多元复合函数求导法和隐函数求导公式(2)

1、整理课件1一元复合函数的求导法则：一元复合函数的求导法则：)(),(xuufydxdydxdududy复习复习(1)设函数设函数),(),(yxvyxu在点在点),(yx处有偏导数处有偏导数,在点在点),(yx对对 x, y 的偏导数存在的偏导数存在,且且xzyz定理定理6.5.1而函数而函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu可微可微, 则复合函数则复合函数),(),(yxyxfzvuzxy链导法则链导法则xvvzxuuzyvvzyuuz(2)6.5 6.5 多元复合函数求导法和隐函数求导公式多元复合函数求导法和隐函数求导公式6.5.1 6.5.1 多元复合函数的求导法则多元复合函数的

2、求导法则整理课件2若函数若函数)(),(xvxu都在点都在点 x 处可导处可导,函数函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu处可微处可微,则复合函数则复合函数)(),(xxfz在点在点 x 处可导处可导,且且dxdvvzdxduuzdxdz全导数全导数特例特例1.zvux如果如果),(yxfz 而而),(xy则复合函数则复合函数)(,xxfz的的全导数全导数dxdyyzxzdxdz特例特例2.注意注意dxdz是在是在)(,xxfz对对x求导数求导数,xz是在是在),(yxfz 中视中视y为常量为常量,对对x求偏导求偏导,zxy整理课件3),(),(),(yxwyxvyxu情形情形(1),

3、(wvufz xwwzxvvzxuuz),(yxufz ),(yxuyfyuufyz注意注意xz是在是在,),(yxyxfz中视中视y为常量为常量,对对x求偏导求偏导,xf是在是在),(yxufz 中视中视yu,为常量为常量,对对x求偏导求偏导,zxyvuwzxyu则则xzxz,xfxuuf链导法则链导法则可推广到三元及三元以上的函数可推广到三元及三元以上的函数.说明说明情形情形(2)ywwzyvvzyuuzyz整理课件4例例2.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuztev)sin(tutcostttetcos)sin(coszvut例例1.,si

4、n,32tytxezyx求求dtdz解解dtdzdtdyyzdtdxxzteyxcos2223)2(teyx).6(cos22sin3ttettzyxt整理课件5例例3.设设,sinyxvxyuvezu求.,yzxz解解xzveusinyveucos1 )cos()sin(yxyxyexyyvvzyuuzveusinxveucos1 )cos()sin(yxyxxexyxvvzxuuzyz整理课件6例例4.设.,.sin,),(2222yuxuyxzezyxfuzyx求求解解xuxzzfxfyzzfyfyu2222zyxxeyxzezyxsin22222)sin21 (222sin2422yx

5、xeyxyx2222zyxyeyxzezyxcos22222)2sin2(4sin2422yxyeyxyxzxyu整理课件7例例5.设设fxyzzyxfw),(具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求.,2zxwxw解解 令, zyxu,xyzv 则),(vufw xw1f 2fyz ,1uff,2vffzxw221fyzfzzf12f y zfyz2zf1zvvfzuuf1111f ,111uff ,112vff zf2zvvfzuuf2221f ,221uff ,222vff wxyzvu12fxy 22fxy 1f 2f xvvfxuuf),(11xyzzyxff),(22xyzzyx

6、ffzxw21211fxyf )(2221fxyfyz 2f y 1211)(fzxyf 222f zxy 2f y 整理课件81. 一个方程的情形一个方程的情形1.设方程设方程 0),(yxF确定函数确定函数)(xyy ,求求dxdyxF0所以所以,yxFFdxdy方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得dxdyFy),(yxFu xy或或yFxFdxdy6.5.2 6.5.2 隐函数的求导公式隐函数的求导公式整理课件9例例1. 设设0 xxeyy求求0 xdxdy解法解法1xxeyyxFy),(令令, 1yxeF则则,1yyxeFdxdy00 xdxdyyxFFyyxee11于是于是解法

7、解法2方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得01)(dxdyxeedxdyyy解得解得dxdyyyxee1100 xdxdy于是于是整理课件10例例2. 设设122 yx求求dxdy及及22dxyd解法解法1yxFFyx22dxyddxdydxd2yyxy31yyxdxd2yyxxy322yxy 1),(22yxyxF令令dxdy解法解法2方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得022dxdyyxdxdyyx整理课件112. 设方程设方程0),(zyxF确定二元隐函数确定二元隐函数),(yxzz 求求yzxz , ),(zyxFu xFzxFFxzyzFzzyFFyzxyz方程两边对方程

8、两边对x 求偏导，得求偏导，得xzFz0方程两边对方程两边对 y 求偏导，得求偏导，得yF0zFxFzFyF整理课件12例例3. 设04222zzyx求22,xzyzxz解解zzyxzyxF4),(222xFx2, 2 ,yFy42 zFzxzzxFFzx2.2zy22xzxzx2)2()()2(zxzxz322)2()2(zxzyz ,zyFFzxx232)2(4zy整理课件13另另 解解:方程两边对方程两边对 x 求偏导，得求偏导，得04222zzyx0422xzxzzx解得解得zxzxxz2242方程两边对方程两边对 y 求偏导，得求偏导，得0422yzyzzy解得解得zyzyyz224

9、2整理课件14例例4. 设设0 xyzez, 求求yxz2解解),(zyxFxyzezxzzxFFxyeyzz,xyeyzzyxz2)(xzy )(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzzyz zyFFxyexzz3222)()(xyeyxxyzeezzzz整理课件15例例5.设设0),(2222zyyxF证明证明:xyyzzxxzyz证明证明:xz)2(221zFxF 21FzFxzyFFyz)2(2)2(221zFyFyF 212)(FzFFyyzzxxzyz21FzFxyz212)(FzFFyzxxyzxFFxF1F,2xyF1F)2(y2F,2yzF2F)2(

10、z得证得证整理课件16设设0),(0),(vuyxGvuyxF求求yvxvyuxu,确定了隐函数确定了隐函数:),(yxuu ),( ,yxvv 方程两边对方程两边对 x 求偏导求偏导,得得即 xvuxvuGxvGxuGFxvFxuFxFxuFu xvFv 0 xGxuGu xvGv 02.方程组的情形方程组的情形解方程组即得解方程组即得整理课件17例例1. 设设10 xvyuyvxu求求:yvxvyuxu,方程两边对方程两边对 x 求偏导，得求偏导，得xuxu即即vxvxxuyuxvyxux22yx 0时时，xu,22yxyvxuxv22yxxvyu解解xvy0 xuyxvxv0解方程组得解方程组得整理课件18方程两边对方程两边对 y 求导求导,得得10 xvyuyvxu00yvxyuyuyvyvyux即uyvxyuyvyvyyux当当22yx0时时,yu,22yxyuxvyv2