连续小波变换

1、连续小波变换定义与特性引入连续小波变换的基本想法：nGaobor变换的缺点在于其时频“窗口”的宽度不随频率的变化而变化。n在实际应用中，窄的时间窗可以更精确的描述信号的高频成分；宽的时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。n所以，在对信号进行时频局部化分析中，我们需要一个自动随频率变化的时频窗口。可用的工具：)( 1)(axaatxForier变换的时间展缩性：利用连续小波变换的定义：0,)()(),)(W2_21aRbaLfdtabttfaabf其中：的局部频率特性）振荡性。（表征均有限。，时频局部化。即应满足的条件：f. 2. 1“容许性”条件：为小波常数。为基小波则称且满足条件：若：cdc

2、L,)( :,22对“容许性”条件的分析：（振荡性）即：）（容许性”条件隐含着： 0)(00dtt1.对“容许性”条件的分析：2. 22)( ,)(LLtt满足：我们还得要求窗口，能提供一个局部的时频为了“基小波”对“容许性”条件的分析：3. ababfabfWabtat,21,),)(),()(则用对小波变换时域窗口的分析：的信息。在表征了信号半径为的中心在则：时域半径为的时域中心在若*,*)(),)(,*,*aatbaatbtfabfWaatbtab对小波变换频域窗口的分析：, ,),)(,)( )()()0(,*,212121,*aaaaabfWaaaaeaabtadtabteaaaba

3、bibtiab的频域窗口为半径为的中心在可知分析由：则时域半径为的时域中心在若对小波变换时频窗口的分析：对小波变换时频窗口的分析：有关。状仅与参数小波变换的时频窗口形a. 1口变宽。频域窗口变窄，时域窗，上升时：中心频率下降当口变窄。频域窗口变宽，时域窗，下降时：中心频率上升当的关系。时频窗口形状与参数aaa. 2t1*a2*a*11tab *22tab 12aa小波变换的重构定理：dbadaxabfWcxfxfLfLgfgfcdbadaabgWabfWabfWab2,222_)(),)(1)(R,),)(),)(),)(，有的连续点和成立，并且对于对所有的则：了一个连续小波变换是一个基小波，

4、它定义令小波重构定理的证明：左端dbadagfabab2_,dbadagfabab2_,21小波重构定理的证明：dbadadtabtatgdaeafbi2_)(1)()( )(21 dtdadtgafadbabtebi_2)()( )( )(21 dtdadtgafaaeati_2)()( )()( 21小波重构定理的证明： dtdtgfedaaati_2)()()| )( |(21 dtdtgfecti_)()(2 dttgdfecti_)()(2小波重构定理的证明：dttgtfc_)()(gfc,小波重构定理的证明：窗函数），：（取对GaborxtgxggfcdbadaabgWabfW()(,),)(),)(2_agfxf,lim)(0dbadaabgWabfWca2_0),)(),)(1lim小波重构定理的证明：dbadagabfWcab2_,0),(lim),)(1dbadaabfWcab2,),)(1小波变换重构定理的一个推广：dbadafcxfxfLfLgfgfcdbadagfdcabababab22,1,22,22,1,21121,1)(R,)()(,21121121，有的连续点和成立，并