第四章2 连续型随机变量

1、 开课系：数学系开课系：数学系对离散型随机变量，可用分布函数和分布律来描述，对离散型随机变量，可用分布函数和分布律来描述，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，而对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法而对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？3靶子X弹着点 1、当x0时,Xx为不可能事件(因为弹着点与圆心的距离不可能为负),故; 0)()(PxXPxF 2、当0 x 2时,由题意得,)(2xkxXPxF 取x=2以确定k的值:,42 212kkXP,41k射击均能中靶解：用定义来求 故;4)(2xxXPxF 3、当x2时,Xx为必然事件,故; 1)

2、()(PxXPxF 综上得X的分布函数为:. 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF)(xFxO1215 此外,易验证:对任意实数x,均有xdttfxF)()(其中非负函数., 0, 20,2)(其它tttf4.3 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度xdttfxXPxF)()()( 1. 定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数若存在非负函数f(x)，(- x+ )，使对任意实数使对任意实数x，都有都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为X f(x)

3、 , (- x+ )分布分布函数的函数的几何意义几何意义为为()( )baP aXbf t dt)(xF求概率2. 密度函数的性质密度函数的性质 (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2)归一性归一性.1)(dxxf性质性质(1)、(2)是密度函数的充要是密度函数的充要条件条件； xaexf)(设随机变量X的概率密度为求常数a.21a确定待定参数(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xfdxxdF设随机变量X的分布函数为求f(x)0211021)(xexexFxx0 210 21)(xexexfxx由分布函数求概率密度（4 4） 对任意实数对任意实数b b，

4、若若X X f(x)f(x)，(- (- xx ) )，则则PX=PX=b b 0 0。这是离散型随机变。这是离散型随机变量和连续型随机变量最大的区别量和连续型随机变量最大的区别badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(于是于是)()()(bXpbXPbXPxbbdxxfdxxf)()(-bxbdxxf)(0)(0, bXPx 例例 1.1.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x), 2)F(x), 2)求求PXPX (0.5,1.5)(0.5,1.5)其他021210)(xxxxxf 【解】注意到概率密度f(x)在(-,+)上

5、为分段函数,其分段区间为(- ,0,(0,1,(1,2,(2,+);而分布函数为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).xxdxdxxfxXPxFx00)()()(, 020)()()()(, 102000 xxdxdxxfdxxfxXPxFxxx221)2( 0)( )()()()()(, 21211001100 xxdxxxdxdxdxxfdxxfdxxfdxxfxXPxFxxxx10)2( 0)()( )()()()()(, 2221100221100 xxdxdxxxdxdxdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxXPxFx2 121 22110 20 0)(22xxxxxx

6、xxF)5 . 15 . 0( XP)5 . 0()5 . 1 (FF4325 . 025 . 15 . 1212216, 0, 11,12)(2其它xxxf1x; 00)()(xxdtdttfxF11xxdttfxF)()(;21arcsin112xxx.arcsin2222222Caxaxaxdxxaxdttdt121120181xxdttfxF)()(xdtdttdt111210120; 1.12112112t dt. 1, 1, 11,21arcsin11, 1, 0)(2xxxxxxxF设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为01( )ln11xF xxxexe(1)(1)

7、求求PX2,P0X3,P2Xe-0.1.PX2,P0X3,P2Xe-0.1.(2)(2)求概率密度求概率密度f(x)f(x)其它 01 1)(exxxf2ln)2()2(FXP1)0() 3() 30(FFXP21 . 0ln)2() 1 . 0() 1 . 02(eFeFeXP1. 均匀分布均匀分布 若Xf(x) ，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)() x ( fx则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的的指数分布指数分布,记作记作 XE( ) 。其分布函数为其分布

8、函数为2. 指数分布指数分布 若 X 0 x,00 x,e)x(fx)x(fx000,0( )( ),00,01,0 xxtxxF xf t dtedtxxex-例例 .电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）年）服从参数为服从参数为0.50.5的指数分布的指数分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使用两年年，求它还能使用两年的概率为多少？的概率为多少？解解, 0005 . 0)(xxexf0 0. .5 5x x25 . 05 . 0) 1 (dxex2 2 P P X

