第一章质点的运动规律

1、12静力学静力学：研究物体平衡的条件：研究物体平衡的条件运动学运动学：研究物体位置随时间的变化：研究物体位置随时间的变化动力学动力学：研究各类运动发生的原因：研究各类运动发生的原因3第一章 质点的运动规律二、物体运动是绝对的而运动的描述是相对的二、物体运动是绝对的而运动的描述是相对的 绝对性：不存在绝对静止的物体绝对性：不存在绝对静止的物体 相对性：描述运动需以别的物体（相对性：描述运动需以别的物体（参照系参照系）作参照）作参照, 在不同的参照系中，对同一物体的运动具有不同的在不同的参照系中，对同一物体的运动具有不同的描述。描述。 1-11-1质点运动的描述质点运动的描述一、质点一、质点：物体

2、只有质量而没有大小、形状的几何抽象：物体只有质量而没有大小、形状的几何抽象 理想模型理想模型(物理学中常用的一种科学分析方法物理学中常用的一种科学分析方法) 4坐标系：坐标系： 参照系的数学抽象，用于对运动定量描述参照系的数学抽象，用于对运动定量描述。 XZYotene切向法向直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系5222zyxr rx cosry cos1coscoscos222 rzcos y质点的位置可用坐标（质点的位置可用坐标（x,y,z ) )表示表示, ,也可用矢径也可用矢径 表表示。示。 如图如图. 矢径矢径也称为也称为位置矢量位置矢量, ,简称简称位矢位矢。 r zxrjik

3、kzjyixr直角坐标系：直角坐标系：x z yPo(x,y,z)三、描述质点运动的物理量三、描述质点运动的物理量1位置矢量位置矢量(位矢位矢):6位置矢量位置矢量 的性质：的性质：r1. 矢量性：矢量性： 有大小，有方向。遵守矢量运算法则。有大小，有方向。遵守矢量运算法则。r3. 相对性：相对性：质点质点P在同一时刻在同一时刻t t相对于不同参照系的位置矢相对于不同参照系的位置矢量不同。量不同。1rO1PO22r2. 瞬时性：瞬时性：即：即： 是是t t 的函数。的函数。)t(r1rOP12rP270t只有在极限只有在极限 时，时，dsrdxyzO Ot 时刻，时刻，P P1 1点点, ,位

4、矢为位矢为 , ,)(1trP P1 1)(1tr)(2ttrP P2 2)(2ttrt+ t 时刻时刻, P, P2 2点点, ,位矢为位矢为 , ,位移位移 :位置矢量的增量位置矢量的增量s )(2ttr)(1trr r 3. . ， -路程路程( (标量标量) )。sr s 1. . 是矢量。是矢量。r 注意注意s r 2. . ，rr 12rrr r r 从从P P1 1到到P P2的有向线段的有向线段( (位移位移) )记为记为12rrr8xyzO OP P2 2P P1 1r )(ttr )(trs trv 平均速度平均速度1 速度的定义：速度的定义： 2 速度速度:2速度的方向：

5、速度的方向：沿该时刻该位置轨道的切线方向并指沿该时刻该位置轨道的切线方向并指向前进的一侧。向前进的一侧。v 3速度的大小：速度的大小：dtrdvvdtds瞬时速率瞬时速率简称速率简称速率瞬时速度瞬时速度0limtrvt drdt dr （速度）（速度）94平均速率：平均速率：svt 瞬时速度瞬时速度 的性质：的性质：v矢量性、瞬时性、相对性矢量性、瞬时性、相对性kvjvivvzyx 5直角坐标系中，速度表达式直角坐标系中，速度表达式kdtdzjdtdyidtdxdtrdv222zyxvvvvv dtdzvdtdyvdtdxvzyx,rSvtr101加速度的定义加速度的定义设：设：t 时刻质点的

