第8章-成本最小化与成本曲线

1、第8章生产者行为：供给和决策一、本章要点概念（注：*表示中级水平的微观经济学概念，在原教材中没有讲述，但将在补充内容中加以介绍）总成本；固定成本；可变成本；平均成本；平均固定成本；平均可变成本；边际成本；机会成本；短期供给曲线；长期行业供给曲线；外部经济；成本函数*；生产者剩余*；经济租金*；条件要素需求*；要素需求*原理（注：序号m.n,m代表第几节，n代表原理的序号）1.1短期里，成本可区分为固定成本和可变成本。固定成本不随产量的变化而变化，而可变成本随产量变化而变化。总成本是固定成本和可变成本的和。1.2平均成本、平均可变成本以及边际成本都随产量先下降后上升。边际成本曲线依次穿过平均可变

2、成本和平均成本曲线的最低点。2.1短期里，当某种产品的市场价格P低于企业生产该产品的最低平均成本时，企业将停止营业。停止营业点（短期平均可变成本曲线与短期边际成本曲线的交点）右边部分的边际成本曲线就是短期供给曲线。3.1行业长期供给曲线是在供给与需求共同发生变化的过程中形成的。如果外部经济效应占主导，则长期行业供给曲线向右下倾斜。如果外部经济效应不占主导，则行业长期供给曲线向右上倾斜。二、补充材料1成本最小化与成本函数假设存在两种生产要素x1和x2，价格分别为w1和w2。对于既定的产量y，厂商希望找到一个最经济的途径去生产，即成本最小化。这个问题可以表述为：minW1X1W2X2X1,X2使得

3、f（xx2）=y求解上述最小化问题，并且用入表示约束条件的拉格朗日乘子。我们得到它的一阶条件IW1_，fx=0W2-f>X2=0f（X1,X2）=y如果知道生产函数的具体形式，那么我们就能够解出要素需求X和X,它们是关于要12?素价格W|、w2和产量y的函数。我们把这种要素选择记为X1=X1（w1,w2,y）和x：=X2（w,W2,y），这就是所谓的有条件的要素需求或派生的要素需求。它度量的是，在厂商生产某个既定产量y的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素使用量之间的关系。解出要素需求X；和X；后，我们就可以得到厂商的成本函数c（w1,w2,y）=WjX+w2x2二w1x1（wuw2,y

4、）w2x2（w-!,w2,y）它表示在一定的要素价格水平下，厂商生产某个产量所需要的最低成本。根据以前的定义，我们知道MPx!=fx,MP%?二fx2再根据上述最优化问题的一阶条件可以得出w,W2MPx,_MPx2一与利润最大化的条件对比，我们发现成本最小化是利润最大化的必要条件。直观上说，厂商总是希望在任何产量水平上都尽可能地压缩成本。如果没有达到成本最小化，那么厂商可以在原来的产量水平上，通过压缩成本来增加利润。上式中的为成本最小化时的边际成本，请读者思考一下为什么。答案请参考补充习题6的答案。从图形上看，成本最小化是既定产量水平的等产量线与最低的等成本线的切点（当通常情况下出现非边界解时

5、）。2总成本、平均成本以及边际成本的关系在总成本、平均成本以及边际成本之间也存在着类似于上一章的总产量、平均产量以及边际产量之间的关系，我们用图8.1来说明这种关系。注意，边际成本MC事实上就是总成本曲线的斜率，当产量在0到Qi之间时，边际成本是递减的，对应于总成本曲线的斜率趋于平缓，在Qi处达到斜率的最小值，即MC曲线的最低点，继续增加产量将使得边际成本递增，TC曲线变得陡峭，相应地，MC曲线开始上升。而平均可变成本AVC事实上是VC曲线上的点与原点连线的斜率，在Q?处取得最小值（此时与原点连线恰与VC曲线相切）。在产量为0到Q2之间时，VC曲线上的点与原点连线的斜率是逐渐减小的，因此AVC

