SEC4信号与系统的频域分析ppt课件

1、电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.1 信号的正交分解信号的正交分解P54.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数P124.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点P224.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换P284.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质P364.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换P594.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析P634.8 取样定理取样定理P77SEC4 信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析 时域分析的要点是，以冲激函数

2、为基本信号，任意输入信时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而号可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)yf(t) = h(t)* *f(t)f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号本章将以正弦信号和虚指数信号ejtejt为基本信号，任意为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。4.0 引言引言cost=(ejt+ ejt)/2电气工程学院电气工程学院信号与系

3、统的频域分析信号与系统的频域分析频域分析频域分析 从本章开始对系统的分析从时域转入变换域进行分析，从本章开始对系统的分析从时域转入变换域进行分析，首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析。将信号叶分析。将信号f(t)进行正交分解，即分解为三角函数进行正交分解，即分解为三角函数sint或虚指数函数或虚指数函数ejt的组合。的组合。 频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示了信号内频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示了信号内在的频率特

4、性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。要概念。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析发展历史发展历史 1822年，法国数学家傅立叶年，法国数学家傅立叶J.Fourier,1768-1830在研究在研究热传导理论时发表了热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅立叶级数的理论基础。开为正弦级数的原理，奠定了傅立叶级数的理论基础。

5、泊松泊松Poisson）、高斯）、高斯Guass等人把这一成果应用到电等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。学中去，得到广泛应用。 进入进入20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔的体问题的解决为正弦函数与傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。 在控制与通信系统的理论研究与工程实际应用中。傅立叶变在控制与通信系统的理论研究与工程实际应用中。傅立叶变化法具有很多的优点。化法具有很多的优点。 “FFT快速傅立叶变换为傅立叶分析法赋予了新的生命力。快速傅立叶变换为傅立叶分析法

6、赋予了新的生命力。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.1 信号的正交分解信号的正交分解一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：其内积为正交的定义：其内积为0 0。即。即由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集称为正交矢量集 如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=vx=（2 2，0 0，0 0）、）、vy=vy=（0 0，2

7、2，0 0）、）、vz=vz=（0 0，0 0，2)2)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A =(2A =(2，5 5，8)8)，可以用一个，可以用一个三维正交矢量集三维正交矢量集 vx vx，vyvy，vzvz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间： 在信号空间找到在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间

8、中任意信号均可表示成它们的线性组合。号均可表示成它们的线性组合。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义：定义在定义在(t1(t1，t2)t2)区间的两个函数区间的两个函数1(t)1(t)和和 2(t), 2(t),若满足若满足(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t) 1(t)和和 2(t) 2(t) 在区间在区间(t1(t1，t2)t2)内正交。内正交。2. 正交函数集：正交函数集： 若若n n个函数个函数 1(t) 1(t)， 2(t) 2(t)， n(t) n(t)构成一个函构成一个函数集

9、，当这些函数在区间数集，当这些函数在区间(t1(t1，t2)t2)内满足内满足则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1(t1，t2)t2)上的正交函数集。上的正交函数集。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t) 1(t)， 2(t) 2(t)， n(t)n(t)之外，不存在任何函数之外，不存在任何函数 (t)(0 (t)(0满足满足则称此函数集为完备正交函数集。则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集例如：三角函数集11，cos(nt)cos(nt)，sin(nt)sin(nt

10、)，n=1,2,n=1,2,(a)是在区间是在区间(t1(t1，t1+T)(T=2/)t1+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。(b)(c)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析 虚指数函数集虚指数函数集ejntejnt，n=0n=0，1 1，2 2，是典型的在是典型的在区间区间(t1(t1，t1+T)(T=2/)t1+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n n个函数个函数 1(t) 1(t)， 2(t) 2(t)， n