6、速度为时刻质点的速度为 , t+ t时刻的速度为时刻的速度为 ,)(tv)(ttv v (t )v (t+t )xr(t+t )r(t) y z P2 P1 0平均加速度平均加速度tva vv (t )v (t+t )t ()tt (vvv 瞬时加速度瞬时加速度 矢量性、瞬时性、相对性矢量性、瞬时性、相对性瞬时加速度瞬时加速度 的性质：的性质：a220limdtrddtvdtvat 加速度03112加速度的方向加速度的方向其方向即为其方向即为 当当 t 0时，速度增量时，速度增量 v 的极限方向，的极限方向，加速度的方向与同一时刻速度的方向一般不一致。加速度的方向与同一时刻速度的方向一般不一致

7、。0limtvat kajaiaazyx 3直角坐标系中，加速度表达式直角坐标系中，加速度表达式kdtzdjdtydidtxd222222 kdtdvjdtdvidtdvdtvdazyx222zyxaaaaa 22dtxddtdvaxx22dtyddtdvayy22dtzddtdvazz 12四、运动方程、轨道方程四、运动方程、轨道方程ktzjtyitx)()()(质点的运动可以看作是各分运动的矢量合成质点的运动可以看作是各分运动的矢量合成, , 这个结论称为这个结论称为运动的叠加原理运动的叠加原理. .矢量表达式矢量表达式)(trr 标标量式量式：)(txx )(tyy )(tzz 1运动方

8、程：运动方程：位置位置(矢量矢量)与时间的函数关与时间的函数关系系2轨道方程轨道方程:质点位置坐标间的函数关系质点位置坐标间的函数关系)()(xyyyxx 或或将质点的运动方程中的时间将质点的运动方程中的时间t t消去，即可得质点的消去，即可得质点的轨道方程轨道方程。13 五、运动学的两类问题五、运动学的两类问题第一类问题：第一类问题：rr = ( )t已知：已知：=a a =vv( )t(t )求：求：、(求导问题求导问题)(积分问题积分问题)第二类问题：第二类问题：a =(t )a 已知：已知：v=(t )rr =(t )v求：求：、初始条件：初始条件：t = 0vvv000 xyzxyz

9、000142. 上述时间内的平均速度上述时间内的平均速度例例ri=tt+32( r 以以m计计,t 以以 s 计计)jvr=ti=+73 j1. t = 1s到到 t = 2s的位移的位移ri=+1jri=+842jij=tt+322r=tddv3. t =1s 及及 t =2s 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 ij=+132vj=+212 i4vjirrr371215avvt=124. 上述时间内的平均加速度上述时间内的平均加速度5. t =1s 时刻的瞬时加速度时刻的瞬时加速度avt=ddij=+132vj=+212 i4vij=tt+322vjia29 ji ta26 jiat261 16

10、解：解：1.运动方程的标量式为运动方程的标量式为从标量式中消去从标量式中消去t得轨迹方程：得轨迹方程：+= 3222xy=3cos (t6)x=3(t6sin)y1. 轨迹方程；轨迹方程； 2. 瞬时速度；瞬时速度；试求：试求：例例j66r =3costt i +3sin()() 3. 瞬时加速度。瞬时加速度。17 2. 瞬时速度：瞬时速度：=dtdrv=3366sintt i +66cosj()() 3. 瞬时加速度：瞬时加速度：ad=dtv3sin663)(icos2tt+=_6j=_636sin366()(icos22tt_j)(26=_ra方向相反，可见加速度指向圆心。方向相反，可见加

11、速度指向圆心。r与与222yxvvvj66r =3costti+3sin()()18xOhs0vl 例：在离水面高度为例：在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，的岸边，有人用绳子拉船靠岸，收绳的速率恒为收绳的速率恒为v0，任一时刻船离岸边的距离为，任一时刻船离岸边的距离为s，求船靠岸的速率。求船靠岸的速率。解解：0v v 如图所示，把绳子的速度分解，其中一个水平如图所示，把绳子的速度分解，其中一个水平分量就是船的速度分量就是船的速度0cosvv 19dtdlvdtdv0s船22shl定量分析定量分析：定性分析定性分析：xOhs0vl vv0 且cos0vv 相同时间内S船S绳22221h

