大学物理2气体动理论

1、热热 学学 Heat2005年年秋季学期秋季学期气体动理论气体动理论第第2章章陈信义编陈信义编 22.1理想气体的压强理想气体的压强目目 录录 ：自学自学【演示演示】伽尔顿板伽尔顿板 速率分布速率分布 【演示演示】气体压强模拟气体压强模拟 2.2 温度的微观意义温度的微观意义2.3 能量均分定理能量均分定理2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证2.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 能量均分定理的证明能量均分定理的证明(补充补充)2.7 实际气体等温线实际气体等温线32.8 范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程2.9 气体分子的平均自由程

2、气体分子的平均自由程2.10 输运过程输运过程【演示演示】空气粘滞空气粘滞（卧式转盘卧式转盘）42.1 理想气体的压强理想气体的压强一、理想气体的微观假设一、理想气体的微观假设（1）质点质点 ( (分子线度分子线度2）个原子组成的分子，一般最多有个原子组成的分子，一般最多有3n个自由度，其中个自由度，其中3个平动，个平动，3个转动，其余为个转动，其余为振动自由度振动自由度 ，例如，例如n=363 ns3633 skTkTkTsrt62323322 20l直线型分子直线型分子53 ns例如例如CO24533 sO=C=O对称伸缩对称伸缩O=C=O反对称伸缩反对称伸缩O=C=O面内变形面内变形O=

3、C=O面外变形面外变形分子的平均能量：分子的平均能量：kTkTkTsrt2132422322 21二二 、能量均分定理、能量均分定理 分子频繁碰撞，统计地看，能量在分子频繁碰撞，统计地看，能量在各个自由度上均分。各个自由度上均分。 在温度在温度 T 的平衡态下，物质的平衡态下，物质（气体、液体气体、液体和固体和固体）分子的每一个自由度的平均动能都分子的每一个自由度的平均动能都相等，而且都等于相等，而且都等于 。kT21物理解释物理解释：分子运动总平均能量：分子运动总平均能量：,2kTi srti2 转动？振动？转动？振动？2.6证明。证明。22振动能级间隔大振动能级间隔大转动能级间隔小转动能级

4、间隔小平动能量连续平动能量连续eV101042 eV101020 常温（常温（T300K，能量，能量102eV）：）：振动能振动能级难跃迁，对能量变化不起作用。级难跃迁，对能量变化不起作用。 “冻结冻结”振动自由度，分子可视为振动自由度，分子可视为刚性。刚性。1 eV 热能相当温度热能相当温度 104 KJ/K)1038. 1,106 . 1(2319 kJkT23刚性分子刚性分子：常温，不计振动自由度常温，不计振动自由度 ）（）（）（）（直直线线型型多多原原子子非非直直线线型型多多原原子子双双原原子子单单原原子子kTkTkTkTkTrt25325232 晶格点阵上的离子晶格点阵上的离子：kT

5、kTkTs323222 只有振动自由度只有振动自由度24 一个小球落在哪里一个小球落在哪里有偶然性；少量小球有偶然性；少量小球的分布每次都可能不的分布每次都可能不同；大量小球的分布同；大量小球的分布却是稳定的。却是稳定的。 统计规律：统计规律：对大量偶然事件整体起作用的对大量偶然事件整体起作用的稳定的规律稳定的规律 。2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律【演示演示】伽尔顿板伽尔顿板一、统计规律一、统计规律25l对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分子，速度的分布将具有稳定的

6、规律子，速度的分布将具有稳定的规律 麦克麦克斯韦速度分布律。斯韦速度分布律。l只考虑速度大小的分布只考虑速度大小的分布 麦克斯韦速率分麦克斯韦速率分布律。布律。l直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律后推导。后推导。自学：自学：速度分布律，速度分布律速度分布律，速度分布律速率分布律。速率分布律。26二、速率分布函数二、速率分布函数vNvNvfdd)( N：分子总数：分子总数vNd：速率：速率vvvd 内的分子数内的分子数xvyvzvvd速度空间速度空间vNd),(zyxvvvv速率分布函数：速率分布函数：27速率分布函数的含义：速率分布函数的含义：vNvN

