第六章滤波器

1、本章主要内容本章主要内容 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计第第6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器数字滤波器(DF)(DF)的定义的定义 输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系( (数值运算数值运算) )，改，改变输入数字信号所含变输入数字信号所

2、含频率成份的相对比例频率成份的相对比例或或滤除某些频率成份滤除某些频率成份的器件。的器件。 数字滤波器的特点数字滤波器的特点( (相对模拟滤波器相对模拟滤波器) )：精度高、稳定、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配。精度高、稳定、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配。 数字滤波器处理模拟信号数字滤波器处理模拟信号通过通过A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用数字滤波器对模拟信号的处理。，使用数字滤波器对模拟信号的处理。6.16.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念1 1、数字滤波器的分类、数字滤波器的分类(1) (1) 一般分类一般分类经典滤波器经典滤波器：输入信号中的有用的频率成分和希望滤

3、除的频：输入信号中的有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带，通过率成分占用不同的频带，通过选频滤波器选频滤波器达到滤波的目的。达到滤波的目的。现代滤波器现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。尔曼滤波器和自适应滤波器等。(2) (2) 从滤波器的功能上来分类从滤波器的功能上来分类 分为分为低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻滤波器滤波器6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念

4、理想滤波器幅度特性理想滤波器幅度特性 6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|低通低通(LF)LF)频率响应频率响应2 2 -2-2 ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|高通高通(HF)(HF)频率响应频率响应2 2 -2-2 ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|带通带通BFBF频率响应频率响应2 2 -2-2 ww0 0 - - |H(e|H(ejwjw)|)|带阻带阻BSBS频率响应频率响应2 2 -2-2 特点：特点：(1)(1)单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现，只单位脉冲响应是

5、非因果且无限长，不可能实现，只能尽可能逼近；能尽可能逼近；(2)DF(2)DF的传输函数是以的传输函数是以2 2 为周期，为周期，低通的中心低通的中心频带频带处于处于2 2 的整数倍处的整数倍处，高通的中心频带，高通的中心频带处于处于 的奇数倍附近。的奇数倍附近。(3)(3)从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应分类从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应分类 无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)(IIR)数字滤波器数字滤波器 有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)(FIR)数字滤波器：数字滤波器：6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念0110()1()()MrrrNkkkNnnb

6、 zHza zHzh n z0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z在数字滤波器中，一般考察其半个周期在数字滤波器中，一般考察其半个周期 =0=0， 的频域特性；的频域特性；在模拟滤波器中，通常考察其在模拟滤波器中，通常考察其 =0=0， 范围内频率域的特性。范围内频率域的特性。 NN阶阶IIRIIR滤滤波器函数波器函数NN1 1阶阶FIRFIR滤波器函滤波器函数数2、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求这里介绍的数字滤波器属于这里介绍的数字滤波器属于选频滤波器选频滤波器(1). (1). 数字滤波器的传输函数数字滤波器的传输函数H(eH(ej

7、wjw) )|H(e|H(ejwjw)|)|系统的幅频特性系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。成分衰减情况。QQ( () )系统的相频特性系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。间上的延时情况。6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念( )()()jjjH eH eeQ(Q() )(2)(2)数字滤波器的幅频特性数字滤波器的幅频特性|H(e|H(ejwjw)|)|的指标的指标6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念过渡带过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术

8、指标低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(e|H(ejwjw)|)|通带通带阻带阻带 2 21- 1- 1 1 p p0.7070.7070 01 1C CS S 指标说明：指标说明：p p：通带截止频率，通带频率范围：通带截止频率，通带频率范围：00 p p ；S S ：阻带截止频率，：阻带截止频率，阻带频率范围：阻带频率范围：s s ； C C ：3dB3dB截止频率；截止频率； P P：通带最大衰减；通带最大衰减； S S：阻带最小衰减阻带最小衰减 1 1：通带内幅度响应误差范围；通带内幅度响应误差范围； 2 2：阻带内幅度响应误差范围；：阻带内幅度响应误差范围；通带内和阻带内允许的衰减