12、ldtdllv船cos00vvsl20一、匀变速运动：一、匀变速运动：为常矢量aoovvrrot,:初始条件：速度方程：速度方程： tovvdtavddtavddtvdao1-2几种典型的质点运动问题几种典型的质点运动问题得：tavvo ktavjtavitavtkajaiakvjvivzozyoyxoxzyxozoyxo 21运动方程：运动方程：dttavrddttavdtvrddtrdvtoorroo221tatvrroo得：2000000)(21)()(tkajaiatkvjvivkzjyixzyxzyxktatvzjtatvyitatvxzzyyxx200200200212121运动叠

13、加原理运动叠加原理22 抛体运动抛体运动 1) 1) 定义：不计空气阻力，从地面附近抛出物体所作的运动定义：不计空气阻力，从地面附近抛出物体所作的运动 2) 2) 加速度加速度 3) 3) 速度速度 4) 4) 运动方程运动方程20021sincosgttvytvxgtvgtvvvvvyyxxsincos0000O OY YX X0v5) 5) 轨迹方程轨迹方程 由运动方程由运动方程20021sincosgttvytvx2220cos2xvgxtgyt消gaayx0g 236) 6) 射程射程02000cossin2s|2int tvvSgvg 射射程程)0( ,sin2000舍去tgvt令令

14、 y=0 得得v0XYSx0cos222xvgtgdxdyxSoxx另解：201sin2yvtgt gtvvvvyxsincos0000tvxcos02sin220gvx 24tv0221t govt grv7 7）抛体运动的矢量表示：）抛体运动的矢量表示：2021t gtvrt gvvo，0vtavvo221tatvrroo匀变速运动：匀变速运动：25kr=x i+y jzkdtdzjdtdyidtdxdtrdvkdtvdjdtvdidtvddtvdazyxkdtzdjdtydidtxddtrd22222222三个物理量三个物理量二个方程二个方程运动方程运动方程：)(trrx=x(t)y=y

15、(t)z=z(t)轨道方程轨道方程:f(x,y,z)=0（轨迹方程）26二类问题二类问题: )(tr已知一次求导一次求导二次求导二次求导)(tv)(ta00vra、及初始条件已知一次积分一次积分二次积分二次积分)(tv)(tr几种典型的质点运动几种典型的质点运动1、匀变速运动：匀变速运动：为常矢量atavvoktavjtavitavzozyoyxox221tatvrrooktatvzjtatvyitatvxzzyyxx20020020021212127*抛体运动：抛体运动：jgttvitvrjgtvivv2000021sincossincos叠加方向上竖直上抛运动的方向匀速直线运动与yx202

16、1t gtvrt gvvo动的叠加竖直方向上自由落体运方向的匀速直线运动与初速0vtv0221t govtgrv28【例】一汽球以速率【例】一汽球以速率v0从地面上升，由于风的影响，随着从地面上升，由于风的影响，随着高度的上升，汽球的水平速度高度的上升，汽球的水平速度vx=by增大，其中增大，其中b是正的常是正的常量，量，y是从地面算起的高度。是从地面算起的高度。1、试求汽球的位矢方程。、试求汽球的位矢方程。2、求汽球水平漂移的距离与高度的关系。、求汽球水平漂移的距离与高度的关系。oxy解：解：1、 jyixrttt 1 2 tvyvvty00已知：tbvbyvx0dtdx202tbvx 3d

17、x = bv0tdtt0 x0 1 2 3j tvitbvr0202 20232yvbxt得：消去由2、29时，有：当矢量图可知，解：由抛体运动的速度0vvttgvvtgvvgvtvgttt0000sinsin，t gtvgt v 小为多少？此时铅球的速度大相垂直，铅球的速度方向与试问：经过多少时间后。为抛出一个铅球，抛射角一人在平地上以例000)45(vv0vYX301.圆周运动角量和线量关系圆周运动角量和线量关系角位置角位置 :质点质点,圆心连线同参考线夹角圆心连线同参考线夹角约定：逆约定：逆(顺顺)时针为正时针为正(负负)（1）角量的描述）角量的描述二、圆周运动：二、圆周运动：运动轨迹为

