFZ ( , )ddxy zf x yxy ( )( )d dzxXYfx fyyx yu x ( )()d dzXYfx fuxux ( )()d dzXYfx fuxxu xyOzyx 证明：证明：( )dzZfuu ( )( ,)d( )()d .ZXYfzf x zxxfx fz

5、xx 从从而而P XYz( )( )ddXYxy zfx fyxy 推论推论2211221(,),(,),XNYNXY （ ）设设随随机机变变量量且且 与与221212(,).XYN 相相互互独独立立，证证明明2（ ）正正态态分分布布关关于于独独立立与与线线性性运运算算具具有有封封闭闭性性221122(,)(,),XNYNX Y ，且且相相互互独独立立则则其其任任意意线线性性组组合合仍仍服服从从正正态态分分布布，且且22221212(,),aXbYN abab ,0.a b其其中中不不全全为为( 2,1),(2,1),27,XNYNXYZXYZ 且且 与与 相相互互独独立立，设设练练则则习习：

6、(2)例题讲述例题讲述1141122121226 (),1()PXeXeXXXX ，且且与与相相互互独独立立， 求求的的例例密密度度函函数数。1212,0( ),0,0( )0,xXyXexXfxeyXfy 其其它它其其它它12,( )ZZXXZfz 解解：令令设设12( )( )()ZXXfzfx fzx dx 由由卷卷积积公公式式得得为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 00 xzx 0 xz 即即 ()00( )0,0 zxzxZeedxzfzz 2,00,0zzezz 注：指数分布不具有可加性。注：指数分布不具有可加性。114(,) ( ),

7、( , )|02,01,max,229, 求求的的分分布布例例。X YU G Gx yxyXMX YSXYYP 1, 02,01( , )20,xyf x y ( (1 1) )其其解解他他: : zyxxyozyxxzy 0( )ZXzFzPzY 当当时时，0 ( , )xzyf x y dxdy 0z 当当时时，( , )xzyf x y dxdy ( )XF zPzY zyxxyozyxxzy 2xy 1()2S DG,02411,2zzzz 20,01( ),0241,2zfzzzz (2)( )max,MFzPX Yz ,zYzXP ,( , )x z y zf x y dxdy 1

8、()2S DGxy21o1 20,001212212zzzzzz ,011( ),1220,Mzzfzz 其其他他(3)( )SFsP SsP XYs ( , )xy sf x y dxdy sxy xy21os210,011,0221,2ssxsdxdyss 0,0(1ln 2ln ),0221,2sssss 1(ln2 ln ), 02( )20,Sssf s 其其他他二、随机向量的函数的数学期望二、随机向量的函数的数学期望(,)(,)X YZg X Y 设设随随机机向向量量的的函函数数的的数数学学期期望望存存在在，?EZ如如何何求求数数学学期期望望1. . .(,) , ,1,2,iji

9、jD r v X YP Xx Yypi j （ ）,(,)(,).ijiji jEZEg X Yg xyp 则则 2. . .(,) ( , )C r v X Yf x y（ ）(,)( , ) ( , ).EZEg X Yg x y f x y dxdy 则则1、计算公式、计算公式(,),g X YXY 例例，设设如如则则有有,. . .(,)(,)( , ). . .(,)ijiji jx y pD r v X YEg X YEXYxyf x y dxdyC r v X Y ，例3.20(,)X Y二二维维离离散散型型随随机机向向量量的的概概率率分分布布为为XY1021 . 01021 .

10、 01 . 0003 . 015. 02 . 005. 0,.EXY EX EY求求 解解EXY0202 . 0001 . 0) 1(01 . 02105. 0013 . 0) 1(11 . 02200215. 0) 1(2. 00.95EX 0.15EY 例例3.21解解Z设设 表表示示商商店店每每周周所所获获利利润润，由由题题设设有有1000 ,(,)1000500(),.YYXZg X YXYXYX (,) ( , )( )( )XYX Yf x yfx fy :10,20XXU进进货货量量，:10,20YYU需需求求量量，XY且且 与与 独独立立1,1020,1020,1000,.xy

11、 其其他他故有故有( , ) ( , )EZg x y f x y dxdy 20201011000100ydyydx2010101500()100ydyxydx 201010(20)yy dy 2021035(1050)2yydy 200005 150014166.67()3 元元202010101( , )100g x ydxdy 2、数学期望的性质、数学期望的性质(1),X Y对对任任意意两两个个随随机机变变量量，如如果果其其数数学学期期望望均均存存在在，()();E XYE XYEXEY 则则存存在在，且且(2),X Y设设是是任任意意两两个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量 数数学学期期望望均均.EXYEXEY 存存在在，且且 注：注：EXYEXEY 若若XY与与独独立立E | X +Y |E | X |+E |Y | (3)(3)222E | XY |EX EY (4)(4)(）-Cauchy不等式不等式推行：推行：121