7、vfdd)( m在速率在速率v附近，单位速率区间内的分子数占附近，单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比。分子总数的百分比。 m对于一个分子，其速率处于对于一个分子，其速率处于v附近单位速率附近单位速率区间的概率区间的概率 速率分布的速率分布的 “概率密度概率密度”。【思考思考】 的物理含义的物理含义? 21d)(vvvvf28vNvNvfdd)( 归一化条件：归一化条件： 01d)(vvf一个分子速率处于区间一个分子速率处于区间 的总概率等于的总概率等于1。 01d1d)(00 NvNNvvf因为因为29 )(vf v 0 NNvvfvdd)( T, m vvvd 三、麦克斯韦速率分布律（

8、三、麦克斯韦速率分布律（1859） 温度为温度为T的平衡态下，气体分子速率分布的的平衡态下，气体分子速率分布的 概率密度为概率密度为kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 【演示演示】速率分速率分布模拟布模拟 3023024de2 xxx高斯积分：高斯积分： 21de02 xxx2102de2 xx20321de2 xxx250483de2 xxx31验证归一化：验证归一化：kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 002/22/3de24d)(2vvkTmvvfkTvm 01d)(vvf23024de2 xxx由积分公式由积分公式 ，得，得32MRTMRTmkTvp41. 122

9、)(vf v 0 T pv 最概然速率最概然速率：0d)(d pvvvf由由kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 33 f(v)0vT1T2 T1vp1vp2同种气体不同温度的分布：同种气体不同温度的分布：1212ppvvTT 01d)(vvf【思考思考】画出相同温度不同画出相同温度不同m气体的速率分布气体的速率分布。mkTvp41. 1 34一般情况下一般情况下四四 、用分布函数计算与速率有关的物理量在速、用分布函数计算与速率有关的物理量在速率率 0 区间内的平均值区间内的平均值vvfvvfvWWd)(d)()(00 vvfvWWd)()(0 01d)(vvf其中，分布函数已归一化其

10、中，分布函数已归一化 。35 如果如果不归一化，则有不归一化，则有证明：证明： 0d)(NNvWWvvvNNvWvddd)(0 vvfvWd)()(0 其中其中 ，满足，满足 。 01d)(vvfvNNvfvdd)( vvfvvfvWWd)(d)()(00 归一化归一化36例例. 计算物理量计算物理量 W（v）在速率区间）在速率区间v1 v2内按内按速率的平均值。速率的平均值。 21d)()(21vvvvfvWvvW对吗？对吗？解：解： 2121d)(d)()(21vvvvvvfvvfvWvvW正确结果为：正确结果为： 000d)()(d)(d)()(0vvfvWvvfvvfvWW37 212

11、1d)(121vNvNvNvWvvNvvW 2121d)(d)()(21vvvvvvfvvfvWvvW证明：证明：vvvvfvWvvNNd)()(2121 vvvvNvNvWvvNNddd)(2121 2121d)(vvvvfNvvN，因此，因此而而38平均速率平均速率：MRTMRTvvvfv60. 18d)(0 方均根速率方均根速率：MRTMRTvvrms73. 132 MRTvvfvv3d)(022 3973. 1: 60. 1: 41. 1 : : 2 vvvp f(v) v 0 2vvvp T kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 40 四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分

12、布律(自学自学 教材教材 P53 57)1、分子沿、分子沿 x方向速度处于方向速度处于 vx 附近的概率密度附近的概率密度xxvNvNvgxdd)( xvNd：速度区间：速度区间 内的分子数内的分子数 xxxvvvd N：分子总数：分子总数同样有：同样有：zzzyyvNvNvgvNvNvgydd)(,dd)( 假定假定 互相独立。互相独立。)(),(),(zyxvgvgvg41)()()()(zyxvgvgvgvF 2、分子速度处于、分子速度处于 附近的概率密度速度附近的概率密度速度分布函数分布函数vzyxvvvNvNvNvNzyxdddddd zyxvvvNvNdddd3 xvyvzv速度空

