最短路径问题--说课

1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习: :最短路径问题最短路径问题说说课课流流程程1 1、内容：、内容：本节课所选用的教材为人教版义本节课所选用的教材为人教版义务教育课程标准八年级上册教科书。第务教育课程标准八年级上册教科书。第8585至至8787页利用页利用轴对称轴对称和和平移平移研究最短路径问题。研究最短路径问题。2 2、教材所处的地位和作用：、教材所处的地位和作用： 最短路径问题在现实生活中经常遇到，最短路径问题在现实生活中经常遇到，是中考的考点，也是数学分支是中考的考点，也是数学分支图论研究图论研究的一个经典算法问题的一个经典算法问题, ,对培养学生的化归思想对培养学生的化

2、归思想和应用能力有一定的意义。和应用能力有一定的意义。1、认知基础：、认知基础：学生已经研究过一些简单的最短路径学生已经研究过一些简单的最短路径问题以及有关平移的基本知识，也掌握了关于某直线问题以及有关平移的基本知识，也掌握了关于某直线对称的点的作图，所有这些内容构成了本节课的认知对称的点的作图，所有这些内容构成了本节课的认知基础。基础。2、活动经验：、活动经验：学生已经有了图形变换以及模型构建学生已经有了图形变换以及模型构建的意识，具备了初步的观察、分析、归纳、猜想和解的意识，具备了初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力。决问题的能力。3、预设困难：、预设困难：作图时作图时为什么要转化

3、，如何转化，一为什么要转化，如何转化，一些学生在理解和操作上存在困难。些学生在理解和操作上存在困难。 证明时证明时需要在直线需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于所求作的线段和，上任取一点，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到，不会用。这种思路、方法，一些学生想不到，不会用。（1）知识目标：）知识目标：能利用能利用轴对称、平移轴对称、平移变化解决简单的变化解决简单的最短路径问题。最短路径问题。（2）能力目标：）能力目标：将实际问题中的将实际问题中的“地点地点”“”“河河”“”“桥桥”抽象为数学中的抽象为数学中的“点点”“”“线线”“”“线段线段”，使实际问题数学，

4、使实际问题数学化。化。（3）情感目标：）情感目标：感受数学在实际生活中的应用，提高感受数学在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。学生学习数学的兴趣。教学重点：教学重点：将实际问题转化为数学问题，运用轴对称和将实际问题转化为数学问题，运用轴对称和平移的方法找出问题中的最短路径。平移的方法找出问题中的最短路径。教学难点：教学难点：确定最短路径的确定最短路径的作图作图方法及方法及证明证明作法的合理作法的合理性。性。 教法：教法：采用以采用以观察法观察法、发现法发现法、探究法探究法为主的教学方法进行教学，以为主的教学方法进行教学，以问题问题为载体，为载体，设疑与点拨，引导与启发相结合。设疑与点拨

5、，引导与启发相结合。 学法：学法：鼓励学生采用鼓励学生采用自主探究、合作交自主探究、合作交流流的研讨式学习方式，在学生动手、动脑、的研讨式学习方式，在学生动手、动脑、动口中发现问题，解决问题，真正体现学生动口中发现问题，解决问题，真正体现学生的主体地位。的主体地位。一：以史创境，引趣入题一：以史创境，引趣入题二：问题引领，层层递进二：问题引领，层层递进四：触类旁通，合作探究四：触类旁通，合作探究六：小结反思，作业延伸六：小结反思，作业延伸五：变式训练五：变式训练，体验成功，体验成功三：学以致用，链接中考三：学以致用，链接中考一、一、“将军饮马将军饮马”背景：背景：相传，古希腊亚历相传，古希腊亚

6、历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题. 二、二、“将军饮马将军饮马”问题问题：（如图）（如图）将军从将军从图中的图中的 A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到饮马，然后到 B地。怎样选择饮马地点，才能使路程最短？地。怎样选择饮马地点，才能使路程最短？精通数学、精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为个问

7、题后来被称为“将军饮马问题将军饮马问题”。一：以史创境，引趣入题一：以史创境，引趣入题设计设计意图：意图：通过设问通过设问唤起学生唤起学生的兴趣，的兴趣，激发学生激发学生探寻的欲探寻的欲望，把学望，把学生引领到生引领到研究的航研究的航道上来。道上来。B A .l l将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l抽象抽象为一条直线为一条直线 如何在如何在l上找到一个点，使得上找到一个点，使得这个点到点这个点到点A、点、点B的距离的和最短？的距离的和最短？问题问题1这是一个实际问题，能否把它转这是一个实际问题，能否把它转化为数学问题？化为数学问题？ 二：问题引领，层层递进二：问题引领，

