2019年数值计算方法复习提纲ppt课件

1、11:55复习复习21:55第一章第一章 绪论及误差估计绪论及误差估计n 误差的来源、分类（）误差的来源、分类（）n 误差的估计（）误差的估计（）n 绝对误差、绝对误差限绝对误差、绝对误差限n 相对误差、相对误差限相对误差、相对误差限n 有效数字有效数字n 和、差、积、商的误差和、差、积、商的误差n 数值计算近似计算的基本原则（）数值计算近似计算的基本原则（）31:55第第2章章 非线性方程求根非线性方程求根n 非线性方程求根的基本步骤（）非线性方程求根的基本步骤（）n 判断根存在性判断根存在性n 有根区间的隔离有根区间的隔离n 根的精确化根的精确化n 二分法求根二分法求根n 基本原理基本原理

2、n 误差估计误差估计41:55n 简单迭代法简单迭代法n 迭代原理迭代原理n 迭代格式的收敛性判断迭代格式的收敛性判断n 收敛速度的度量收敛速度的度量n Newton迭代法迭代法n 原理原理n 算法步骤（）算法步骤（）n 收敛的阶收敛的阶n 手工计算（）手工计算（）n newton迭代法的改进迭代法的改进n 重根时的改进重根时的改进n 避免求一阶导数的改进：弦截法避免求一阶导数的改进：弦截法51:55第第3章章 线性方程组求解线性方程组求解n 线性方程组的求解方法：线性方程组的求解方法： （）（）n 直接法直接法n 迭代法迭代法n 直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）直接法：（各种方法的适

3、用条件、手工计算）n Guass顺序消元法顺序消元法n 适用条件：适用条件：n 系数矩阵系数矩阵A是严格对角占优的矩阵是严格对角占优的矩阵n 顺序阶主子式为正顺序阶主子式为正n 算法步骤（算法步骤（ ）之和同行其余元素的绝对值值的每行主对角元的绝对Aaaniijijii, |161:55v 列主元列主元Gauss消元法（）消元法（）v 选主元的必要性选主元的必要性v 算法的改进算法的改进v Gauss-Jordan 消元法消元法v 思想、方法思想、方法v Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵消元法的应用：求矩阵的逆矩阵v 三角分解法三角分解法v Doolittle分解（）分解（

4、）v Crout分解（）分解（）v 追赶法追赶法v 适用于：三对角方程组适用于：三对角方程组v 本质：作本质：作Crout分解分解v 改进平方根法改进平方根法v 适用条件：对称正定矩阵适用条件：对称正定矩阵v 计算量减半计算量减半71:55n 迭代法：迭代法：n 向量与矩阵的范数：向量与矩阵的范数： （）（）n 向量范数：向量范数：1-范数、范数、2-范数、范数、-范数范数n 矩阵范数算子范数）：矩阵范数算子范数）：1-范数、范数、2-范数、范数、-范数范数n 矩阵的谱半径：矩阵的谱半径：n ( A) |A|n 若矩阵若矩阵 A 对某个算子范数满足对某个算子范数满足 |A| 1，则必有，则必有

5、: IA可逆、可逆、n 矩阵的条件数：矩阵的条件数： cond(A)=|A|A-1|max)(1iniA 111 |IAA81:55v 迭代法原理及收敛条件：求解迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （）（）v 充分条件：充分条件： x=Bx+f， |B|1v 充要条件：充要条件： x=Bx+f，B的谱半径的谱半径 ( B ) 1v Jacobi迭代：迭代：v 公式：公式：x=Jx+f其中：其中： J=I-D-1A，f=D-1b）v 收敛的条件：收敛的条件： （）（）v 充要条件：充要条件： ( J ) 1v 充分条件：充分条件：|J|1v Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A （非迭代矩阵（非迭代