11、(t) n(t)在区间在区间(t1(t1，t2)t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)f(t)用这用这n n个正个正交函数的线性组合来近似，可表示为交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n问题：如何选择各系数问题：如何选择各系数CiCi使使f(t)f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1(t1，t2)t2)内为最小。内为最小。均方误差为均方误差为为使上式最小系数为使上式最小系数CiCi变化时），有变化时），有电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析 展开上式中的被积函数，并求导

12、。上式中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0 0，写为写为即即所以系数所以系数代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)f(t)时，所取的项数越多，即时，所取的项数越多，即n n越大，越大，则均方误差越小。当则均方误差越小。当nn时为完备正交函数集），均方误时为完备正交函数集），均方误差为零。此时有差为零。此时有 上式称为上式称为(Parseval)(Parseval)巴塞瓦尔定理公式），说明：在区巴塞瓦尔定理公式），说明：在区间间(t1,t2) f(t)(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)f(t)在

13、完备正交函数集中分解在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。的各正交分量能量的总和。函数函数f(t)f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析小结小结函数函数f(t)可分解成无穷多项正交函数之和可分解成无穷多项正交函数之和 1jjjf tCt 211tjjj tCf tt dtK 巴塞瓦尔能量公式巴塞瓦尔能量公式 22121iijttC Kft dt 电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 三角函数集三角函数集11，cos(nt)

14、cos(nt)，sin(nt)sin(nt)，n=1,2,n=1,2,是在区间是在区间(t1(t1，t1+T)(T=2/)t1+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。 三角函数集三角函数集电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号设周期信号f(t)f(t)，其周期为，其周期为T T，角频率，角频率=2/T=2/T，当满，当满足狄里赫利足狄里赫利(Dirichlet)(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级条件时，它可分解为如下三角级数数 称为称为f(t)f(t)的傅里叶级数的傅里叶级数

15、系数系数an , bnan , bn称为傅里叶系数称为傅里叶系数可见，可见， an an 是是n n的偶函数，的偶函数， bn bn是是n n的奇函数。的奇函数。将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为A0 = a0电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析A0 = a0可见可见AnAn是是n n的偶函数，的偶函数， n n是是n n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中， A0/2 A0/2为直流分量；为直流分

16、量；A1cos(t+ 1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同；A2cos(2t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言。一般而言。Ancos(nt+ n)称为称为n次谐波。次谐波。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2 .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。参见教

17、材参见教材 P.135 掌握掌握电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析3 .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 此时其傅里叶级数中只含奇此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分次谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即a0=a2=b2=b4=0a0=a2=b2=b4=0作业：作业：p.202 4-6电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶

18、级数。可从三角形式推出：利因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用用cost=(ejt+ ejt)/2cost=(ejt+ ejt)/2电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n，则上式写为令A0=A0ej0ej0t0=0所以傅里叶级数的指数形式cost=(ejt+ ejt)/2电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式令复数令复数j称其为复傅里叶系数，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。书上用简称傅里叶系数。书上用CnCn tn = 0, 1,

19、 2， 说明：任意周期信号说明：任意周期信号f(t)f(t)可分解为可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。许多不同频率的虚指数信号之和。Fn Fn 是频率为是频率为nn的分量的系数，的分量的系数，F0 = A0/2F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析傅立叶系数之间的关系傅立叶系数之间的关系 22112211cossin22arctannnjjnnnnnnnnnnnnnnnnnnFF eA eajbFabA aAbAba ,nnnnnnaAFnb 的的偶偶函函数数：的的奇奇函函数数：电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析

20、信号与系统的频域分析四、周期信号的功率四、周期信号的功率ParsevalParseval等式等式周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为含义：直流和含义：直流和n n次谐波分量在次谐波分量在11电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。n0时，时， |Fn| = An/2。作业：作业：p.201 4-1直流分量能量直流分量能量见书见书p.147 式式4-40电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系

21、，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即率的变化关系，即 将将AnAn和和nn的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平面上得为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0n0，所以称这种频谱为单边谱。所以称这种频谱为单边谱。也可画也可画|Fn|Fn|和和nn的关系，称为双边谱。若的关系，称为双边谱。若Fn

