第十一章 耦合电感和理想变压器

1、郁金香第第1111章章 含耦合电感和理想变压器含耦合电感和理想变压器 磁耦合线圈在电子工程、通信工程和测磁耦合线圈在电子工程、通信工程和测量仪器等方面得到了广泛应用。为了得到实量仪器等方面得到了广泛应用。为了得到实际耦合线圈的电路模型，现在介绍一种动态际耦合线圈的电路模型，现在介绍一种动态双口元件双口元件耦合电感，并讨论含耦合电感耦合电感，并讨论含耦合电感的电路分析。的电路分析。 首先做一个试验首先做一个试验 先用示波器观察磁耦合线圈初级和次级先用示波器观察磁耦合线圈初级和次级的波形。的波形。 在环形磁芯上用漆包线绕一个耦合电感，在环形磁芯上用漆包线绕一个耦合电感，初级初级6060匝，次级匝，

2、次级3030匝，如图所示。匝，如图所示。在初级加999kHz的正弦信号，用示波器观察到正弦波形在耦合电感的次级上，可以观察到正弦波形，其幅度约为初级电压的一半。用双踪示波器可以同时观察耦合电感初级和次级线圈上的正弦电压波形，它们的相位是相同的。 当我们改变次级线圈的绕向时，耦合电感初级和次级线圈上电压波形的相位是相反的。为了区别这两种情况，需确定耦合电感的同名端，图示耦合电感线圈的两个红色(或绿色)端钮是一对同名端。当初次级电压参考方向的正极都在同名端时，它们的相位相同。11l 耦合电感元件耦合电感元件 图图11-1所示为两个相互有磁耦合关系的线圈。第所示为两个相互有磁耦合关系的线圈。第一个线

3、圈中电流一个线圈中电流i1在线圈本身中形成的总磁通或磁链在线圈本身中形成的总磁通或磁链记为记为 11，它与电流，它与电流i1成正比，即成正比，即 11=L1i1，L1称为线圈称为线圈l的自感。电流的自感。电流i1 在第二个线圈全部匝数在第二个线圈全部匝数N2中形成的总中形成的总磁通或磁链记为磁通或磁链记为 21，它也与电流，它也与电流i1 成正比，即成正比，即 21=M21i1，比例系数比例系数M21称为线圈称为线圈 l与线圈与线圈2的互感。的互感。 图图111(a)121211111iMiL11.1.1 11.1.1 耦合电感的概念耦合电感的概念 与上面的情况相似，若第二个线圈中电流与上面的

4、情况相似，若第二个线圈中电流i i2 2在第二个线圈形成的磁链在第二个线圈形成的磁链 2222= =L L2 2i i2 2，其中其中L L2 2称为称为线圈线圈2 2的自感。电流的自感。电流i i2 2在第一个线圈全部匝数在第一个线圈全部匝数N N1 1中形成的磁链中形成的磁链 1212= =M M1212i i2 2，比例系数比例系数M M1212称为线圈称为线圈2 2与线圈与线圈l l的互感。的互感。 图图111(b)212122222iMiL 若两个线圈中同时有电流若两个线圈中同时有电流i i1 1和和i i2 2存在，存在，则每个线圈中总磁链为本身的磁链和另一个则每个线圈中总磁链为本

5、身的磁链和另一个线圈中电流形成的磁链的代数和。线圈中电流形成的磁链的代数和。 )211(22121222122121112111iLiMiMiL图图111(b) 对于图对于图10l(c)所示的情况有：所示的情况有： ) 211(22121222122121112111iLiMiMiL图图111(c) 211(22121222122121112111iLiMiMiL 式中式中 11、 22表示电流在本身线圈形成的表示电流在本身线圈形成的磁链，称为自感磁链。磁链，称为自感磁链。 12、 21表示另一个线表示另一个线圈中电流产生的磁场在本线圈中形成的磁链，圈中电流产生的磁场在本线圈中形成的磁链，称为