13、间速度空间vN3dzyxvvvdddv423、平衡态分子速度取向各方向等概率，、平衡态分子速度取向各方向等概率，F 应应只是速度大小的函数只是速度大小的函数)()()()(222zyxzyxvvvFvgvgvg 要求要求 ，即，即2e)(xAvxCvg 2222eeee)(3AvAvAvAvCCCCvFzyx 由由 可知可知 ，设，设 0, Fv0 A21 A22/3e)( vCvF 43由归一化条件由归一化条件)(1 C22/33e1)( vvF 得麦克斯韦速度分布律：得麦克斯韦速度分布律：1eddd)(dddd22/-3-3 vzyxzyxvvvCvFvvvNvN -u-due2 （积分公

14、式）（积分公式）444、速度分布律、速度分布律速率分布律速率分布律vvvNFvNd4)(d2 zyxvvvNvNvFdddd)(3 22/-232e4)(4)( vvvvFvvNNvf ddxvyvzvvN3dzyxvvvdddvyvxvzvvdvNdvzyxvvv,455、确定常数、确定常数 ,e4)(22/-23 vvvf 202223d)( vvfvv,23212kTvm mkT22 kTvmvkTmvf2/22/32e24)( kTvmkTmvF2/2/32e2)( kTvmxxkTmvg2/2/12e2)( 0)(xvgxv46例例. 单位时间、碰到器壁单位面积分子数单位时间、碰到器

15、壁单位面积分子数 Adxtvdtvxd单位时间，碰到单位面单位时间，碰到单位面积，速度在区间积，速度在区间 dvx 的的分子数分子数xxxxxxvvvgnvAtvAtvnvgAtnxd)(ddd)dd()(dddd xxvxvAtvnnvgxd)dd(d)( 0d)(dxxxvvgvn 47 2 mkTn x2kTmvxvkTmvnxd22021 e 0d)(xxxvvgvn mkTv 8 用平均速率用平均速率 表示：表示：vn41 单位时间泄漏出单位面积小孔分子数与分子单位时间泄漏出单位面积小孔分子数与分子质量平方根成反比质量平方根成反比（富集（富集235U ，见教材，见教材P57）48zy

16、xvvvNvNvFdddd)(3 221mvk 分子平动动能：分子平动动能：2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证麦克斯韦速率分布的实验验证（自学，教材（自学，教材P5760 ）kTkkTm e223麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律（分子速度处于（分子速度处于 附近的概率密度）附近的概率密度）v49玻耳兹曼玻耳兹曼（1844-1906）2.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 能量均分定理能量均分定理 的证明（补充）的证明（补充）L. Boltzmann奥地利物理学家奥地利物理学家50一、重力场中分子数按高度的（等温）分布一、重力场中分子数按高度的（等温）分布kTpnn/0e mghp ,kTnppp

17、kTmgh000 ,e/恒温气压公式恒温气压公式（高度计原理高度计原理）：）： n00 nh Tpp0510dd ShnmgSp kTnmghpkThnnkTp dd1ddhkTmgnndd 两边积分，得两边积分，得证明：证明：平衡态平衡态不同高度处温度相同不同高度处温度相同nmghp ddkTmgnn/0e n0nh+dhh 0 p+dp S p m g T52 zzzyyyxxxddd的分子数（速度任意）：的分子数（速度任意）： 推广推广：温度温度T平衡态下，分子处于（平衡态下，分子处于（x, y, z）附近附近“位形空间位形空间 (configuration space)” 区域区域zy

18、xNrNkTpddded3 kTpnn/0e mghp ,p 其中其中 为该小区域内一个分子的势能。为该小区域内一个分子的势能。53 二、玻耳兹曼分布律二、玻耳兹曼分布律 描述分子描述分子（质量已知质量已知）状态的微观量为状态的微观量为Nivrii, 2, 1;, zzzyyyxxxddd位形空间区间位形空间区间zyxvvvzyxddddddd 对应的体积元对应的体积元（相空间体积元相空间体积元）为为 zzzyyyxxxvvvvvvvvvddd速度空间区间速度空间区间求分布在相空间体积元求分布在相空间体积元d 内的分子数。内的分子数。54相空间例：相空间例：双原子分子双原子分子相空间体积元为相