9、一般用通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，数表示，p和和s分别定义分别定义为：为：如将如将|H(e|H(ej0j0)|)|归一化为归一化为1 1，上两式则表示成，上两式则表示成当幅度衰减到当幅度衰减到 2/22/2倍时，所对应频率倍时，所对应频率 c c，此时此时 P P 3dB3dB，称称c c为为3dB3dB截止频率。截止频率。6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e20lg()20lg()psjpj

10、sH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 3. 数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法 IIRIIR滤波器设计方法滤波器设计方法： (1)(1)先设计模拟滤波器先设计模拟滤波器(AF)(AF)的传输函数的传输函数Ha(s)Ha(s)；然后按某种变；然后按某种变换，将换，将Ha(s)Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)H(z)。 (2) (2) 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计；借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计； FIRFIR滤波器设计方法滤波器设计方法 (1)(1)经常采用的是经常采用的是窗函数设计法窗

11、函数设计法和和频率采样法频率采样法， (2)(2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。6 6.1 .1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)(Butterworth)滤波器滤波器、切切比雪夫比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)滤波器滤波器、椭圆椭圆(Kllipse)(Kllipse)滤波器滤波器、贝塞尔贝塞尔(Bessel)(B

12、essel)滤波器滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。供设计人员使用。 6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c)(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c各种理想模拟滤波器的幅度特性各种理想模拟滤波器的幅度特性1. 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1

13、)(1)模拟低通滤波器的设计指标有：模拟低通滤波器的设计指标有：p p、s s、p p、s s其中其中：p p和和s s分别称为分别称为通带截止频率通带截止频率和和阻带截止频率阻带截止频率; ; p p是通带是通带(=0(=0p p) )中的中的最大衰减系数最大衰减系数， s s是阻带是阻带s s的的最小衰减系数最小衰减系数，6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计|Ha(j|Ha(j )|)|0.7070.707 p p s s通带通带阻带阻带过过渡渡带带1 10 0 C C p p s s通带通带过过渡渡带带阻带阻带 (dB) (dB) 衰减衰减 p p S S 0 0p p和和s

14、 s一般用一般用dBdB数数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|H|Ha a(j0)| (j0)| 2 2 2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|H|Ha a(j0)|(j0)|2 22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()papsasHjHj2210lg()10l

15、g()papsasH jH j如果如果=0=0处幅处幅度已归一化到度已归一化到1 1，即即:|H:|Ha a(j0)|=1(j0)|=1图中图中c称为称为3dB截止频率截止频率，因，因 ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdB(2) (2) 用模拟滤波器逼近方法设计数字用模拟滤波器逼近方法设计数字IIRIIR滤波器步骤：滤波器步骤： 给出模拟滤波器的技术指标给出模拟滤波器的技术指标 ； 设计设计传输函数传输函数 Ha(s)Ha(s)：使其：使其幅度平方函数幅度平方函数满足给定指标满足给定指标a ap p和和a as s，|Ha(|Ha(

16、j j )|)|2 2 = Ha(= Ha(j j ) ) HaHa* *( (j j ) = Ha() = Ha(s s) ) Ha(-Ha(-s s) )| |S=jS=j 确定确定Ha(s)Ha(s)：系统系统Ha(s)Ha(s)应是应是稳定稳定的的系统系统，因此，因此，极点极点应位于应位于6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计2 2、Butterworth Butterworth 低通滤波器的设计方法低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示：6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计221

