第06章模糊规则

1、LOGO第六章第六章模糊规则模糊规则Company Logo目录目录u由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u语言限定词语言限定词u模糊模糊IF-THEN规则规则u模糊规则库模糊规则库Company Logo由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u 在日常生活中，变量常用词语来描述，如，当说今天热，或者说今天的气温高时，就是用词语高来描述变量今天的气温。也就是说，变量今天的气温取值为高。当 然，变量今天的气温也可以取值为 25 0C、 190C等。当一个变量取数值时，己经有一个完善 的数学体系对其进行描述。而当一个变量取语言值时，在经典数学理论中并没有一个正式 的体系可对其进行描述。为了提

2、供这样一种正式体系，引入了语言变量的概念。粗略地讲， 如果一个变量取自然语言中的词语为值，则称其为语言变量。现在，问题是怎样用数学术语 来描述这些词语。这里用模糊集来描述这些词语。于是，有下面的定义: 定义6.1 如果一个变量能够取普通语言中 的词语为值，则称该变量为语言变量。这里，词语由定义在论域上的模糊集合来描述，变量也是在论域上定义的。Company Logo由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u 例 6.1汽车速度是一个变量 ，其取值范围为区间忡 ，V 缸 ，这里，V 缸是汽车的最快速度。在0 ，V ov 内定义如图 6. 1 所示的三个模糊集慢速、中速、快速。如果把 x 看作一个

3、语言变量，则它可取慢速、中速和快速为值，即x 为慢速、x 为中速、x 为快速。当然， 图 6. 1汽车的速度作为一个语言变量也可取区间 0，VmaJ 上的数值为值，如 x =50mph ，35mph 等。 图图 6.1Company Logo由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u 定义 6.2语言变量可表征为四元组 (X，T，U，M)，u 其中X为语言变量名称;在例 6. 1 中，X指汽车的速度。 T 为语言变量 X 取值的术语集合;在例 6. 1 中，T 慢速，中速，快速。 U 是语言变量 X 取值的论域;在例 6. 1 中，U=O ，Vmax 。 M 是研究 X 取值的语义规则，即将

4、T 中的每个语言值和 U 中的模糊集连接起来的语义规则;在例 6. 1 中，M 将慢速、中速、快速同图 6. 1 中的隶属度函数连 接起来。Company Logo由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u 比较定义 6. 1 和定义 6.2 ，可以看出，这两种定义实际上是等价的。定义6. 1 更直观些，而定义 6.2 则更正式些。由定义可以看出，语言变量某种意义上是数值变量的一种扩展，即允许语言变量取模糊集为值(见图 6.2) 。 由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量Company Logo由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u 为什么语言变量的概念重要呢?这是因为，语言变量是人类知

5、识表达中最基本的元素， 当用传感器测量一个变量时，传感器会给出一个数值;而当征求专家对一个变量的评价时， 专家会给出语言。例如，当使用雷达枪来测量汽车速度时，雷达枪会给出诸如39mph ， 42mph 等数字;而当让某个人告诉我们汽车速度时，他/她通常会说如它开得慢、它开得 快等话语。因此，引入语言变量的概念就会使自然语言的模糊描述形成精确的数学描述， 这是人类知识系统有效地嵌入工程系统的第一步。Company Logo目录目录u由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u语言限定词语言限定词u模糊模糊IF-THEN规则规则u模糊规则库模糊规则库Company Logo语言限定词语言限定词u 根

6、据语言变量的概念，我们可以将词语赋给语言变量。在日常生活中，我们常用一个单 词以上的词语来描述一个变量。例如，如果将汽车速度看做一个语言变量，则它的值可能为 “不慢”，“非常慢”，“稍快”，“差不多中速”等等。一般说来，一个语言变量的取值是一个合 成术语 X = X1，X 2 ,xn，即为元辞X1，X 2 ,xn 串接。这些元辞可以分成三类: 基本术语，它是模糊集的说明性短语;如例6. 1 中，基本术语就是慢速、中速和快速。 连接词，非、且和或。 限定词，如非常、稍微、差不多等等。Company Logo语言限定词语言限定词定义6.3 令A为 U 上的一个模糊集合，则非常 A也是一个 U 上的