22、Fn为实数，为实数，也可直接画也可直接画Fn Fn 。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析例：周期信号例：周期信号f(t) =f(t) = 试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T T，基波角频率，基波角频率，画出它的，画出它的单边频谱图，并求单边频谱图，并求f(t) f(t) 的平均功率。的平均功率。解解: : 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1 1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。所以所以f(t)f(t)的周期的周期T = 24T = 24， 基波角频率基波角频率=2/T = /12=2/T

23、 = /12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=P=电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析是是f(t)f(t)的的/4/12 =3/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量；是是f(t)f(t)的的/3/12 =4/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：作业：作业：p.201 4-3 （4）4-44-7电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为举例：有一幅度为1 1，脉冲宽，

24、脉冲宽度为度为的周期矩形脉冲，其周期的周期矩形脉冲，其周期为为T T，如下图。求频谱。，如下图。求频谱。令令Sa(x)=sin(x)/x (Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数）Fn为实数，可直接画成一个频谱图。为实数，可直接画成一个频谱图。设设T = 4T = 4画图。画图。零点为零点为所以所以m为整数。为整数。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析T = 4特点：特点： (1) (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波( (离散离散) )性。谱线位置是基性。谱线位置是基频频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性

25、。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定，变小，此时变小，此时谱线间隔不变。两零点之间的谱线间隔不变。两零点之间的谱线数目：谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。增多。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析T = 4(b) 一定，一定，T增大，间隔增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期如果周期T T无限增长这时就成为非周期信号），那么，无限增长这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非

26、周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换的引出一、傅里叶变换的引出T tf周期信号周期信号非周期信号非周期信号频谱频谱 221TTtjnndtetfTF0谱线间隔谱线间隔T20离散谱变连续谱，幅度无限小。离散谱变连续谱，幅度无限小。再用再用FnFn表示频谱就不合适了。虽然各频谱幅度无限小，表示频谱就不合适了。虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数，令但相对大小仍有区别，引入频谱密度

27、函数，令(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱）称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析根据傅里叶级数根据傅里叶级数考虑到：考虑到：TT，无穷小，记为无穷小，记为dd； n 由离散量变为连续量），由离散量变为连续量），而而同时，同时，于是，于是，傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。的傅里叶反变换或原函数。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析

28、傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式也可简记为也可简记为F(j) = F f(t)f(t) = F 1F(j)或或f(t) F(j)f(t) F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为F(j) = | F(j)|e j ? ()= R() + jX()说明：说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数可证明，函数f(t)f(t)的傅里叶变换存在的充分条件的傅里叶变换存在的充分条件: :(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、常用函

29、数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1. 单边指数函数单边指数函数 f(t) = et(t)， 02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = e|t| , 0F2电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)A 2FjA Sa 4. 冲激函数冲激函数(t)、 (t)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1 1，(t)(t)等，等，但傅里叶变换却存在。但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。直接用定义式不好求解。可构

30、造一函数序列可构造一函数序列fn(t)fn(t)逼近逼近f (t) f (t) ，即即 而而fn(t)fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)fn(t)的傅里叶变换的傅里叶变换所形成的序列所形成的序列Fn(j)Fn(j)是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j)F (j)为为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。构造所以又因而，12()另一种求法：(t)1代入反变换定义式，有将t，t-再根据傅里叶变换定义式，得电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析

31、6. 符号函数符号函数构造构造sgn(t)7. 阶跃函数阶跃函数(t)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数F 变换对：电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.5 傅里叶变换的性质一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) thenProof: F a f1(t) + b f2(t)= a F1(j) + b F2(j) 电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For exampleF(j) = ?Ans:f (t)

