第一章常用逻辑用语

1、常用逻辑用语技巧点拨1怎样解逻辑用语问题1. 利用集合理清关系充分（必要）条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点， 将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本节使用 集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型解释 如下： A是B的充分条件，即 A? B. A是B的必要条件，即 B? A. A是B的充要条件，即A= B.A是B的既不充分也不必要条件,即AA B = ?或A、B既有公共元素也有非公共元素.（填“充例 1 设集合 S= 0, a , T =x Z|x22,则“ a= 1” 是“ S? T” 的条

2、件.分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）解析 T =x Z|x2 0，与命题 q：“存在 x R, x2 + 2ax+ 2+ a =0”都是真命题，则实数a的取值范围为.已知命题p: “存在x 1,2, x2 a0”与命题q： “存在x R, x2 + 2ax+ 2+ a = 0”都 是真命题，则实数 a的取值范围为 .解析 将命题p转化为“当x 1,2时，(x2a)min0” ，即 1 a0,即卩 aw 1.命题q：即方程有解，= (2a)2 4 X (2 + a) 0,解得a 2.综上所述：a 0,即4 a 0,即a4.命题q同(1) 综上所述：a w 1 或 2

3、w a0,例3设p： 2x y 8w 0,q : x2 + y2 w r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要条件，求 r的x 2y+ 6 0,取值范围.分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“ p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B,则可由A? rB出发解题.解 设p、q对应的集合分别为 A、B,将本题背景放到直角坐标系中，则点集 A表示平面区域，点集?rB表示到原点距离大于 r的点的集合，也即是圆x2 + y2 = r2外的点的集合. A? rB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r,直线3x+ 4y12= 0上的点到原点的最近距离大于等于r, 原点0到直线3x + 4

4、y 12 = 0 r的取值范围为12的距离12| d =32+ 42点评 若直接解的话，q是？p的充分不必要条件即为x2 + y2w r2(r0)在p:3x+ 4y 120,2x y 8W 0,所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充X 2y + 6 0分不必要条件”等价转化为“p是？q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方技巧点拨2辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别.1 .否命题与命题的否定的概念设命题“若A,则B”为原命题，那么“若?A

5、，则？ B”为原命题的否命题，“若A,则？ B”为原命题的否定所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新 命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论“命题的否定”是对原命题结论的 全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例1写出下列命题的否命题及否定：(1) 若凶+ |y|= 0,则x, y全为0；(2) 函数y= x+ b的值随x的增加而增加.分析 问题直接依据格式写出相应的命题；问题先改写成“若A,则B”的形式，然后 再写出相应的命题解 原命题的条件为|x|+ |y|= 0”，结论为“ x, y全为0”.写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以

6、原命题的否命题为：若|x|+ |y|M 0，则x, y不全为 0.写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为：若|x|+ |y|= 0，则x, y不全为0.(2)原命题可以改写为：若 x增加，则函数y= x+ b的值也随之增加.否命题为：若x不增加，则函数y= x+ b的值也不增加；命题的否定为：若 x增加，则函数y= x + b的值不增加.点评 如果所给命题是 “若A，贝U B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题.如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A,则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题.2. 否命题与命题的否定的真假 从命题的真假

7、上看,原命题与其否命题的真假没有必然的关系,原命题为真,其否命题可能 为真,也可能为假；原命题为假,其否命题可能为真,也可能为假.但是原命题与其否定的 真假必相反,原命题为真,则其否定为假；原命题为假,则其否定为真.这也可以作为检验 写出的命题是否正确的标准.例 2 写出下列命题的否命题与命题的否定,并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若 x24，则2x0 且 n0,则 m+ n0.分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.解 否命题：“若x24,则x2或x 2”.命题的否定：“若x22或x0且n0,则m+ nW0”.由不等式的性质可以知道,原命

8、题为真,否命题为假,命题的否定为假技巧点拨3判断条件四策略1 .应用定义如果p? q,那么称p是q的充分条件，同时称 q是p的必要条件判断时的关键是分清条件与结论.例 1 设集合 M = x|x2 , P = x|x3，那么“ x M 或 x P” 是“ x P n M”的条件.解析条件p: x M或x P；结论q： x Pn M.若x M，贝U x不一定属于 P,即x不一定属于Pn M ,所以p，q；若x P n M，则x M且x P,所以q? p.综上知，“x M或x P”是“x Pn M”的必要不充分条件.答案必要不充分2. 利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?

9、 q, q? r，贝U p? r.例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的条件.解析 依题意，有A?B? C?D且A B? CD? /D ,由命题的传递性可知 D? A,但A D 于是A是D的必要不充分条件.答案必要不充分3. 利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则若 A? B，则p是q的充分条件；若 B? A,则p 是q的必要条件；若 A B,则p是q的充分不必要条件；若 B A,则p是q的必要不 充分条件；若 A = B,则p是q的充要条件.例3 已知p： x2

10、 8x 20W 0, q： x2 2x+ 1 - m20)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是.解析 设p、q分别对应集合 P、Q,则 P= x| 2 x 10, Q= x|1 mW x 1 + m,由题意知，p? q,但q p故P Q,所以 10,或1 + m10,解得m9.即m的取值范围是9,+ s).答案 9 ,+s )4. 等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p推q较困难时，可利用等价转化，先判断由非q推非p,从而得到p? q.例4已知p： x+ yz 2, q： x, y不都是1，贝U p是q的条件.解析 因为 p: x+ yz 2, q： xz 1 或 yM