17、()1()aNcHj c c ，幅度迅速下降，幅度迅速下降，NN越大，幅度下降越快，过渡带越窄。越大，幅度下降越快，过渡带越窄。当当 =0=0时，时，|H(j|H(j )|=1)|=1；当当 = c c时，时， | | H(jH(j )|=)|= c c是是3dB3dB截止频率。截止频率。()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdBN: N: 滤波器阶数。滤波器阶数。将幅度平方函数将幅度平方函数|H|Ha a(j)|(j)|2 2写成写成s s的函数：的函数：6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计21( )()1()aaNcHs Hssj此式表明幅度平方函数有此式表明幅度平方函

18、数有2N2N个极点，极点个极点，极点s sk k用下式表示用下式表示：11 21()222( 1)()kjNNkccsje 其中，其中，k=0,1,k=0,1,(2N-1),(2N-1)2N2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为c c的圆上，的圆上，间隔是间隔是 /N/Nradrad，左半平面，左半平面NN个点构成个点构成Ha(s)Ha(s)传传输函数，右半平面输函数，右半平面NN个点构成个点构成Ha(-s)Ha(-s)传输函数。传输函数。10( )()NcaNkkHsssHa(s)Ha(s)表示为：表示为：由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率由于各滤波器的幅频

19、特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对归一化。采用对3dB3dB截止频率截止频率c c归一化归一化，归一化后的，归一化后的H Ha a(s)(s)表示为表示为 ：6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp只要知道滤波器的阶数只要知道滤波器的阶数NN，可得归一化，可得归一化的传输函数，去归一化的传输函数，去归一化p=j=s/ p=j=s/ c ,c ,可可得到实际的传输函数得到实际的传输函数H Ha a(s)(s)令令s/ s/ c c = j j / / c c，=/=/c c，称为称为归一化频率归一化频率，令

20、，令p=jp=j，p p称为称为归归一化复变量一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：归一化巴特沃斯的传输函数为：归一化极点归一化极点p pk k=e=ej j ( (+(2k+1)/2N)+(2k+1)/2N)，k=0,1,k=0,1,N-1,N-1。3 3 巴特沃斯滤波器的设计步骤巴特沃斯滤波器的设计步骤(1) (1) 根据给出的技术指标根据给出的技术指标 P P、 S S、 p p、 S S，求滤波器阶数，求滤波器阶数NN6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计221()1()aNcHj/10/10101()101psapNas/10/10221()101()10psapNcaN

21、sc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/,101psaspspspak 设设: :lglgspspkN 用上式求出的用上式求出的NN可能有小数部分，可能有小数部分，应取大于等于应取大于等于NN的最小整数的最小整数。20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 10lg|H(j10lg|H(jp p)|)|2 2/10/10101()101psapNas(2) (2) 求归一化极点求归一化极点p pk k，确定归一化传输函数，确定归一化传输函数Ha(p)Ha(p) 根据求极点公式：根据求极点公式： p pk k=e=ej j ( (+(2k+1)/

22、2N)+(2k+1)/2N)，k=0,1,k=0,1,N-1,N-1。再带入：再带入： 或根据阶数或根据阶数NN，查表，查表P157P157 表表6.2.16.2.1得到极点和归一化传输函数得到极点和归一化传输函数6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计101()()aNkkHppp10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 阻带指标阻带指标有富裕度有富裕度10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 通带指标通带指标有富裕度有富裕度(3)(3)求求3dB3dB截止频率截止频率 c c由由:|H(j:|H(j )|)|2 2=1/1+(=1/1+( /

23、 / c c) )2N2N ， = p p时时：1+(1+( p p/ / c c) )2N2N=10=10 p p/10/10。(4)(4) 将将H Ha a(p)(p)去归一化，去归一化，得到实际的滤波器传输函数得到实际的滤波器传输函数Ha(s)Ha(s) 将将p=s/p=s/ c c，代入代入H Ha a(p)(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| Ha(s)=Ha(p)| p=s/p=s/ c c。 6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计表表6.2.1 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 表示两极点表示两极点P P1 1、P PN-N-2