18、圆的质点运动运动轨迹为圆的质点运动PQS S 角速度角速度 :ttlim0 dtdRdtdRdtdsv角位移角位移: t内质点转过的角度内质点转过的角度.RS31角加速度角加速度 ：ttlim0 22dtddtd 与与 同号，角加速；同号，角加速； 与与 异号，角减速异号，角减速（2）角量表示的匀角加速运动）角量表示的匀角加速运动dtddtdttdtd000dttddtd)(0000)(tdttd20021tt32dddddtddddtd)(20202tnttntaatvtva00limlim则：则：00ddtvvtvdtvdaABtlimlim0A2.加速度加速度BAvBv vAvBvtvn

19、vtnvvv令33tvantnlim0tvtlim0RvRv22方向指向圆心方向指向圆心法向加速度：法向加速度：物理意义：速度方向改变的反映。物理意义：速度方向改变的反映。tvatttlim0RdtdRdtdvtvt lim0方向沿切向方向沿切向切向加速度：切向加速度：物理意义：速度大小改变的反映。物理意义：速度大小改变的反映。BvvtvnvAv34tnaaa一般平面曲线运动：一般平面曲线运动：方向：指向轨道内侧22tnaaa大小：其中：其中：曲率半径,2van35一质点从静止开始沿半径为一质点从静止开始沿半径为R的圆周作匀变速圆周运的圆周作匀变速圆周运动。当切向加速度和法向加速度大小相等时，

20、该质点动。当切向加速度和法向加速度大小相等时，该质点走过的路程是（走过的路程是（ ）（B）R（C）（D） （A）R/2/2R R 21t 212t SR RatRtRan22)(=36 均为常数）、（）（的圆周运动，一质点作半径为例bvbttvRR020211 at时刻的加速度试求：202022)(1)(1btvRbtvRRdtdRRanbdtRddtdvat)(2402)(1bbtvR22tnaaa解：tanaav37两物体以相同的初速两物体以相同的初速v0作斜抛运动，物体作斜抛运动，物体1的抛角为的抛角为60o，物体，物体2的抛角为的抛角为45o，这两抛物线最高点的曲率半，这两抛物线最高点

21、的曲率半径之比径之比 为为12:(A) 1:2(C) 2:1(B)(D)1:22 :1 0v yx0cosv g 曲率半径曲率半径2nav 斜抛运动，总加速度为斜抛运动，总加速度为g 最高点最高点00,cosntgvava 20220211226(cos)1(cos)2504oovvvv 答案答案 A38【例】已知一质点在【例】已知一质点在XOY平面内运动，平面内运动，jti tr8462试求：试求：1、质点作何运动？、质点作何运动？ 2、t=1秒时质点的秒时质点的an和和at为多少？该处的为多少？该处的为多少？为多少？解解：1、jdtvdaj tidtrdv886匀变速曲线运动2、211va

22、n212taa dtdvat11 01ta10643612221 tyxtvvv392116436tvdtdvatt21214 . 6643664smttatt22218 . 44 . 68sman mavn8 .208 . 410012140va甲乙V=0丙v螺母的运动？甲：自由落体。乙：竖直上抛。丙：斜抛运动。1-3 运动描述的相对性运动描述的相对性41地面上人看来：车地球车球地vvv车地球车球地xxxSO球车vS /O 车地voooppooooppooooppoaaavvvrrr则有：,OOrSS 系中的位矢为系坐标原点在设：OOaSS 系中的加速度为系坐标原点在OOvSS系的相对速度为