7、模糊集合，它可用如 下隶属度函数未定义: 非常A() = A() (6.1)差不多A 也是 U 上的一个模糊集合，它可用如下隶属度函数未定义: 差不多() = A(X) (6.2) 例 6.2 令 U =1，2 ，引，则模糊集合小可定义为 小=1/1 +0.8/2 +0.6/3 +0.4/4 +0.2/5 (6.3)然后，由式 (5. 1)和式(5.2) ，可得 非常小 =1/1 +0.64/2 +0.36/3 +0.16/4 +0.04/5 (6.4) 非常非常小=非常(非常小) = 1/1 + 0.4096/2 + O. 1296/3 + 0.0256/4 + 0.0016/5 (6.5)

8、 差不多小= 1/1 + 0.8944/2 + 0.7746/3 + 0.6325/4 + 0.4472/5 (6.6)21/2Company Logo目录目录u由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u语言限定词语言限定词u模糊模糊IF-THEN规则规则u模糊规则库模糊规则库Company Logo模糊模糊 IF-THENIF-THEN规则规则u 在模糊系统与模糊控制中，人类知识可以用模糊IF THEN 规则来表 述。一条模糊 IF -THEN 规则就是一个条件陈述句，它可以表述为IF 模糊命题) ，THEN 模糊命题)u 因此，要想理解模糊 IF -THEN 规则，就必须先知道什么是模糊命

9、题。Company Logo模糊命题模糊命题u 有两种类型的模糊命题(Fuzzy Propositions): 子模糊命题和复合模糊命题。子模糊命 题是一个单独的陈述句 x 为 A (6.8) 这里， 是语言变量 ，A是语言变量 x的值(即 4 是一个定义在 x的论域上的模糊集 合)。子模糊命题通过连接词且、或、非连接起来而构成的命题叫做复合模糊命题， 这里且、或、非分别表示模糊交、模糊并和模糊补。如例 5. 1 中，如果用 x 表示汽车 的速度，则有以下模糊命题(前三个为子模糊命题，后三个为复合模糊命题) : x 为 s (6.9) x 为 M (6. 10) x 为 F (6. 11) x

10、 为 5 或 x 非 M (6. 12) x 非 S 或 x 非 F (6.13) (x 为 5 且 x 非 F) 或 x 为 M (6. 14) 这里， 5、M 和 F 分别表示模糊集慢速、中速和快速。Company Logo模糊命题模糊命题 应注意，在一个复合模糊命题中，子模糊命题是独立的。即，对于命题(6.12)命题(6.14) 中的同一个变量 x 而言 ，X 的取值可能是不同的。实际上，在复合模糊命题中的语言 变量一般也是不同的。例如，令 表示汽车速度 ，y = x表示汽车的加速度，如果将加速度取 值为模糊集合大 (L) ，则有如下复合模糊命题: x 为 F 且 y 为 L 所以，复合

11、模糊命题应该被理解为一种模糊关系。那么，怎样确定这些模糊关系的隶属度函数呢?Company Logo模糊命题模糊命题用模糊交表示连接词且。具体地讲，令 x 和 y 分别为定义域 U 和 V 上的语言变 量 ，A 和 B 分别为 U 和 V 上的模糊集合，则下面的复合模糊命题 x 为 A 且 y 为 B (6.15) 可以解释为 UxV 中的模糊关系 AB ，其隶属度函数为 AB(x ，y) =t A(x) ， B(y) (6. 16) 其中 ，t:0 ，1 x0,10，1 是任意 t-范数。用模糊并表示连接词或。具体地讲，下面的复合模糊命题 x 为 A 或 y 为 B (6.17) 可以解释为

12、 UxV 中的模糊关系 AUB ，其隶属度函数为 AUB(x ，y) =s A(x) ， B(y) (6. 18) 其中 ， s:0 ，1 x0,10，1 是任意 s-范数用模糊补表示连接词非。即，把非A用 A 来替代_Company Logo模糊命题模糊命题例 6.3模糊命题 (6.14) ，即 FP = (X为 5 且 x 非 F) 或 x 为 M (6.19) 是乘积空间 0，Vmax 中的一个模糊关系，其隶属度函数为 FP( x1,x2,x3 )= s tS(x1) ，c(F(x2) ,M(x3) (6. 20) 其中 ，s 、t 和 c 分别表示 s-范数、 t-范数和模糊补算子，模