24、 26.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标根据技术指标p,p,s和和s，用，用 求出滤求出滤波器的阶数波器的阶数N。 (2)按照按照 ，求出归一化极点，求出归一化极点pk，将将pk代入代入 ，得到归一化传输函数，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将将Ha(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ha(p)，得到实际的，得到实际的滤波器传输函数滤波器传输函数Ha(s)。 lglgspspkN 121()22,0,1,1kj

25、NkpekN101( )()aNkkHppp【例例】已知通带截止频率已知通带截止频率f fp p=5kHz=5kHz，通带最大衰减，通带最大衰减p p=2dB=2dB，阻，阻带截止频率带截止频率f fs s=12kHz=12kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减s s=30dB=30dB，按照以上技术，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解：(1) (1) 设计模拟滤波器的指标为设计模拟滤波器的指标为 p p=2=2 f fp p= 10104 4(rad/s)(rad/s)， a ap p=2dB=2dB s s=2=2 f fs s=2.4=2.4 1010

26、4 4(rad/s)(rad/s)， a as s=30dB=30dB (2) (2) 确定滤波器的阶数确定滤波器的阶数NN6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 取取NN为为5 5lglgspspkN =(3) (3) 求极点求极点6.2 6

27、.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计3455016523754,jjjjjseseseseseP P0 03455016523754,jjjjjseseseseseP P1 1P P2 23455016523754,jjjjjseseseseseP P3 33455016523754,jjjjjseseseseseP P4 43455016523754,jjjjjsesesesese代入归一化传输函数公式代入归一化传输函数公式401( )()akkHppp5432432101()aHppb pb pb pb pb)1)(1618.1)(1618.0(1)(1)(2240 ppppppppHa

28、kk)1)(1618.1)(1618.0(1)(1)(2240 ppppppppHakkp pk k=e=ej j ( (+(2k+1)/2N)+(2k+1)/2N)最简便的方法：由最简便的方法：由N=5N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 极点形式：极点形式：-0.3090-0.3090j0.9511j0.9511； -0.8090-0.8090j0.5878; -1.0000j0.5878; -1.0000 分母多项式的形式分母多项式的形式： 分母因式的形式分母因式的形式：(4) (4) 将将H Ha a(p)(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB3dB截止频率截止频率c c6.2 6

29、.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads 5 5554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb b0 0=1.0000=1.0000、b b1 1=3.2361=3.2361、b b2 2=5.2361=5.2361、b b3 3=5.2361=5.2361、b b4 4=3.2361=3.2361(5) (5) 将将p=s/p=s/c c代

30、入代入H Ha a(p)(p)中得到：中得到：四、模拟滤波器的频率变换四、模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的模拟高通、带通、带阻滤波器的设计设计6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计各类模拟滤波器的设计过程图各类模拟滤波器的设计过程图 HPHPBPBPBSBS指标指标LPLP指指标标G(jG(j ) )传输传输函数函数H HHPHP(j (j ) )H HBPBP(j (j ) )H HBSBS(j (j ) )传输函数传输函数频率变换频率变换频率变换频率变换设计设计AFAF滤波器滤波器LPLP其他其他AFAF滤波器滤波器HP, BP, BSHP, BP, BS设：设：

31、传输函数传输函数G(s)G(s)H(s)H(s)归一化截止频率归一化截止频率 归一化拉氏变量归一化拉氏变量p=jp=j q=jq=j 归一化传输函数归一化传输函数G(p)G(p)H(q)H(q)为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换低通到高通的频率变换 和和之间的关系为之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通，高通H(j)则用下式转换：则用下式转换：11()()H jG j低通与高通滤波器的幅度特性低通与高通滤波器的幅度特性模拟高通滤波器的设计步骤如下

32、：模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻，阻带上限频率带上限频率s，通带最大衰减，通带最大衰减p，阻带最小衰减，阻带最小衰减s。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：各项设计指标为： 低 通 滤 波 器 通 带 截 止 频 率 低 通 滤 波 器 通 带 截 止 频 率 p = 1 / p； 低通滤波器阻带截止频率低通滤波器阻带截止频率s