6、曲线在这一段是下降的。同时，在这一段产量上VC曲线任意一点的斜率是小于它与原点连线的斜率的，因此MC曲线位于AVC曲线下方。而当产量大于Q2以后，情况正好相反，因此AVC曲线开始上升，而MC曲线也穿过AVC曲线位于其上方。AC曲线的情况也类似。上面的分析完全是基于经典的图形关系，但为什么会有这种图形关系，或者说这种形式化分析背后的经济学含义却是读者应该更为关心的。其中，特别需要的是，为什么VC曲线的形状是像图中这样的？这条曲线的形状定了，其他曲线的形状就相应定了。“三个和尚”的故事是一个非常好的帮助读者理解VC曲线的素材。在这个故事里，庙和井都是固定成本，但和尚的人数（和努力投入）是可变成本。

7、当和尚的人数从1增加到2时，两个人之间出现了分工合作，这就是所谓的“一个和尚担水吃，两个和尚挑水吃”。可以想象，当挑水数量从一人用水量到二人用水量的增加，边际（努力投入）成本是递减的。当和尚人数从2增加到3时，他们之间出现了相互之间的“搭便车”，都不愿意去挑水，反而“三个和尚没水吃”。同样可以想象，如果要克服这一问题，就需要额外增加几个和尚之间的谈判成本、制度成本、监督成本等等。于是，随着挑水数量从二人用水量到三人用水量的增加，边际（努力投入）成本是递增的。C3短期成本与长期成本在分析生产者行为时，“长期”与“短期”的区别就在于生产规模是否可以调整。在短期分析中，生产要素有固定与可变之分，但在

8、长期分析中所有的生产要素都是可变的，企业的生产规模是可以调整的。因此，厂商的短期成本SC可以表示为产量Q以及与产量无关的固定投入K的函数，SC二CQ,K，而长期成本LC则完全由产量Q来决定，因为在短期看来固定不变的投入在长期也可以根据产量来做出调整：LC=C(Q,K”(Q)。长期来看，厂商在生产一定产量的产品时会选择最合适的生产规模，即该产量所对应的短期平均生产成本最小，因此在图形上长期平均成本曲线LAC就是各短期平均成本曲线的下包络线，如图8.2(a)所示。注意：SAC曲线与LAC曲线的切点一般不是SAC曲线的最低点，对应于任意一条SAC曲线最低点处产量的长期成本由LAC曲线来决定，因为厂商

9、按长期最优规模来生产不仅可以获得产量调整带来的成本下降，还有规模调整上的获益，因此长期成本更低。不过，长期与短期平均成本曲线之间的包络关系并不适用于边际成本曲线，如图8.2(b)所示。值得注意的是，SMC曲线与LAC曲线的切点处，短期边际成本与长期边际成本是相等的。SMCSACLMC4完全竞争市场上厂商的最优决策厂商的利润是其总收益与总成本之差，因此其最优决策问题可以写成:max-Q二RQ-CQ=PQQ-CQQ其中，R表示总收益，是产量和价格的乘积，C仍然表示成本，Q为最优生产决策的控制变量。厂商的最优产量Q*应该满足边际收益与边际成本相等的一阶条件：MCQ：=MRQ在完全竞争市场上，厂商是产

10、品价格的接收者，产品价格与单个厂商的产量无关，PQ=P,d(PQ)d(PQ)dQ所以在完全竞争市场上厂商的产量决策Q*应该满足:Q*如图8.3所示，给定市场价格P,则MC曲线与其交点就确定了企业的最优产量Q*。此时企业的利润二二PQ”-CQ二PQ”-ACQQ，如果PACQ，那么企业的利润即为图中的阴影部分。当PACQ“时，企业将亏损，但是只要PAVCQ”，企业就应该继续运作下去，以弥补固定成本的损失，只有当P：AVCQ时，企业才应该退出市场。这也就意味着，位于AVC曲线上方的MC曲线，就是厂商短期内的供给曲线。*OQQ图8.35行业供给与行业均衡先考虑短期的情形。假设某个行业包含n家厂商。令S