19、空间体积元为zyxdddd ddzyxvvvddd d ddvd2m1m vC（x,y,z）zyxvvvzyxddddddd 下面仍以下面仍以 为例讨论。为例讨论。 xyz C55中的分子数中的分子数 因因位形和速度互相独立位形和速度互相独立，则在，则在温度为温度为 T 的的平衡态下，相空间体积元平衡态下，相空间体积元zyxvvvzyxddddddd ded)(, kTvrpkNN deded)()(,kTkTvrpkpkNN占总分子数占总分子数 的百分比：的百分比：NvrN,d【思考思考】上式如何得到？上式如何得到？56玻耳兹曼分布律：玻耳兹曼分布律： 在温度为在温度为T的平衡态，系统的平衡

20、态，系统（气体、液体、气体、液体、固体固体）的粒子在某一状态区间的粒子在某一状态区间( (相空间体积元相空间体积元）中的粒子数，与该状态区间的一个粒子的能量中的粒子数，与该状态区间的一个粒子的能量 有关，而且与因子有关，而且与因子e- /kT 成正比。因子成正比。因子 e- /kT 称为称为玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子。 dedededed)()(,kTkTkTkTvrpkpkNN利用上式，可计算物理量的统计平均值。利用上式，可计算物理量的统计平均值。57 玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，它不仅适用于气体，也适用于由它不仅适用于气体，也适用于由相互作用相互作用比

21、较微弱比较微弱的分子所组成的其它体系的分子所组成的其它体系（近独（近独立子体系）。立子体系）。 教材教材P60倒数第倒数第5行：行：“.适用于任何系适用于任何系统统.”，提法不妥。，提法不妥。58例例. . 按量子理论，原子能级是分立的，按量子理论，原子能级是分立的，H原子原子， 112EnEn eV4 . 34112 EE）（基基态态能能量量 eV6 .131 En = 1,2,3,E2、 N2E1 、N1 基态基态室温室温 T = 300KkTEENN/ )(1212 e21181014. 4/1063. 1 e17039410 e原子处于基态的最多，处于激发态的极少。原子处于基态的最多，

22、处于激发态的极少。59例例. . 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 deded)()(,kTkTvrpkpkNNkTvmzyxkTmvvvNvNvF2/2/332e2dddd)( kTvmvkTmvNvNvf2/22/32e24dd)( 221mvk zyxvvvzyxddddddd ( (速率速率) )( (速度速度) )60 ）（只对空间NNNNvrv,33dd zyxkTkTzyxkTvvvzyxzyxvvvpkpkddddddedddeddde)( dedddeddd)()(kTkTzyxpkpkzyxvvv计算计算 zyxkTzyxkTvvvvvvkkddde

23、ddde 61 zyxkTvvvmzyxkTvvvvvvzyxkdddeddde2)(222 mkTvvxkTmvxkTmvxx 2de2de02222 232ddde mkTvvvzyxkTk 计算：计算：因此，得因此，得62 zyxkTzyxkTvvvvvvvNNkkdddeddded3 kTvmzyxkTmvvvNvNvF2/2/332e2dddd)( 即得麦克斯韦速度分布律：即得麦克斯韦速度分布律：zyxkTvvvkTmkddde223 63速度分布律速度分布律速率分布律：速率分布律：vvvNFNvd4)(d2 zyxvvvNvNvFdddd)(3 kTvmvvkTmvFvvNNvf2

24、/22322e24)(4dd)( xvyvzvvN3dzyxvvvdddvyvxvzvvdvNdvzyxvvv,64 三、能量均分定理的证明（补充）三、能量均分定理的证明（补充） 在温度为在温度为T的平衡态下，用玻耳兹曼分布对的平衡态下，用玻耳兹曼分布对分子能量表达式中任何一个平方项作统计平均，分子能量表达式中任何一个平方项作统计平均，平均值都等于平均值都等于 。kT21NNvr ,d）（平平方方项项kT21 dede)()(kTkTpkpk）（平平方方项项平方项的平均值平方项的平均值即即651、平动动能、平动动能221xxvm dede)()(kTkTxxpkpk 21de02 xxx210