33、=1/s； 通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为，阻带最小衰减仍为s。 (3)设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的求模拟高通的H(s)。将。将G(p)按照按照(6.2.40)式，转式，转换成归一化高通换成归一化高通H(q)，为去归一化，将，为去归一化，将q=s/c代入代入H(q)中，得中，得 例例6.2.3 设计高通滤波器设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性，幅度特性单调下降，单调下降，fp处最大衰减为处最大衰减为3dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=15dB。( )( )cpsH sG p解：高通技术要求：解：高通技术

34、要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率归一化频率1,0.5pspsccffff低通技术要求：低通技术要求：11,23,15psspsdBdB 设计归一化低通设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模拟高通求模拟高通H(s)：33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器设计过程：数字滤波器设计过程：6.3 6.3 用脉冲响应

35、不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器设计技术成熟设计技术成熟有相当简便的有相当简便的公式和图表公式和图表模拟滤波器模拟滤波器)(sHaAFAF由此设计由此设计数字滤波器数字滤波器)(zHDFDF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性实际上是个映射问题实际上是个映射问题MappingMapping离散时间域离散时间域(Z(Z平面平面) )转换关系转换关系连续时间域连续时间域(S (S平面平面) )转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿

36、模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器Re(z)jIm(z)0z平面平面1z1z2 j j 0S平面平面S1xS2x满足上述转换关系的映射方法有：脉冲响应不变法和双线性变换法一、脉冲响应不变法的基本思想一、脉冲响应不变法的基本思想 使使h(n)h(n)模仿模仿h ha a(t)(t)，让，让h(n)h(n)正好等于正好等于h ha a(t)(t)的采样值的采样值二、变换方法二、变换方法1 1、设模拟滤波器、设模拟滤波器Ha(s)Ha(s)只有单阶极点只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于，且分母多项式的阶次高于

37、分子多项式的阶次，将分子多项式的阶次，将H Ha a(s)(s)用部分分式表示：用部分分式表示： 6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器H Ha a(s)(s)LTLT-1 -1HHa a(s)(s)h ha a(t)(t)时域采样时域采样h(n)h(n)ZTh(n)ZTh(n)H(z)H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法1( )NiaiiAHssss si i为为H Ha a(s)(s)的单阶极点的单阶极点1( )( )iNs ntaiihtAeu t1( )( )iNs n t

38、aiihtA eutLTLT-1 -1Ha(s)Ha(s)U(t)U(t)为单位阶跃函数为单位阶跃函数对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：结论:(1) S平面的单极点s=si映射到Z平面的极点z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系数与H(z)部分分式的系数相同。 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器1( )()()iNs nTaiih nhnTAeu nT11( )1iNis TiAH zez2 2、Ha(s)Ha(s)有共轭复数对极点有共轭复数对极点Ha(s)Ha(s)的极点的极点s si i一般是一个复数，

39、以共轭成对的形式出现，将一一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。AFAF二阶基本节形式一：二阶基本节形式一：6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器21211)s(s)s(Ha:+=形式一极点极点- - 1 1 j j 1 1ha(t)=LTha(t)=LT-1 -1Ha(s)=eHa(s)=e- - t t coscos 1 1t t u(t)u(t)，对，对ha(t)ha(t)进行等间隔采样进行等间隔采样1 1h(n)=ha(nT)= eh(n

40、)=ha(nT)= e- - nT nT coscos( ( 1 1nT)nT) u(nT)u(nT)，进行，进行Z Z变换变换1 1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTzeAF二阶基本节形式二：6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tsin1tu(t)，对ha(t)进行等间隔采样1h(n)=ha(nT)= e- nTsin(1nT)u(nT)，进行Z变换121211)s()s(Ha:+=形式二极点-1j1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21

