【高等数学】1.1.3导数的几何意义ppt课件

1、1.1.3导数的几何意义 定义：函数定义：函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是0000()()li.mlimxxf xxf xyxx ,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 即：我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数,记作记作:回回想想 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导处的导数的根本方法是数的根本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极

2、限，得导数)2( ),1( ),( ,)(12ffxfxxf求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定),( xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)( 02200解：由导数的定义有422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 21xxxffxff处的导数。在：求函数例12xxyxxxyxy1111解法一：21111lim0 xx111xxxxxxxxxyxxxy1解法二：xxxxxyxx211limlim00211xyxy2100()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数在

3、不致发生混淆时，导函数也简称导数000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函数在点处的导数等于 函数的导 函 数在点处的 函数值 什么是导函数什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变变化时化时, f(x0)便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:下面来看导数的几何意义下面来看导数的几何意义: y=f(x)PQMxxyyOxyPy=f(x)QMxxyyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的

4、图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上上的的恣意一点恣意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P临近一点临近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,: xyyMQxMP则则yPQ?x请问：是割线的什么斜斜率率!PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:00000()( )( )l

5、imlimxxf xxf xyf xxxk 切线 阐明：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法阐明：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切切线斜率的本质线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.导数的几何意义：导数的几何意义： 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:0( )kf x切线 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy NoImage/000/0/01y=f(x)P(x

6、,f(x )f (x )y 2f (x )0,Xf (x )0,X注注：（）若若曲曲线线在在点点处处的的导导数数不不存存在在，就就是是切切线线与与 轴轴平平行行。（ ）切切线线与与 轴轴正正方方向向夹夹角角为为锐锐角角，切切线线的的斜斜率率为为正正，切切线线与与 轴轴正正方方向向夹夹角角为为钝钝角角，切切线线的的斜斜率率为为负负。例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为

7、y-2=2(x-1),即即y=2x.1求出函数在点求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf 2根据直线方程的点斜式写出切线方程，根据直线方程的点斜式写出切线方程，即即).)()(000 xxxfxfy 求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：练练习习线线点点点点 处处线线点点 处处线线3 31 18 8：已已知知曲曲y y = =x x 上上一一P P( (2 2, , ) )，求求：3 33 3( (1 1) )P P的的切切的的斜斜率率；（2 2）P P的的切切方方程程.)(33lim31)()(33lim313

8、1)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即点即点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲

9、曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l

10、2lthO0t1t2t311 .图图80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .图图 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到精确到率率物浓度的瞬时变化物浓度的瞬时变化血管中药血管中药时时估计估计根据图象根据图象函数图象函数图象变化的变化的单位单位随时间随时间位位单单物浓度物浓度表示人体血管中药表示人体血管中药它它如图如图例例 ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,t

11、f .在此点处的切线的斜率曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411 .,.,.41804180 ft所以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. tft药物浓度的瞬时变化率1求出函数在点求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲，得到曲线线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf 2根据直线方程的点斜式写出切线方程，即根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结小结: 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的根本思想，丢掉极限思想就无法了解根本思想，丢掉极限思想就无法了解导导 数概念。数概念。作业作业:2342yxxM 2 2. .求求曲曲线线在在点点 （1 1，1 1）处处的的切切线