11、j(p)代表厂商i的供给曲线，那么，行业供给曲线或市场供给曲线就是ns(p)八Si(p)i4它是所有厂商供给曲线的横向加总，或者说，行业供给是在某一价格水平上，所有企业愿意而且能够提供的产量总和。表现在图像上，我们把每一价格水平上的每家厂商供给的数量相加，从而得到一条水平加总的供给曲线，如下图图8.4而短期的行业均衡则是行业供给曲线与市场需求曲线相交的点来决定的。行业均衡时有一个均衡的市场价格，每个厂商按这个价格来决定自己是否生产以及生产多少。长期的行业均衡和行业供给的讨论要稍微复杂一些。和短期一样，长期的行业供给是厂商供给的加总。但是，如果一个完全竞争行业同时又是没有进入壁垒的，那么我们可以

12、先不考虑长期行业供给而求出长期行业均衡，然后在此基础上得出长期行业供给。这里，我们假定生产技术具有规模报酬不变的性质，且没有外部经济效应。基于以上的假设前提下，长期行业均衡价格是由行业的最低平均成本决定的。为什么呢？首先，一个能够自由进出的行业在长期均衡时利润为零，如果不是这样，就会有新的厂商进入（正利润）或退出（负利润）。所以均衡时，价格一定等于平均成本。然后，从完全竞争角度考虑，每个厂商面临的剩余需求为水平什么意思？你是想说，由于每个厂商只占有有一小部分，所以，其面临的需求曲线是水平的？。所以，加上零利润的要求，由长期边际收益（此时为价格）等于长期边际成本决定的均衡解，必定满足价格、长期平

13、均成本、长期边际成本相等，即P二LAC二LMC而我们知道LAC=LMC处正是LAC的最低点。若该行业厂商都是同质的，那么这个均衡价格则是行业的均衡价格。而此时，无论市场需求如何，行业的所有厂商都将在最低平均成本水平上进行生产，行业最终提供多少产量由市场需求决定。由此可以看出，行业的长期供给曲线为P=minLAC的那条直线，而行业均衡是由水平的行业供给和向右下倾斜的需求曲线的交点决定，如下图图8.56生产者剩余与消费者剩余类似，我们可以如图8.6所示的阴影部分那样引入生产者剩余PS,更明确地，生产者剩余可以写成：PS=PQ-VCQ显然，生产者剩余与利润满足如下关系：二=PSFCQ这里最好解释一下

14、为什么，我觉得并不“显然”图8.67不变要素和经济租金前面我们都没有考察某种要素总存量有限的情况。现在我们考虑这样一种情况，就是生产某种产品所必需的某种要素的总量有限。之前我们说过，长期内单个厂商可以购买或出售不变要素。但是从经济的全局看，长期内某些生产要素的总供给量也是有限的，如土地、矿产等。那么，是否在引入了长期的不变要素之后，长期零利润的假设就不成立了呢？我们可能很容易走入这样一个误区：如果存在长期的不变要素，那么行业的厂商数量受到限制，以致厂商不能自由进入该行业，那么，该行业在长期内获得正的利润似乎是有可能的，因为没有经济力量使得利润为零。这种观点的错误之处在于，长期的不变要素并没有限

15、制厂商进入行业的可能性。只要市场是竞争的，试图进入该行业的厂商可以通过提供一个较高的不变要素价格，来获取这种不变要素，从而进入该行业。那么，只要这个行业有正的利润，就会有竞争者抬高要素价格进入该行业，直到不变要素的价格高到使正的利润消除为止。有时我们观察到的某些竞争行业的个别生产者有正的利润，很可能是因为这些生产者自己就是不变要素的所有者，在计算成本时没有考虑要素租金而已。比如，一个农场主经营自己的土地，在扣除土地之外的所有投入的成本后，还有n的年利润。那么这块土地在自由市场上的价格将会是n每年，因为会有农业经营者愿意付这么高的价格进行农业生产。经济租金往往是和不变要素相关联的，它是指支付给要