11、 1,所以？p: x+ y= 2, ? q : x= 1 且 y= 1.因为？ p ? q,但？ q? ? p,所以？ q是？ p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.答案充分不必要4例析逻辑用语中的常见误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假.(1) x+ 20;2x + 20 ;(3) A A B= A U B;(4) A? AU B.错解(1)(2)(3)(4)都不是命题.剖析(1)中含有未知数x,且x不定，所以x+ 2的值也不定，故无法判断 x + 20是否成立,不能判断其真假，故(1)不是命题；(2) x虽为未知数，但 x2 0

12、,所以x2+ 2 2,故可判断x2 + 20成立，故(2)为真命题.(3) 若 A = B,贝U A A B = AU B= A = B;若 A B，贝y An B = A A U B= B.由于A, B的关系未知，所以不能判断其真假，故不是命题.（4）A为AU B的子集，故 A? AU B成立，故（4）为真命题.正解（2）（4）是命题，且都为真命题.误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：（1）若 a= 0,则 ab= 0; （2）若 a2b2，则 ab.错解（1）因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.剖析否命题的真假与原命题

13、的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断.正解（1）否命题为：若a丰0，则abz 0，是假命题；否命题为：若a2w b2,则aw b，是假命题.误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x 30成立的一个充分不必要条件是（）A. x3B. x4C . x2D . x 1,2,3错解 由不等式x 30成立，得x3，显然x3? x2，又x2x3，因此选 C.剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q? p，p q.本题要求使不等式 x 30成立的一个充分不必要条件，又x4? x 30，而x 30 x4，所以使不等式 x 30成立的一个充分不必要条件为 x4.正解

14、 B误区4考虑问题不周例4如果a，b，c R，那么“ b24ac”是“方程ax2 + bx+ c= 0有两个不等实根”的（）A .充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D .既不充分也不必要条件错解 判别式= b2-4ac0,即方程ax2 + bx+ c= 0有两个不等实根； 若方程ax2 + bx + c= 0 有两个不等实根，则判别式 A= b2 4ac0,即b24ac.综上可知“4ac”是“方程ax2 + bx + c = 0有两个不等实根”的充要条件，选 C.剖析 判别式A= b2 4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断对于方程ax2 +bx+ c= 0,当a = 0时

15、，原方程为一次方程bx+ c= 0(b 0)，一次方程不存在判别式，所以当b24ac时不能推出方程 ax2 + bx+ c= 0有两个不等实根；若方程ax2 + bx+ c= 0有两个不等实 根，则它的判别式A= b2 4ac0,即b24ac.由上可知，“b24ac”是“方程ax2 + bx + c= 0有两个不等实根”的必要不充分条件.正解 B误区 5 用 “ 且”“ 或”联结命题时只联结条件或结论例 5(1)已知 p:方程(x 11)(x 2)= 0 的根是 x= 11; q :方程(x 11)(x 2) = 0 的根是 x = 2,试写出“ pV q”.(2)p :四条边相等的四边形是正

16、方形；q :四个角相等的四边形是正方形，试写出“pA q”.错解 (1)pV q：方程(x 11)(x 2) = 0 的根是 x= 11 或 x = 2.(2)p A q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.剖析(1)(2)两题中p, q都是假命题，所以 “ p V q” , “ pA q”也都应是假命题.而上述解 答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是:(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件.正解 (1)pV q：方程(x 11)(x 2) = 0 的根是 x= 11 或方程(x 11)(x 2) = 0 的根是 x= 2.(2)p A q：四条边相等的四边形是正方

17、形且四个角相等的四边形是正方形.误区 6 不能正确否定结论例6 p :方程x2 5x+ 6= 0有两个相等的实数根，试写出“？p”.错解 ？p :方程x2 5x+ 6 = 0有两个不相等的实数根.剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“？ p”应否定“有”，而不能否定“相等 ”.正解 ？p :方程x2 5x+ 6 = 0没有两个相等的实数根.误区 7 对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p:存在一个实数xo，使得x0- xo- 2 0.错解二 ？p：对任意的实数x,都有x2-x- 2 0.误区8忽略了隐含的量词例8写出下列命题的否定：(1) 不相交的两条直线是平行直线；奇函数的

18、图象关于 y轴对称.错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；奇函数的图象不关于 y轴对称.剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意.正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2) 存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.技巧点拨5解“逻辑”问题的三意识1 .转化意识(1)由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.例 1 证明：若 a2- b2+ 2a- 4b 3工 0,贝U a-1.分析 本题直接证明原命题是真命题

19、，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.证明 命题“若a2- b2+ 2a 4b 3丰0,贝U a b* 1”的逆否命题是 “a b= 1,贝U a2 b2 +2 22a一 4b一 3= 0”.由 a一 b= 1 得 a b + 2a 4b 3= (a + b)(a b) + 2(a b) 2b 3= a b则a b工1.例2 命题p：实数x满足x2 4ax+ 3a20，其中a0,命题q：实数x满足x2 x 60,且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.解 设 A= xlx2 4ax+ 3a20(a0)=x|3axa,2 2