6、互感磁链。也就是说每个线圈中的总磁链称为互感磁链。也就是说每个线圈中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。为自感磁链与互感磁链的代数和。)211(22121222122121112111iLiMiMiL 当电流当电流i1和和i2随时间变化，线圈中磁场及其磁随时间变化，线圈中磁场及其磁链也随时间变化，将在线圈中产生感应电动势。链也随时间变化，将在线圈中产生感应电动势。) 311(dddddddddddddddddddd221222122211121111tiLtiMtttutiMtiLtttu 根据电磁感应定律可以得到：根据电磁感应定律可以得到： 11.1.2 11.1.2 耦合电感的伏安特性耦

7、合电感的伏安特性图图111(b) 与此相似，对于图与此相似，对于图(c)情况可以得到：情况可以得到： )311(dddddddddddddddddddd221222122211121111tiLtiMtttutiMtiLtttu 每个线圈的电压均由自感磁链产生的自感电每个线圈的电压均由自感磁链产生的自感电压和互感磁链产生的互感电压两部分组成。压和互感磁链产生的互感电压两部分组成。图图111(c) 为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压取正号或负号，人们在耦合线圈确定互感电压取正号或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名

8、的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名端。端。11.1.3 11.1.3 耦合线圈同名端耦合线圈同名端(a)(b)什么叫同名端？什么叫同名端？ 当电流当电流i1和和i2在耦合线圈中产生的磁场方向在耦合线圈中产生的磁场方向相同而相互增强时，电流相同而相互增强时，电流i1和和i2所进入所进入(或流出或流出)的两个端钮，称为同名端，常用一对符号的两个端钮，称为同名端，常用一对符号“ ”或或“ * ”表示。例如，图表示。例如，图(a)的的 l和和2是是同名端同名端；11.1.3 11.1.3 耦合线圈同名端耦合线圈同名端(a)(b)如何确定同名端？如何确定同名端？ 按上述，定义一种称为耦合电感的双口

9、电路元件，按上述，定义一种称为耦合电感的双口电路元件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：其元件符号和电压电流关系分别如下所示： )311( dddddddd22122111tiLtiMutiMtiLu图图113(a)图图113(b)311( dddddddd22122111tiLtiMutiMtiLu 耦合电感是一种线性时不变双口元件，它由耦合电感是一种线性时不变双口元件，它由L1,L2和和M三个参数来表征。它是一种动态电路元件。三个参数来表征。它是一种动态电路元件。 如何确定（如何确定（113）式中的符号？）式中的符号？ 自感电压正负号由线自感电压正负号由线圈自身的电压和电流圈自身的电压

10、和电流是否是关联参考方向是否是关联参考方向确定。确定。关联参考方向取关联参考方向取正，非关联参考方向取负。正，非关联参考方向取负。tiLdd11tiLdd22 请看请看P202页。页。（1）自感电压项前的符号：）自感电压项前的符号：tiLdd11tiLdd22 （2）互感电压项前的符号：）互感电压项前的符号：tiMdd1tiMdd2 互感电压正负号由线互感电压正负号由线圈自身电流参考方向圈自身电流参考方向和同名端和另一和同名端和另一线线圈的电压参考方向和同名端圈的电压参考方向和同名端确定。确定。 即即1线线圈的电流参考方向的入端与另一圈的电流参考方向的入端与另一线线圈电压参考方向的正端为同名端

11、，则另一圈电压参考方向的正端为同名端，则另一线线圈圈的互感电压前取正号，否则取负号。的互感电压前取正号，否则取负号。tiMdd1tiMdd2 例例11l 电路如图所示，电路如图所示， ，求以下三种情况的，求以下三种情况的 和和 。 0,51241ieittiLtiMuuudddd221M2L22,3,421HLHLHM21u2u Aeiit4213, 02 AeiAeitt42413,53tiMtiLuuudddd211M1L11 解解： 为非关联参考方向，且为非关联参考方向，且02iVedteddtdiLutt441118054 111iu 和 由于由于 的参考方向的入端（的参考方向的入端（