8、层层递进设计设计意图：意图：让学生将让学生将实际问题实际问题转化为数转化为数学问题，学问题，即将最短即将最短路径问题路径问题转化为线转化为线段和最小段和最小问题。问题。 分析：分析： 在河边饮马的地点有在河边饮马的地点有多处多处，把这，把这些地点与些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之连接起来的两条线段的长度之和，就是从和，就是从A 地到饮马地点，再回到地到饮马地点，再回到B 地的路地的路程之和；程之和；怎样找出使两条线段的长度之和为怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点？最短的那个点？BAlCC2C1设计设计意图：意图：帮助学生帮助学生分析饮马分析饮马的地点有的地点有多处，我多处，我

9、们是要找们是要找出使两条出使两条线段的长线段的长度之和为度之和为最短的那最短的那个点。个点。？二：问题引领，层层递进二：问题引领，层层递进（易）（易）点点A,B分别是直线分别是直线 异侧异侧的两个点，如何在的两个点，如何在直线上找到一个点，使直线上找到一个点，使得这个点分别到点得这个点分别到点A与点与点B的距离和最短？的距离和最短？BA.l？（难）（难）点点A,B分别是直线分别是直线同侧同侧的两个点，如何在的两个点，如何在直线上找到一个点，使直线上找到一个点，使得这个点分别到点得这个点分别到点A与点与点B的距离和最短？的距离和最短？问题问题2 怎样找出使两条线段的长度之和为最怎样找出使两条线段

10、的长度之和为最短的那个点？短的那个点？BBCl二：问题引领，层层递进二：问题引领，层层递进设计设计意图：意图：运用类比运用类比的方法，的方法，化难为易，化难为易，渗透转化渗透转化思想。思想。CAl讨论：讨论： 如何作图？如何作图？BBAC问题问题2 怎样找出使两条线段的长度之和为最怎样找出使两条线段的长度之和为最短的那个点？短的那个点？作法提示：作法提示：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对的对称点称点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相相交于点交于点C则则AC+BC的距离最短。的距离最短。二：问题引领，层层递进二：问题引领，层层递进设计设计意图：意图：提示作图提示作图方法，

11、解方法，解决问题决问题2 2。即点即点C为饮马地点。为饮马地点。由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC BC=BCAC + +BC = = AC + +BC = =AB， AC+ +BC= = AC+ +BC 在在ABC中，中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ Bl证明：证明：如图，在直线如图，在直线l上任取一点上任取一点C（与（与点点C 不重合），不重合）， 连接连接AC，BC，BCABC C二：问题引领，层层递进二：问题引领，层层递进设计设计

12、意图：意图：作图后作图后的证明的证明是为了是为了让学生让学生体会作体会作图的正图的正确性。确性。BlAB思考思考1 1：证明证明AC + +BC 最短最短时，为什么要在直线时，为什么要在直线l 上任取上任取一点一点C（与点（与点C 不重合），不重合），证明证明AC + +BC AC+BC？点点“C”在其他的位置结果在其他的位置结果一样吗？一样吗？思考思考2 2：回顾前面的探究过回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？借助什么解决问题的？ CC结果一样！结果一样！二：问题引领，层层递进二：问题引领，层层递进设计设计意图：意图：在反思在反思的过程的过

13、程中，体中，体会轴对会轴对称的桥称的桥梁作用梁作用, ,感悟转感悟转化思想化思想, ,丰富数丰富数学活动学活动经验。经验。C1 1、“将军饮马将军饮马”的应用的应用 （河北中考）（河北中考）如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山脚下的处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往处接游客，然后将游客送往河岸河岸BC 上，再返回上，再返回P 处，请画出旅游船的最处，请画出旅游船的最短路径。短路径。AB山山河岸河岸大大桥桥三：学以致用，链接中考三：学以致用，链接中考设计设计意图：意图：学以致用，学以致用，及时巩固及时巩固最短路径最短路径的解题方的解题方法。法。CPRQBQP

14、C三：学以致用，链接中考三：学以致用，链接中考2 2、“将军饮马将军饮马”的妙用：的妙用：( (滨州中考滨州中考) )如图，直角如图，直角ABC,AB=4ABC,AB=4， BAC=30BAC=30 ， BACBAC的平分线交的平分线交BCBC于于D D。M M、N N分别是分别是ADAD，ABAB上的动点，则上的动点，则BM+MNBM+MN的的最小值最小值是是( )( )。ABCDBNM2 2设计设计意图：意图：提高学提高学生的解生的解题技能题技能技巧。技巧。4430 三：学以致用，链接中考三：学以致用，链接中考3 3、“将军饮马将军饮马”的推广：的推广： 如图如图: :一牧人要从一牧人要从