32、= f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa()电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、时移性质(Time shifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.Proof: F f (t t0 ) 电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example F(j) = ?Ans: f (t) = f1(t) + f2(t)f1(t) = g6(t - 5) ,f2(t) = g2(t - 5) F(

33、j) =作业：作业：p.203 4-10 （1）电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析三、对称性质(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof: F(j t) 2f () end电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For exampleAns:if =1,* if作业：作业：p.204 4-12 （4）电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “0” is

34、real constant.Proof: F e j0t f(t)= F j(-0) endFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:f(t) = cos0t F(j) = (-0)+ (+0)For example 3Given that f(t) F(j)The modulated signal f(t) cos0t ?f(t) = sin0t F(j) = -j(-0)- (+0)电气

35、工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) thenwhere “a” is a nonzero real constant.Proof:F f (a t ) =For a 0 , F f (a t ) for a 0 , F f (a t ) That is ,f (a t ) Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example 1Given that f (t)F( j)

36、, find f (at b) ?Ans:f (t b)e -jb F( j)f (at b) orf (at) f (at b) =作业：作业：p.203 4-10 （2）电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example 2f(t) = F(j) = ?Ans:Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that, 电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析六、卷积性质(Convolution Property)1、Convolution in time domain：I

37、f f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)2、Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析Proof:F f1(t)*f2(t) =Using time shiftingSo that, F f1(t)*f2(t) = F1(j)F2(j)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For exampleAns:Usin

38、g symmetry,作业：作业：p.203 4-10 （4）电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析七、时域的微分和积分Differentiation and Integration in time domainIf f (t) F(j) thenProof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j)f(-1)(t)= (t)*f(t) 电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example 1f(t)= 1/t2 ?Ans:电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example 2

39、 Given that f (t) F1(j)Prooff (t)F1(j) + f(-)+ f()()ProofSoSummary:if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For example 3Determine f (t) F (j)Ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t)= e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2F (j) =Notice:d(t)/dt = (t) 1

40、(t) 1/(j)作业作业:p.178 5-6电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析八、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then(jt)n f (t) F(n)(j)whereFor example 1 Determine f (t) = t(t) F (j)=?Ans:电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析Notice: t(t) =(t) * (t) Its wrong.Because ()() and (1/j)() i

41、s not defined.example 2DetermineAns:作业：作业：p.179 5-71,3,5,7 5-8 1 电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析九、帕斯瓦尔关系九、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)Proof|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).单位频率上的频谱单位频率上的频谱( (能量密度谱能量密度谱JsJs电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析For exampleDe

42、termine the energy ofAns:电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析十、奇偶性(Parity)If f(t) is real, then= R() + jX()So that(1) R()= R() , X() = X ()|F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R()If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析4.6 周期信号的傅里叶变换一、正、

43、余弦的傅里叶变换12()由频移特性得e j 0 t 2(0 )e j 0 t 2(+0 )cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (-0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t + e j 0 t)/(2j) -j(-0 ) (+0 )电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、一般周期信号的傅里叶变换例1：周期为T的单位冲激周期函数解：电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析例例2 2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号解：周期信号f(t)f(t)也可看作一时也可看作一时限非周

44、期信号限非周期信号f0(t)f0(t)的周期拓展。的周期拓展。即即f(t) = T(t)* f0(t)F(j) = () F0(j)本题本题f0(t) = g2(t)f0(t) = g2(t)2Sa( )F(j) =(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数F 变换对：复习电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析3.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意

45、信号分解为无穷多项不同频率的虚指傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其基本信号为其基本信号为ej tej t电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析 设设LTILTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基本信的基本信号号ej tej t时，其响应时，其响应y(t) = h(t)* ej t 而上式积分正好是而上式积分正好是h(t)h(t)的傅里叶变换，记为的傅里叶变换，记为H(j )H(j )，常称为系统的频率响应函数。所以：常称为系统