9、 X37. 01 1e e5 . 1|5 . 3)2( XXP1.50.5x3.50.5xdx0.5edx0.5e5 . 15 . 1, 5 . 3 XPXXP37. 01e指数分布的一个有趣的现象： 只要 服从指数分布，便有 ， 表示已知寿命长于 年并且再活t年的概率与年龄无关，故指数分布被称为永远年轻的分布X)()(tXPsXtsXPs正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。别重要的地位。3. 正态分布正态分布 ABA，B间真实距离为间真实距离为 ，测量

10、值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为可表为XN( , 2).若随机变量随机变量2221( )2xXf xex (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；f( )maxf(x) . 21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4.标准正态分布标

11、准正态分布 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。.,21)(22 xexx 分布函数表示为分布函数表示为 xdtexXPxxt,)(2212 其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。如，若的值。如，若0.6915,P1.32Z2.43= (2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066)5 . 0(时当),(2NXxdttfx)()(xdttf)(xdttfdttf)()(x)dttfx1)(1dxedxxfbXaPx

12、baba222)(21)()().()( xxXPxF注注：(1) XN（0，1） (x)1 (x)； (2) XN( , 2)，则则battxdte2221)()(ab)(bXaP)()(ab)()(uuXP，即则称 为标准正态分布的 分位点u1.6451.96-1.64595. 0u975. 0u05. 0u645. 195. 005. 0105. 0uuu因为)(uXP得到uXPuXP1)(1)(uXP1 uu1 设随机变量设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?2.2.设设 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3 |3 的值的值. . 如在质

13、量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .17255. 07673. 019582. 0)725. 0()725. 1 (例例 某地区某地区1818岁女青年的血压岁女青年的血压( (收缩压收缩压) )服从服从N(110,12N(110,122 2).).在该地区任选一位在该地区任选一位1818岁女青年岁女青年, ,测量她的血压测量她的血压, ,(1)(1)求求PX105,P100X120;PX105,P100Xx0.0510

14、5 11011050.421 0.66280.337112P X 解：（）120 110100 11010012012120.830.832 0.7967 10.5934PX 练习练习0.05P Xx(2)令11010.0512x则1100.9512x1101.64512x查表得129.74x 注注:XN(110,122).95. 0)645. 1 (例例17（第四章例19） 某地抽样调查结果表 明，考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布 ，且96分以上的考生占考生总数的2.3，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率.2(72,)N，722解： 本题中分，未知，(96)0.023P X

15、但通过题中已知的条件12可求得 84726072(6084)1212PX (1)( 1)0.6826 ) 10(zXPz)10(1)(z)10(1)(zXPz.645.105.0z.575.2005.0z/2分位点96.1025.0z)(2zXP利用标准正态分布函数可以计算概率积分：12122dtet222dtet2022dtet202dxex正态分布的“3-原则”;6826. 01) 1 (2) 1() 1 (|XP;9544. 01) 2(2) 2() 2(2|XP.9974. 01) 3 (2) 3() 3 (3|XPEXEX 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分一种电子元件的使用寿

16、命（小时）服从正态分布布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,2514. 0)67. 0()1510090(90 XPp故故4195. 0)1(03 pYP则YB(3,p)其中其中思考题1设随机变量X的分布函数为答案 C1 ,110 ,210 , 0)(xexxxFx ) 1(XP则 0 A21 B121 eC11 eD)01 () 1 (FF思考题2答案 A为密度函数,则 满足 为标准正态分布的密度函数 ， 为-1,3上的均匀分布的密度函数，若 )(1xf)(2xf)0, 0( 0 ),(0 ),()(21baxxbfxxafxfba,432 baA423 baB1 baC2 baD1)()(30201dxxbfdxxaf思考题3答案 D设 是两个分布函数，其相应的概率密度函数 是连续函数，则下列必为概率密度函数的是 xFxF21