13、糊集(其定义见图 5.1)5= 慢 速 ，M = 中速，F = 快速 ，x1=x2=x3=x解释形如式 (6.7) 的模糊 IF -THEN 规则的准备工作己经就绪。3Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释 由于模糊命题是用模糊关系未解释的，所以剩下的关键问题是怎样解释 IF -THEN 的运 算。在经典命题运算中，表达式 IF p THEN q 可以写成 pq ，可以看做是由表 6. 1 所定义 的一种连接，这里 p 和 q 都是命题变量，其值为真( T)或为假( F) 。 表表6.1Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-TH

14、EN 规则的解释规则的解释u 如果 p 和 q 的值都为真或都为假，则 pq 为真;如果 p 的值为真 ，q 的值为假，则 pq 为假;如果 p 的值为假 ，q 的值为真，则pq 为真。因此，认为 pq等价于 pVq (6.21) 和 (p q) V p (6.22)u 即式(6.21)和式(6.22 )与 pq 都符合真值表(表6. 1)的规律，这里-、 V 和别代表(经典)逻辑运算符非、或和与。_Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释u 由于模糊 IF -THEN 规则可以解释为用模糊命题取代了 p 和 q ，所以，模糊 IF -THEN 规

15、则 也可以解释为用模糊补、模糊并和模糊交来分别取代式 (6.21)和式(6.22 )中的-, 和算 子。因为模糊补、模糊并和模糊交算子有很多种，所以文献中提出的模糊 IF -THEN 规则也 就有很多种不同的解释u 。下面列举了其中的一部分。u 将式 (6.7) 重写为 IF THEN ，用FP1和 FP 2 来分别取代式 (6.21) 和式 (6.22 )中的 p 和 q ，这里 FP1 和 FP 2 都是模糊命题。假设 FP1是一个定义在 U = U1 Un 上的模糊关系 ，FP 2 是一个定义在 V= V1 Vm 上的模糊关系， 和 y 分别是 U 和 V 上的 语言变量(向量)。Com

16、pany Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释 Dienes-Rescher 含义:把式 (6.2 1)中的逻辑运算符和 V 分别用基本模糊补和基本模糊并未取代，就可得到 Dienes -Rescher 含义。具体地讲，模 糊 IF -THEN 规则 IF THEN ，可以解释为UxV 中的一个模糊关系。D 其隶属度函数为 QD(x,y)=max1- FP1(x) ，FP2(y) (6.23) Lukasiewicz 含义:。具体地讲，模 糊 IF -THEN 规则 IF THEN ，可以解释为UxV中的一个模糊关系，其隶属度函数为 QZ(x,y)=max1-

17、 FP1(x) ，min(FP1(x) ,FP2(y) ( 6. 24 ) Zadeh 含义:这里的模糊 IF -THEN 规则 IFTHEN 可以解释为 UxV中的一个模糊关系。z 其隶属度函数为 QZ(X ，y) =maxmin( FP1 () ，FP2 ( y) ) ，1 一 FP1() (6.25)Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释u Gdel 含义: Gdel 含义是经典逻辑中一个众所周知的含义公式。通过将其推广至 模糊命题，得到的模糊 IF -THEN 规则 IF THEN 可以解释为 UxV 中 的一个模糊关系QG，其隶属度函数

18、为 QG（x,y）= (5.26)1 FP1(x) FP1(x) FP1(y) 其他 Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释u Mamdani 含义:模糊 IF -THEN 规则IF THEN 可以解释为 UV 中的一个模糊关系QMM 或 QMP 其隶属度函数为u QMM （x,y）= minFPl(x) ，FP2(y) (5.27)u QMP(x.y) =FPl(x)FP2(y) (5.28)u Mamdani 含义是在模糊系统与模糊控制中使用最广泛的含义。其成立的论据是，模糊 IF -THEN 规则为局部含义。尽管，也许有一些人不同意这一观点

19、。如，有人可能认为，当说 速度快则阻力很大时，其内在含义是速度慢则阻力小。从这个意义上讲，模糊 IF - THEN 规则又是非局部的。这种争论表明，当用模糊 IF -THEN 规则来表述人类的知识时，不 同的人会有不同的解释。因此，要求用不同的含义来处理不同的问题。例如，如果专家认为 其规则是局部的，则会使用 Mamdani 含义;否则就会考虑全局含义式 (5.23) 式 (5.26 )Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释u 例令 U = 1，2 ，3 ，4 ，V = 1，2 ，3 。假设己知 xU 是 y V 的逆命题。 为描述这 一知识，可