46、的频率响应函数。所以：y(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。一、基本信号一、基本信号ej tej t作用于作用于LTILTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t= t= 总可认为系统的状态为总可认为系统的状态为0 0，因此本章的响应指零状态响应，常，因此本章的响应指零状态响应，常写为写为y(t)y(t)。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分

47、析频域分析法步骤：频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即 | H|称为幅频特性或幅频响应）；称为相频特性或相频响应）。 | H|是的偶函数，是的奇函数。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数分析法：对周期信号还可用傅里叶级数分析法：周期信号周期信号y(t)= h(t) * f (t)假假设设则可推导出则可推导出电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析例：某例：某LTILTI系统的系统的H(j)H(j)和和()()如图，如图，若f(t)= 2 + 4cos(5

48、t) + 4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换解法一：用傅里叶变换F(j) = 4() +4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)H(j)=|H(j)|ej()Y(j) = F(j)H(j) =4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) = 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t)解法二：用三角傅里叶级数分析法求解解法二：用三角傅里叶级数分析法求解f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)=

49、2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1，H(j) = 0.5e-j0.5，H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5)作业：作业：p.208 6-1电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析三、频率响应H(j)的求法1. H(j) = F h(t)2. H(j) = Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。例1：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t)求f(t) = e-t(t)时的响应y(t)。解：微分方

50、程两边取傅里叶变换jY(j) + 2Y(j) = F(j)f(t) = e-t(t)Y(j) = H(j)F(j)y(t) = (e-t e-2t )(t)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析例2：如图电路， R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。解：画电路频域模型h(t)= e-t(t)作业：作业：p.209 6-42 6-7电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一

51、类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。削弱不需要的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输、无失真传输（1 1定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即的变化。即输入信号为输入信号为f(t)f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为y(t) = K f(ttd)其频谱关系为其频谱关系为 Y(j)=K

52、e jtdF(j) Y(j)=Ke jtdF(j)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析(2)无失真传输条件：无失真传输条件：系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)h(t)，H(j)H(j)的要求是：的要求是：(a)对对h(t)的要求：的要求： h(t)=K(t td)(b)对对H(j)的要求：的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即即 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频

53、、相频特性满足以上条件即可。足以上条件即可。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)作业作业:p.209 6-5电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析2、理想低通滤波器、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角

54、频率。 理想低通滤波器的频率响应可写为：(1)冲激响应冲激响应可见，它实际上是不可实现的非因果系统(why?)。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析(2)阶跃响应阶跃响应g(t)=h(t)*(t)=经推导，可得特点：有明显失真，只要c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件 就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即h(t)=0 ,t0即响应不应在激励作用之前出现。 就频域特性来说，佩利

55、Paley)和维纳Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足并且称为佩利-维纳准则。（必要条件） 从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。作业：作业：p.209 6-10电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析3.8 取样定理取样定理 取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信利用这些样本

56、值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。依据。一、信号的取样一、信号的取样 所谓所谓“取样就是利用取样脉冲序列取样就是利用取样脉冲序列s(t)s(t)从连续信号从连续信号f(t)f(t)中中“抽取一系列离散样本值的过程。抽取一系列离散样本值的过程。 这样得到的离散信号称为取样信号。这样得到的离散信号称为取样信号。电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析如图一连续信号如图一连续信号f(t)f(t)用取样脉冲序列用取样脉冲序列s(t)(s(t)(开关函数进行取

57、样，取样间开关函数进行取样，取样间隔为隔为TSTS，fS=1/TSfS=1/TS称为取样频率。称为取样频率。得取样信号得取样信号fS(t) = f(t)s(t)取样信号取样信号fS(t)fS(t)的频谱函数为的频谱函数为FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)电气工程学院电气工程学院信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析冲激取样若s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t),则称为冲激取样。s(t)=Ts(t)sS =2/TS 假设f(t) 是带限信号即f(t)的频谱只在区间（- m，m)为有限值，而其余区间为0 （工程实践中，一般信号满足此条件）。 设f(t)F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数FS(j)= (1/