12、a端）与端）与 的的参考方向的正端（参考方向的正端（C端）为异名端，且端）为异名端，且1i2u02iVedteddtdiMutt44124052 为关联参考方向，有为关联参考方向，有VedteddtdiLutt44122363322iu 和 （2）由于）由于 的参考方向的入端（的参考方向的入端（C端）与端）与 的参考方向的正端（的参考方向的正端（b端）为同名端，且端）为同名端，且2i1u01iVedteddtdiMutt44212432 (3) 根据题目所给予条件，在图示参考方向根据题目所给予条件，在图示参考方向下，有下，有VedteddteddtdiMdtdiLuttt44421115632

13、54VedteddteddtdiMdtdiLuttt4441222465233郁金香11.2.3 11.2.3 空心变压器空心变压器 变压器是电工、电子技术中常用的电气元件，变压器是电工、电子技术中常用的电气元件，不含铁心不含铁心( (或磁芯或磁芯) )的耦合线圈称为空心变压器，的耦合线圈称为空心变压器，它在电子与通信工程和测量仪器中得到广泛应它在电子与通信工程和测量仪器中得到广泛应用。空心变压器的电路模型如图所示，用。空心变压器的电路模型如图所示，R R1 1和和R R2 2表表示初级和次级线圈的电阻。示初级和次级线圈的电阻。 1 1，端接负载的空心变压器，端接负载的空心变压器 (b) jj

14、jjL0)()()(222112111IZLRIMaUIMILR 该电路的网孔方程为：该电路的网孔方程为： 空心变压器次级接负载的相量模型如图。空心变压器次级接负载的相量模型如图。 令令 11LjRZ 11LZLjRZ22 22MjZ M为一次回路阻抗为一次回路阻抗为二次回路阻抗为二次回路阻抗为互感抗为互感抗则则二次侧）一次侧）(21121022M11IZIZUIZIZM从从ab往右的等效阻抗往右的等效阻抗Z1为：为：2221122211111)(YMZZMZIUZ式中221ZY22解方程组得：解方程组得：变压器一次侧电路中的电流为变压器一次侧电路中的电流为112221112221111)(Z

15、UYMZUYZZUIM 图图11111414（b b） 表明，一次侧的输入阻抗由两个阻抗组成，表明，一次侧的输入阻抗由两个阻抗组成，一次侧阻抗一次侧阻抗 和引入阻抗和引入阻抗 （反映阻抗）。（反映阻抗）。 如下图（如下图（a）。）。11ZreZ2221111111)(YMZZZIUZre引入阻抗一次侧阻抗LreZLjRMZMYMZLjRZ22222222211111)()( 引入阻抗：它反映次级回路阻抗通过互感反引入阻抗：它反映次级回路阻抗通过互感反映到一次侧阻抗，引入阻抗的性质与映到一次侧阻抗，引入阻抗的性质与Z22相反。相反。)()(jj-12222122L2212dIZMZjIMjUcI

16、ZMjZLRIMIL再用式再用式( (a)(ba)(b)即可求得次级电流即可求得次级电流 2I和电压和电压2U可写为：可写为：2ILeqOCZZUYMZZUMjYMZUZMjIZMjI11222111222111221222/)()(jj-12222122L2212dIZMZjIMjUcIZMjZLRIMIL 从从cd 往左看，可等效为一个电压源和一个往左看，可等效为一个电压源和一个阻抗的串联电路。如下图。阻抗的串联电路。如下图。 电压源就是戴维宁等效电压源就是戴维宁等效电压源电压源OCU 为引入阻抗，是一次回路反映到二为引入阻抗，是一次回路反映到二次回路的阻抗；次回路的阻抗； 112YM Z