16、素所有者的、超过诱导其提供该要素的最低价格的那部分报酬。引用上面土地的例子，如果土地所有者不出租土地，自己也不经营，那么他从这块土地上获得的收益为零，只要有人付租金，他都会出租他的土地。于是我们说诱导该土地所有者供给土地要素的最低价格是零，那么，全部地租都是经济租金。在中国，由于城镇土地是由国家所有的，因此，这部分地租实际上被政府得到了，其主要形式就是以土地批租的形式将土地租金转化为政府财政收入。竞争市场上，经济租金的多少是由用这种不变要素生产的商品的市场价格决定的，而不是反过来，租金决定商品价格。还是用农业的例子，地租是由单位土地上生产的农产品市场价格总和，扣除生产这些农产品的其他投入的价值

17、后得到的。从生产者剩余角度考虑，竞争市场上，生产者剩余正好是生产某种产品所使用的全部不变要素的经济租金的总和。三、新增习题1关于成本的说法，下列选项中错误的是（）A具有规模报酬不变生产函数的厂商，其长期平均成本不随产量变化而变化;当然，现实情况可能偏离这个假设，比如说存在着行政性垄断的情形。B平均成本始终大于或等于平均可变成本；C边际成本下降时，平均成本不可能上升；D平均总成本始终大于或等于平均可变成本2、关于供给函数的说法，以下正确的是（）A长期边际成本最终会上升的原因是随着产量的增加，生产最终将进入规模报酬递减的阶段；B厂商的短期供给曲线就是他的边际成本曲线；C厂商的短期供给曲线是他的边际

18、成本曲线最低点右边的部分；D除完全竞争之外，处于其它市场结构的厂商也有供给曲线。这为什么是错的？至少不严格是错的。|3、短期平均成本曲线为U形的原因与（）A规模报酬有关B外部经济与不经济有关C要素的边际生产率有关D不变成本与可变成本所占比重有关4、以下哪一个不是经济租金的例子（）A农业生产者以600元/亩年的价格向土地所有者租用耕地；B艺术品拍卖市场上，某收藏家以120万元的价格拍得一幅古画；C政府以高于其开发成本1000万的价格征用某项专利技术；D某企业以1.5亿的价格拍得某矿山的开采权。5、关于成本最小化的说法，以下错误的是（）A成本最小化是利润最大化的必要条件；B成本最小化是指在既定产量

19、水平上选择合适的投入组合来使总成本最小；C生产某一产量的短期最小成本不低于生产该产量的长期最小成本；D成本最小化的那一点上，要素的边际生产率都相等。6、已知生产函数为11f(X1,X2)=2lnx1才nx2，要素价格为,w,求：（1）生产产量y的条件要素需求（2）成本函数（3）市场价格为p时，厂商的产量和要素需求（4）验证第一个问题中的拉格朗日乘子等于边际成本。7、假定厂商生产函数为柯布一道格拉斯生产函数，即v与w的任意K和（其中:J0）。厂商可以在竞争性投入品市场购买租金价格分别为L。（1）证明成本最小化要求vK:二wL；并说明该厂商的生产扩张线的形状（2）证明成本最小化时，总成本可以表示为

20、关于q,v与w的函数：TC二BqjWF:这里，B是依赖于:-,-的常量。（3）证明如果、.：I-:1，则TC与q成比例。118、对于生产函数y二K4L，资本的租赁价格为1元，劳动的工资为1元，除资本和劳动外的固定投入为1000元。（1）写出成本曲线。（2）计算AC，AVC，AFC，MC。（3）计算最小平均成本、最小平均可变成本时的产量。9、一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是q=jKjLi（i=1,2）。每个工厂各自拥有的资本存量却不相同。工厂1拥有K1=25，工厂2拥有K2=100。K与L的租金价格都为1。（1）如果该企业家试图使短