25、2de2 xxzyxvvvzyxddddddd kTmkTmm22423 kT21 xkTxkTxvvxxdede 662、转动动能、转动动能221 Ir dede kTkTrrr dddddddddzyxvvvzyx dede)()(kTkTrrpkpkkTkTIkTIm2122423 673、振动势能、振动势能221 pkTkTkTmkTkTpkTkTpppppkpk21224dededede23)()( 682.7 实际气体等温线实际气体等温线 Vm(10-3 L/mol)p(atm) 临界点临界点临界等温线临界等温线饱和蒸汽压饱和蒸汽压临界温度临界温度基本概念：基本概念：临界态临界态2

26、CO692.8 范德瓦耳斯范德瓦耳斯( (Van der Waals) )方程方程 对实际气体，应考虑对实际气体，应考虑分子间相互作用力。分子间相互作用力。对对理想气体状态方程作理想气体状态方程作体积修正、引力修正。体积修正、引力修正。 1873年，范德瓦耳斯（荷兰人，获年，范德瓦耳斯（荷兰人，获1910 诺诺贝尔物理奖），在博士论文贝尔物理奖），在博士论文“论气态和液态论气态和液态的连续性的连续性”中，考虑了分子体积和分子间引中，考虑了分子体积和分子间引力的影响，导出了一个真实气体的物态方力的影响，导出了一个真实气体的物态方程程范德瓦耳斯方程。范德瓦耳斯方程。70s 分子有效作用距离分子有效

27、作用距离（ 102d ）sr0r合力合力斥力斥力引力引力dfO10 -9md 分子有效直径分子有效直径（ 10-10m） 一、引力刚球模型一、引力刚球模型简化简化dsrfOr0 平衡距离平衡距离（ d ） 引力刚球模型引力刚球模型71引力刚球模型：引力刚球模型：1、分子是直径为、分子是直径为d 的的刚性球。刚性球。2、在、在 d s 范围内，分子间有范围内，分子间有引力。引力。v 分子能自由到达空间的体积（容器容积）分子能自由到达空间的体积（容器容积）p不考虑分子间作用力时气体对器壁的压强不考虑分子间作用力时气体对器壁的压强二、范德瓦耳斯方程二、范德瓦耳斯方程vRTp 设气体为设气体为1 mo

28、l。 对理想气体对理想气体721、体积修正、体积修正设分子能自由到达空间的体积为（设分子能自由到达空间的体积为（vb）b 分子体积（斥力）修正量。则分子体积（斥力）修正量。则bvRTp 2、引力修正、引力修正s2s0 ffbvRTp 理想气体压强理想气体压强实测压强实测压强intpbvRTp 设设intp内压强，引力。内压强，引力。7322int1vnp sn n2intvap 设设a 分子间引力修正量分子间引力修正量 p 实测压强，实测压强，v 1 mol 气体分子自由活动空气体分子自由活动空间的体积间的体积（容器容积容器容积）。a 引力修正，引力修正，b体体积修正。积修正。a、b可由实验定

29、出。可由实验定出。RTbvvap )(2范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程（ 1 mol 气体气体）:74例例. 计算计算1mol范氏气体内能范氏气体内能)(2),(vERTivTE v, pintdvvavvavpvEvv dd)(2int，引力做功，势能减小。引力做功，势能减小。vaRTivTE 2),(计算势能，设计算势能，设v为为势能零点。势能零点。引力刚球模型引力刚球模型势能势能动能动能？分子间引力分子间引力减小内能。减小内能。75v三、三、 范氏气体等温线范氏气体等温线AB段：段：汽态汽态BE段：段：过饱和蒸汽过饱和蒸汽EF段：段：实际不存在实际不存在DC段：段：液态液态CF段：段： 过热液体过热液体（云室云室）（气泡室气泡室）不不稳稳定定态态BC段：段： 饱和蒸汽与液体饱和蒸汽与液体的共存态的共存态RTbvvap )(276 范德瓦耳斯方程能较好地给出在较大压强范德瓦耳斯方程能较好地给出在较大压强范围内实际气体状态的变化关系，而且推广范围内实际气体状态的变化关系，而且推广后可以近似地应