41、ez )n( h)z(H1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 三、三、S S平面和平面和Z Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系1 1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z Z变换之间的映射关系：变换之间的映射关系：(1) (1) 设设h ha a(t)(t)的采样信号表示为的采样信号表示为: :(2) (2) 对对 进行拉氏变换，得到进行拉氏变换，得到6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器( )( ) ()aanhthttnT( )aht( )( )(

42、)()staastansnTHsh t e dth tnT e dtnT e nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nnznhzH)()()()(sHzHaezsT)()(sH

43、zHaezsTsTze2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足：结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器( )aht( )aht1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsH sjkTH zH sjkT 1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsH sjkTH zH sjkT ()aHj将s=j代入上式，得：说明：

44、说明：采用脉冲响应不变法将采用脉冲响应不变法将AFAF变换为数字变换为数字DFDF时时 H Ha a(s)(s)沿虚轴以沿虚轴以 s=2s=2 /T/T为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓; ; 再经过再经过Z=eZ=eSTST的映射关系映射到的映射关系映射到Z Z平面上，从而得到平面上，从而得到H(z)H(z)上面的这种转换是否满足对转换关系提出的上面的这种转换是否满足对转换关系提出的2 2点要求点要求: :设：设：S=S=j j ，Z=rZ=r e ejwjw 脉冲响应不变法标准映射关系：脉冲响应不变法标准映射关系： Z=eZ=eSTST r r e ejwjw=e=e( (j j )T)

45、T=e=e T T e e j j T T得到得到：r= er= e T T； w=w= T T6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器频率域的坐标变换是线性的频率域的坐标变换是线性的1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 因果稳定因果稳定模仿频响模仿频响由采样信号的拉氏变换与相应的序列的由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z Z变换之间的映射关系：变换之间的映射关系： 0时，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内(r=|z|0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外

46、(r=|z|1)以上分析结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器r= eT因果稳定的分析j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面当不变，模拟角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为2/T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上 每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内； 水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外 j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面2(),jM T

47、sTTj TTTeeeeeMz=esT是周期函数erban由上面分析结果：由上面分析结果： S S平面与平面与Z Z平面的映射关系满足转换条件；平面的映射关系满足转换条件； 但存在着但存在着多值多值(s)(s)单值单值(z)(z)映射关系映射关系6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器(3) DF(3) DF的频响是的频响是AFAF频响的周期延拓频响的周期延拓)(jeH0T0T)( jHa频率混叠频率混叠sTez (1)(1)虽然虽然)(sHa)(zH直接映射直接映射但并非但并非)(sHa而是而是)(zH映射映射注意：注意：只有只有AFA

48、F频响限于频响限于 /T/T之内，之内，DFDF频响才不失真地复现频响才不失真地复现AFAF频响，否则，频响，否则，设计出来的设计出来的DFDF在在w=w= 附近产生频率混叠附近产生频率混叠。(2) (2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以氏变换以2 2 /T/T为周期，沿虚轴进行周期化。为周期，沿虚轴进行周期化。脉冲响应不变法的应用受限脉冲响应不变法的应用受限只适合设计只适合设计带限滤波器带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。合高通、带阻滤波器的设计。6.3 6.3 用脉冲响应不变法

49、设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器假设假设 没有频率混叠现象，即满足：没有频率混叠现象，即满足： ()aHj()0,/aHjT 按照上式，并将关系式按照上式，并将关系式s=js=j代入，代入，=T=T，代入得到：，代入得到：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 1()(),jaH eHjTT数字滤波器的频响可以很好数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响模仿模拟滤波器的频响四、四、 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点优点：优点： 1 1、频率变换是、频率变换是线性关系线性关系;