20、以使用下面的模糊 IF -THEN 规则: 如果 x 为大，则 y 为小 (1) 这里，模糊集大和小的定义如下:大 =0/1+0.1/2+0.5/3+1/4 (2)小 =1/1+0.5/2+0.1/3 (3)如果使用 Dienes -Rescher 含义 ，则模糊IF -THEN 规则 (1)就可以表述为如下 UxV 中的模糊关系QDQD QD =1/( 1=1/( 1，1) +1/( 11) +1/( 1， 2) +1/( 1 2) +1/( 1， 3) +1/(2 3) +1/(2 ，1+) 0.9/(2 1+) 0.9/(2 ，2) 2) +0.9/(2 +0.9/(2 ，3) +1/(

21、3 3) +1/(3 ， 1)+0.5/(3 1)+0.5/(3 ，2) +0.5/(3 2) +0.5/(3 ，3) +1/(4 3) +1/(4 ，1+) 1+) 0.5/(4 0.5/(4 ，2) +0.1/(4 2) +0.1/(4 ，3)3) (4)(4)Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释如果使用如果使用 LukasiewiczLukasiewicz 含义，则规则含义，则规则(1 )(1 )就变成了就变成了Q QL L =1/( 1=1/( 1，1) +1/( 11) +1/( 1， 2) +1/( 1 2) +1/( 1， 3)

22、+1/(2,1+)1/(2,2) +1/(2,3) 3) +1/(2,1+)1/(2,2) +1/(2,3) +1/(3,1) +1/(3,2) +0.6/(3,3) +1/(4 ,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3)+1/(3,1) +1/(3,2) +0.6/(3,3) +1/(4 ,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) (5)(5)如果使用如果使用 ZadehZadeh 含义含义 和和 Gdel Gdel 含义含义 ，则有则有Q Qz z=l/(1=l/(1,1) +1/( 1, 2) +1/( 1,3) +0.9/(2,1) +0.9/(2,2)+0.9/(2,

23、3) ,1) +1/( 1, 2) +1/( 1,3) +0.9/(2,1) +0.9/(2,2)+0.9/(2,3) +0.5/(3,1) + 0.5/(3,2) +0.5/(3,3) +1/(4,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) +0.5/(3,1) + 0.5/(3,2) +0.5/(3,3) +1/(4,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) (6)(6)Q QG G=l/(=l/(1 1，1) +1/( 11) +1/( 1， 2) +1/( 1 2) +1/( 1， 3) +1/(2 3) +1/(2 ，1+) 1/(2 1+) 1/(2 ，2) +1/(

24、2 2) +1/(2 ，3) 3) +1/(3 +1/(3 ，1) + 1/(31) + 1/(3，2) +0.1/(3 2) +0.1/(3 ，3) +1/(4 3) +1/(4 ，1) +0.5/(4 1) +0.5/(4 ，2) +0.1/(4 2) +0.1/(4 ，3)3) (7)(7) 最后，如果使用最后，如果使用 MamdaniMamdani 含义，则模糊含义，则模糊IFIF -THEN -THEN 规则规则 (1 ) (1 )就变成了就变成了Q QMMMM=0/( 1,1) +0/( 1,2)+0/( 1,3) +0.1/(2,1) =0/( 1,1) +0/( 1,2)+0/

25、( 1,3) +0.1/(2,1) +0.1/(2,2)+0.1/(2,3)+0.5/(3 ,1) + 0.5/(3,2) +0.1/(3,3) +1/(4,1) +0.1/(2,2)+0.1/(2,3)+0.5/(3 ,1) + 0.5/(3,2) +0.1/(3,3) +1/(4,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) (8)(8) QMP=0/(1,1QMP=0/(1,1) +0/( 1) +0/( 1， 2) +0/( 1 2) +0/( 1， 3) +0.1/(2 3) +0.1/(2 ，1) +0.05/(2 1) +0.05/