17、22 为二次线圈阻抗为二次线圈阻抗 Zeq由两部分组成：由两部分组成：111OCUMYjU阻抗阻抗Zeq:1122211222eq)()(LjRMLjRYMZZ例例11.5 11.5 正弦电流电路如图所示。已知正弦电流电路如图所示。已知V 10cos210)(Sttu 求电流求电流tVuRRHMHLHLs10cos52,1,2,1 . 0,1 . 0,5 . 02121负载电感负载电感,1 . 0 HL 1i 解：按图解：按图1114（b）画出原边等效相量）画出原边等效相量模型图模型图1115（b）反映阻抗反映阻抗4 . 02 . 02111 . 0101 . 01011 . 010)(222

18、2222jjjjZLjRMZMZLre 求得求得AjjZLjRUIreS0011144.6498. 04 . 02 . 05 . 010205因此因此Ati)44.6410cos(98. 0201 理想变压器是根据铁心变压器的电气理想变压器是根据铁心变压器的电气特性抽象出来的一种理想电路元件。特性抽象出来的一种理想电路元件。11.3 11.3 理想变压器理想变压器 在铁心变压器一次侧在铁心变压器一次侧( (初级初级) )加上交流信号时，加上交流信号时，二次侧二次侧( (次级次级) )可以得到不同电压的交流信号。可以得到不同电压的交流信号。 当变压器的次级的绕向改变时则极性改变当变压器的次级的绕

19、向改变时则极性改变 参数参数n为变比。为变比。 标注的一对标注的一对 点为同名端。点为同名端。 当当u1和和u2的的 + 端均选在标有端均选在标有 点的端钮上点的端钮上时，表示时，表示u1和和u2极性相同。极性相同。 理想变压器的符号理想变压器的符号 理想变压器的作用理想变压器的作用 理想变压器是理想变压器是线性双口电阻元件。线性双口电阻元件。22121211ZnZininuu变阻抗作用变电流作用变电压作用 与实际变压器不同点：与实际变压器不同点： 它既可工作于交流又可工作于直流，对它既可工作于交流又可工作于直流，对电压、电流的频率和波形没有任何限制，并无电压、电流的频率和波形没有任何限制，并

20、无功耗。功耗。 可知从初级进入理想变压器的功率，全可知从初级进入理想变压器的功率，全部传输到次级的负载中，它本身既不消耗，部传输到次级的负载中，它本身既不消耗，也不储存能量。也不储存能量。0122222211iuinnuiuiup 理想变压器有两个基本性质：理想变压器有两个基本性质：1理想变压器既不消耗能量，也不储存能量。理想变压器既不消耗能量，也不储存能量。21211ininuu 2当理想变压器二次侧当理想变压器二次侧(次级次级)端接一端接一个电阻个电阻R时，一次侧时，一次侧(初级初级)的输入电阻为的输入电阻为 n2R。 iRniunninuiuR22222211推导推导 外加电流外加电流

21、1i求得单口网络的输入电阻为求得单口网络的输入电阻为21211ininuu iRniuR211 上式表明理想变压器不仅可以变换电压上式表明理想变压器不仅可以变换电压和电流，也可以变换电阻。和电流，也可以变换电阻。注意：注意： 与理想变压器初、次级同与理想变压器初、次级同名端标记的位置无关。名端标记的位置无关。 iRnR2 例例118 求图示单口网络的等效电阻求图示单口网络的等效电阻Rab。 解：先求理想变压器的二次侧解：先求理想变压器的二次侧(次级次级)负载电阻负载电阻 k5k36363LR 求得求得 k25k52k52abR 例例119 电路如图电路如图(a)所示。欲使负所示。欲使负载电阻载电阻RL=8 得最大功率，求理想变压得最大功率，求理想变压器的变比和负载电阻获得的最大功率。器的变比和负载电阻获得的最大功率。(最大功率传输问题）最大功率传输问题） 解：理想变压器端接负载电阻解：理想变压器端接负载电阻RL时时一次一次侧侧(初级初级)的等效电阻为的等效电阻为 L2iRnR 根据最大功率传输定理，根据最大功率传输定理，R Ri i获得最大功率获得最大功率的条件是的条件是 oL2iRRnR 求得求得 108800Lo RRn 得到图得到图(b)所示电路、电阻所示电路、电阻RL和和Ri获得的获得的