50、 ; w=w= T T ，模数字滤波器可以很好重现，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；模拟滤波器的频响特性； 2 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；激响应，时域特性逼近好；缺点：缺点： 1. 1. 有频谱混迭失真现象；有频谱混迭失真现象；(S (S平面到平面到Z Z平面有多值映射关系平面有多值映射关系) ) 2. 2. 由于频谱混迭，使应用受到限制。由于频谱混迭，使应用受到限制。(T(T失真失真 ，但运算量但运算量 , ,实现困难实现困难) )6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响

51、应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器【例例】 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数H Ha a(s)(s)为为用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将H Ha a(s)(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)H(z)解：解：首先将首先将Ha(s)Ha(s)写成部分分式写成部分分式：极点为：极点为：根据：根据： ，H(z)H(z)的极点为：的极点为：6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77

52、720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze按照： ，经过整理，得到当：T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则：将Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器11( )1iNis TiAH zez111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz111212120.32

53、76( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=yiban6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器很轻的混叠现象严重的混叠现象 脉冲响应不变法的主要缺点脉冲响应不变法的主要缺点: :产生频率谱混迭现象。产生频率谱混迭现象。 原因原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率模拟低通的最高频率超过了折叠频率 /T/T，数字化后，数字化后在在w= w= 形成频谱混叠现象。形成频谱混叠现象。 解决方法：解决

54、方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到围压缩到/T /T 之间，而后再用之间，而后再用 Z=eZ=eST ST 转换到转换到 Z Z 平面上。平面上。 6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器一双线性变换法消除频谱混迭的原理一双线性变换法消除频谱混迭的原理1 1、非线性压缩：、非线性压缩：(S (S平面平面S S1 1平面平面映射映射) )双线性变换法用双线性变换法用正切变换正切变换实现非线性频率压缩，设实现非线性频率压缩，设H Ha a(s)(s)，s=js=j，经过非线性频率压缩

55、后用，经过非线性频率压缩后用H Ha a(s (s1 1) )， s s1 1=j=j1 1 表示。则：表示。则：上式表明：上式表明：当当1 1从从/T/T经过经过0 0变化到变化到-/T-/T时，时，则则由由经过经过0 0变化到变化到-，这样实现了，这样实现了s s平面上整个虚轴平面上整个虚轴完全压缩到完全压缩到s s1 1平面上虚轴的平面上虚轴的/T/T之间的转换。之间的转换。6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器121tan()2TT 0 0 /T/T- - /T/T 1 1 T T：时域采样间隔；：时域采样间隔；由上面可得：由上面可

56、得：(- (- ，+ + ) )， 1 1 (- (- /T/T，+ + /T) /T) ；6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器)2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/

57、2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeee

58、eCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 2 2、S S1 1平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射将将S S1 1平面映射到平面映射到Z Z平面上，用标准映射平面上，用标准映射Z=eZ=eS S1 1T T。代入上式。代入上式SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSC

59、zzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即112 1122zsTzsTzsT推出推出3 3、双线性不变法的映射关系、双线性不变法的映射关系映射过程：映射过程：从从s s平面映射到平面映射到s s1 1平面，再从平面，再从s s1 1平面映射到平面映射到z z平面。平面。 S S平面与平面与Z Z平面是平面是一一对应的单值映射一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。 只要模拟滤波器只要模拟滤波器Ha(s)Ha(s)因果稳定，其极点应位于因果稳定，其极点应位于S S左半平面，左半平

60、面，转换成的转换成的H(z)H(z)也是因果稳定的，位于单位圆内。也是因果稳定的，位于单位圆内。6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器0 00 0 1 1j j 1 1j j /T/T- - /T/T2/T tan(2/T tan( 1 1T)T)Z=eZ=es1Ts1TS S平面平面S1S1平面平面Re(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)0 0z z平面平面S S 2/T th(2/T th(S S1 1T)T)二、二、模拟频率模拟频率和数字频率和数字频率之间的关系之间的关系将：将：Z=eZ=ej j ，S=jS=j ，代入，代入S