26、(2 ，2) 2) +0.01/(2 +0.01/(2 ，3) + 0.5/(3 3) + 0.5/(3 ，1+)0.25/(3 1+)0.25/(3 ，2) +0.05/(3 2) +0.05/(3 ，3) +1/(4 3) +1/(4 ，1) 1) +0.5/(4 +0.5/(4 ，2) +0.1/(4 ,3)2) +0.1/(4 ,3) (9)(9)Company Logo模糊模糊 IF-THEN IF-THEN 规则的解释规则的解释u 由式(4) 式( 9) 可以看出，对于不包含在规则式 (1 )之内的数据对，即(1， 1)，(1， 2) 和(1， 3)( 因为 大(1) =0)，QD

27、， QL ，Qz 和 Qc 给出的隶属度值是1，而 QMM 和 QMP 给出的隶属度值是 0 。这同前面的结论，Dienes -Rescher 含义、 Lukasiewicz 含义， Zadeh 含义 以及 Gdel 含义为全局含义，而 Mamdani 含义为局部含义的结论是一致的。Company Logo目录目录u由数值变量到语言变量由数值变量到语言变量u语言限定词语言限定词u模糊模糊IF-THEN规则规则u模糊规则库模糊规则库Company Logo模糊规则库模糊规则库- -结构结构u 模糊规则库是由模糊 IF -THEN 规则集合组成的。它是模糊系统的核心，从这个意义上讲，模糊系统的其他

28、组成部分都是以一种合理而有效的方式来执行这些规则的。具体地讲， 模糊规则库是由以下模糊 IF -THEN 规则组成的:u R:如果 X1为 A1;且且xn为An，则y 为 B (7. 1)u 其中，Ai; 和 B 分别是 Ui C R 和 V C R 上的模糊集合 ，X = (x1，x2，X n ) U 和 yV 分别是 模糊系统的输入和输出(语言)变量。令 M 为模糊规则库式( 7. 1)中的规则数目，即 l= 1， 2 ，M 。将形如式(7. 1)的规则叫做标准模糊 IF -THEN 规则，因为正如下面的引理所表明 的那样，它包含了许多其他类型的模糊规则及特殊的模糊命题。（l）lllllT

29、Company Logo模糊规则库模糊规则库- -结构结构引理 7形如式 (7. 1)的标准模糊 IF -THEN 规则包含了下列特例:( a) 不完整规则如果x1为 A1; 且且 X m 为 Am ，则 y 为 B (7.2)其中 ，m n( b) 或规则如果x1为 A1; 且且 Xm 为 Am 或Xm+1或Am+1且且 Xn为An，则 y 为 B (7.3)lllllllllCompany Logo模糊规则库模糊规则库- -结构结构( c)单一模糊陈述y为 B (7.4)(d) 逐级变化规则x 越小，则 y 越大 (7.5)( e)非模糊规则(即传统的扩展规则) lCompany Logo

30、模糊规则库模糊规则库- -特性特性 u 因为模糊规则库是由规则集合组成的，所以这些规则之间的关系及规则整体都蕴涵着 有趣的问题。如，这些规则涵盖了模糊系统所有可能面对的情况了吗?这些规则之间有冲 突吗?为回答这些问题，引入下列概念u 定义 7.1如果对任意 xU，在模糊规则库中都至少存在一条规则，称之为规则Ru形如规则( 7. 1)，对于所有 i= 1， 2 ， ，n 都满足 Al(xi) 0。 u 则称这个模糊 IF -THEN 规则集合是完备的。u 直观地讲，一个规则集合的完备性表明，输入空间中的任意点上都至少存在一条可用规 则。也就是说，规则的 IF 部分的隶属度值在这一点上是非零的(l

31、)Company Logo模糊规则库模糊规则库- -特性特性u 例 7.1 考虑 U = U1x U2=0 ，1Jx0 ，1 和 V=0 ，1上的一个二维输入一维输出模糊系统。在 U1 上定义三个模糊集合同S1，M1 ，L1 ，在U2上定义两个模糊集合 S2，L2 (见图 7.2) 。为了保证模糊规则库的完备性，该模糊规则库必须包含以下六条规则，且六条规则 的 IF 部分应由S1，M1 ，L1 和S2，L2的所有可能的组合组成:u 如果如果 X1 为为 S1且且X2为为 S2 ,则则 y 为为 Bu 如果如果 X1 为为 S1且且X2为为 L2 ,则则 y 为为 Bu 如果如果 X1 为为 M1且且X2为为 S2 ,则则 y 为为 Bu 如果如果 X1 为为 M1且且X2为为 L2 ,则则 y 为为 Bu 如果如果 X1