21、期生产总成本最小，则产出应如何在两个厂之间分配？（2）给定两个厂之间的最优产量分配，计算短期总成本，并求出产量为100、125与200时的边际成本；（3）在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本和边际成本曲线；（4）如果出现规模报酬递减，则长期又该如何分配？10、在一个出租车市场上，每趟车每趟活儿的经营成本（MC）为5元，每天可拉20趟活儿，对出租车的需求函数为Dp=1200-20p。（1）求每趟活儿的均衡价格、出租车次和出租车个数。（2）需求函数改变为：D（p）=1220-20p，如果政府给原有的司机每人发一个经营牌照，出租车个数不变，则均衡价格和利润为多少？（3）设一年

22、出租365天，r=10%，经营牌照价值多少钱？出租车所有者们愿意出多少钱阻止多发一个经营牌照？四、习题答案1、C。考虑成本函数不可导时可能出现的情况。如：TC(Q)二，当OQ：12-Q1,当仁Q：23Q-3,当2乞Q：322Q-3Q6,当Q_32Q-Q22可以验证，在2<Q<3时，MC单减而AC先单增后单减ACB此处艺术品并非生产要素。D2、3、4、5、6解：(1)厂商的最优化问题为:minW1X1W2X2X1宀使得11f(x-i,x2)InxInx2=y用拉格朗日法求解，有1x；=(些feyw11*w1行yX2二()ew2即为条件要素需求；其中二2w!w2ey(2)成本函数为11

23、*"2"2yc(y)二w1x1w2x2=2w)2w21e(3)此时，厂商的最优化问题为：maxpy一c(y)yp=MC(y)=2wfw2ey从而从而11y=InpInwInw2In222要素需求为要素需求为为p，X22w12w2(4) 由前面的运算过程知=2wiW2e，=MC(y)成立。7证明：(1)厂商的成本最小化问题为mmvKwLs.t.q*L：建立拉格朗日函数(v,w,)=vKwL(q-K:L')一阶条件为:V-4。:KK:LL前2个式子消去有*WL生产扩张线是指在技术水平和要素价格不变的条件下，由投入总成本的变化而引起的最优要其生产扩张线是一条过原点的射线。

24、其生产扩张线是一条过原点的射线。素比例变动的轨迹。由上式看出，本题所给的生产函数,(2)由联立，可求出K,L带入目标函数，有1壮TC=Bqg侶其中B=-:=。(3)如果:-=1，那么总成本的表达式就变为TC=Bv：w：q，即TC和q成比例。8解：(1)根据上一题结论，将各个系数具体值代入可得成本函数为C(y)=2y21000(2)AC=2y1000MC=C(y)=4yyyAFC丄1000y(3)min丿ACC(y)即:y=105minAC二405即:minAVC=minAVC=09解：(1)短期内，每个工厂的固定投入的数量是确定的，所以他们的生产函数就变为:q=5.L1，q2-10L2于是两个

25、厂各自的短期成本函数为：2SIC1杆25盒STC2(q)=1002q100这样，企业的成本最小化问题就是：minSTG(q)+STC2(Q2)q1,q2s.t.q=q1q2解这个最优化问题，将其一阶条件整理得：鱼=丄q24即产量在两个工厂间的分配比例是1:4。(2)由(1)知:q=0.2q，q2=0.8q，于是STC=STG(q)+STG(q2)=STG(0.2q)+STG(0.8q)2=125125短期平均成本函数为：qq125边际成本函数为:SMC空125所以，q=100时,STC=205,SATC=2.05,SAC=1.6;当q=125时,STC=250,SATC=2,SMC=2;当q=200时，STC=445,SATC=2.25,SMC=3.2。(3) 长期内，由于两个工厂的生产函数相同，所以产量如何在两个厂之间分配不影响总成本。此时，厂商的成本最小化问题为：minKLK,L=.KL该问题的一阶条件为：K,L22于是：TC=qLATC=LMC