6、矩阵 J ） ：严格对角占优：严格对角占优v 会手工计算（）会手工计算（）91:55v Guass-Seidel迭代法：迭代法：Ax=bv 迭代公式：迭代公式：x=Gx+f ,其中其中 G=(D-L)-1U，f= =(D-L)-1 bv 收敛性判断：收敛性判断： （）（）v 充要条件：充要条件： ( G ) 1v 充分条件：充分条件：|G|1v 方程组方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A非迭代矩阵）：严格对角占非迭代矩阵）：严格对角占优优v 方程组方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A非迭代矩阵）：对称正定非迭代矩阵）：对称正定v 若方程组的若方程组的Jacobi迭代收敛并且迭代收敛并且|J|q

7、1，则该方程组的，则该方程组的Gauss-Seidel迭代也收敛迭代也收敛v 能写出其迭代矩阵（）能写出其迭代矩阵（）101:55第第4章章 插值法插值法n 插值的基本概念：n 插值条件、插值点n 插值多项式n 插值多项式的存在、唯一性：n 故Ln(x)与Nn(x)等价n Lagrang插值多项式（）n 构造n 余项n 线性插值、抛物插值公式及其截断误差10000 nkknkknkiiikinkkk)x(ly)xx()xx(y)x(l)x(f111:55n Newton插值插值n 差商及其性质：差商及其性质： （）（）n 对称性对称性n n Newton插值公式的构造（）插值公式的构造（）n

8、步骤步骤n 估算某点的近似值：估算某点的近似值：n ,00kiikxxfxxf niniiiiiiin)xx()xx)(xx()xx()x( fx,xf01100)!()(,)(0nfxxfnn nk,nk,ax,xf),x(P)x(fnkn00推推论论：若若Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,xn (x-x0)(x-x1)(x-xn-1)121:55n Hermit插值插值n 基本思想基本思想n 插值多项式的构造方法插值多项式的构造方法n Lagrange型构造法基函数构造法）型构造法基函数构造法）n Newton型构造法重节点的差商）型构造法重节点的差商）n 了

9、解高次插值会产生了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分段现象，解决办法：分段低次插值（）低次插值（）n 了解三次样条插值的基本原理了解三次样条插值的基本原理131:55第第5章章 最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合n 最小二乘原理及正规方程组的构造计算）最小二乘原理及正规方程组的构造计算） （）（）n 多项式拟合：多项式拟合： y=a0+a1x+amxm （1）n 对应的正规方程组：对应的正规方程组：CTCa=CTyn 解之即得解之即得(1的最小二乘解的最小二乘解)3(.,.,.00200210020100201030202000 niiminiiiniiiniiTmnimini

10、miniminiminiminiiniiniiniiniminiiTyxyxyxyyCaaaaaxxxxxxxxxxxnCC141:55v 一般曲线拟合一般曲线拟合v 利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解会计算）利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解会计算） （）（）v Ax=b的最小二乘解为：的最小二乘解为：ATAx=ATb151:55第第6章章 数值积分数值积分n 基本概念：n 数值积分机械求积公式的一般形式n 求积公式的代数精度计算、证明）n 插值型求积公式：n 插值求积公式的构造方法（）n n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度n n+1个积分结点构造n阶Newton

11、-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1次代数精度n Newton-cotes公式的构造n 重点掌握：n 梯形公式n Simpson公式 abAk161:55n 复化积分复化积分n 原理原理n 复化梯形积分、复化复化梯形积分、复化Simpson积分计算）积分计算）n Romberg积分公式积分公式n 是外推公式，由复化梯形积分是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（）次外推得到（）n Gauss积分：积分：n n个积分结点的个积分结点的Gauss求积公式可达求积公式可达 2n-1次代数精度次代数精度（）（）171:55重点例题、习题重点例题、习题n 第一章：第一章：n 例：例：1-1、1-2、1-14、n 习题：习题：2、8、17n 第二章：第二章：n 例：例：2-3、2-5、2-15、n 第三章：第三章：n 例：例：3-29n 习题：习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比消元