15、A A地出发，到河边地出发，到河边MNMN给马饮水，给马饮水，PQABMN设计设计意图意图：层层深入层层深入的练习能的练习能发散学生发散学生的思维，的思维，提高解决提高解决问题的能问题的能力，让学力，让学生体会数生体会数学学习的学学习的快乐。快乐。ABEF再到草地再到草地PQPQ喂马，喂马，试问：牧人应该走怎样的路试问：牧人应该走怎样的路线，才能使整个线，才能使整个路程最短路程最短？（南通中考）（南通中考）四：触类旁通，合作探究四：触类旁通，合作探究 （造桥选址问题）（造桥选址问题）如图，如图，A和和B两地两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处

16、可使从。桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）直线，桥要与河垂直）造桥选址问题转化为：造桥选址问题转化为：如图如图ab,ab,点点A A和点和点B B在在平行线的两侧，现在平行线的两侧，现在直线直线a a与与b b上找到上找到MNMN的的位置，从而使从位置，从而使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？最短？设计设计意图：意图：类比第类比第一个问一个问题，先题，先把实际把实际问题转问题转化为数化为数学问题。学问题。abAABNMab四：触类旁通，合作探究四：触类旁通，合作探究 分析：河两岸的距离是固定

17、的，即分析：河两岸的距离是固定的，即MN的的长度是固定的。因此只要将长度是固定的。因此只要将MN的长度暂时的长度暂时忽略忽略,使得使得AM+BN最短即为最短即为AMNB最短。最短。那么如何忽略河的宽度呢？那么如何忽略河的宽度呢？设计设计意图：意图：引导学引导学生用平生用平移的方移的方法解题。法解题。ABNb作图方法：（1）过点）过点A A作作ADADb，与与a、b交交于点于点C C、点、点D D，在，在ADAD上截取上截取AA= CDAA= CD。合作：合作：讨论作图方法讨论作图方法？ABCDANMab（2）连接）连接AB，与直线，与直线b相交相交于点于点N，过点，过点N作作MN a交于交于点

18、点M。（3）连接）连接AM、BN。则则AM+MN+NB为最短为最短路径。路径。四：触类旁通，合作探究四：触类旁通，合作探究设计设计意图：意图：让学生让学生合作交合作交流，得流，得出作图出作图方法。方法。讨论：讨论：你能通过逻辑推理证明这你能通过逻辑推理证明这种作法的合理性吗？说说你的种作法的合理性吗？说说你的证明思路。证明思路。四：触类旁通，合作探究四：触类旁通，合作探究设计设计意图：意图：作图后让作图后让学生讨论学生讨论作法的合作法的合理性，可理性，可以让学生以让学生通过感悟通过感悟类比方法，类比方法，提高理性提高理性研究问题研究问题的自觉性。的自觉性。变式变式1 1：如图，如图，A A、B

19、 B两地之间有两地之间有两条河两条河，现，现要在两条河上各造一座桥要在两条河上各造一座桥MNMN和和PQ.PQ.桥分别建桥分别建在何处才能使从在何处才能使从A A到到B B的路径最短？（假定河的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）五：变式训练五：变式训练，体验成功，体验成功设计设计意图：意图：及时巩固及时巩固练习可以练习可以检测学生检测学生对知识的对知识的掌握情况。掌握情况。MQPNA1A2abcd变式变式2 2：如图，某河如图，某河CC CC 处处直角拐弯直角拐弯，河宽均，河宽均相同。现要在河流拐弯的两旁分别造桥相同。现要在河流拐弯的两旁

20、分别造桥DDDD、 EEEE桥要与河垂直，问该如何造桥可使得桥要与河垂直，问该如何造桥可使得ADDEEBADDEEB的路程最短？的路程最短？五：变式训练五：变式训练，体验成功，体验成功设计设计意图：意图：变式练习变式练习可以增强可以增强学生思维学生思维的灵活性的灵活性, ,增强数学增强数学学习的趣学习的趣味性。味性。AMMCCBN NBADEDE1.1.小结反思：小结反思：（1 1）本节课研究问题的基本过程）本节课研究问题的基本过程是什么？是什么？ （2 2）轴对称、平移在所研究问题）轴对称、平移在所研究问题中起什么作用？中起什么作用？六：小结反思，作业延伸六：小结反思，作业延伸设计设计意图：意图：引导学生引导学生把握研究把握研究问题的基问题的基本思路和本思路和方法，感方法，感悟化归思悟化归思想的重要想的重要