23、系坐标原点对基本关系式基本关系式SS OO oor PoPr Por42v,雨雨 地地v车车,地地v雨雨,v车车雨雨v,地地地地车车vvv=+地地地地车车车车雨雨雨雨,一般关系式：一般关系式：OOOPPOMMM43va甲乙V=0丙v螺母的运动？甲：自由落体。乙：竖直上抛。丙：斜抛运动。jagj aj gaaaaa)(甲地螺地地甲螺地螺甲甲：初速度为0，加速度为（g+a)的竖直下落。44例例. 某人东行某人东行,v=50m/min时感觉有南风，时感觉有南风， v=75m/min时感觉有东南风，求风速。时感觉有东南风，求风速。北东南西风地vAB风人v人地v由图：由图：BD=75-50=25BD=B

24、C=25 =tan-1(25/50)=27所以所以,风速大小为风速大小为55.9m/min;方向为东偏北方向为东偏北27DC风人v45人地v解：解：由题给条件写出矢量式由题给条件写出矢量式:人地人地风人风人风地风地vvvAC=(AB2+BC2)1/2=(502+252)1/2= 55.9m/min45 绝对时空观只在绝对时空观只在 u u c c 时才成立时才成立只有假定只有假定“长度的测量不依赖于参考系长度的测量不依赖于参考系”只有假定只有假定“时间的测量不依赖于参考系时间的测量不依赖于参考系”（空间的绝对性）（空间的绝对性）（时间的绝对性）（时间的绝对性）OOOPPOrrrOOOPPOvv

25、vOOOPPOaaa以上结论是在绝对时空观下得出的。以上结论是在绝对时空观下得出的。46在在自然科学的哲学原理自然科学的哲学原理中牛顿以确凿的口气写道：中牛顿以确凿的口气写道：绝对空间绝对空间-绝对空间就其本性来说与外界任何事物绝对空间就其本性来说与外界任何事物毫无关系，它永远是同一的，不动的。毫无关系，它永远是同一的，不动的。绝对时间绝对时间- 绝对的，真实的数学时间本身按其本性绝对的，真实的数学时间本身按其本性来说是均匀流逝的，与外界的任何事物无关。来说是均匀流逝的，与外界的任何事物无关。 47圆周运动角量和线量关系圆周运动角量和线量关系Rv RSRan2Rat平面曲线运动：平面曲线运动：

26、tnaaa方向：指向轨道内侧22tnaaa大小：其中：其中：曲率半径,2van运动描述相对性的一般关系式：运动描述相对性的一般关系式：OOOPPOMMMOOMOPMPOM48？试问：它们会不会相碰行驶，和各以和如图所示，两船例BAVVBA:RBAVAVBABBAVVV水水VBVBAAV水49一、对三条定律的说明一、对三条定律的说明1.第一定律第一定律（1）指明了任何物体都具有惯性）指明了任何物体都具有惯性（2）阐明了力的真正涵义，）阐明了力的真正涵义， 即：力是即：力是改变改变物体运动物体运动 状态的原因，而不是状态的原因，而不是 维持维持运动状态的原因。运动状态的原因。物体具有物体具有保持运

27、动状态不变保持运动状态不变的属性的属性 1-4 牛顿运动定律牛顿运动定律牛牛 顿顿2.第二定律第二定律物体物体运动状态变化的规律运动状态变化的规律50222222dtzdmmaFdtydmmaFdtxdmmaFRtzzyyxx系dtdvmmaFvmmaFttnn2对应性：对应性：某方向的力只改变该方向物体运动状态。某方向的力只改变该方向物体运动状态。自然坐标系矢量性：矢量性：说明：说明：表达式：表达式：dtvmdkdtpdkF)(amdtvdmF可视为恒量时当mcv dtdmvdtvdmdtvmddtpdF)(1,kSI制中51瞬时性瞬时性随之变。变是一个瞬时公式aFamF,二、二、牛顿运动定

28、律的适用范围牛顿运动定律的适用范围领域宏观（运动范围)10. 18cm领域仅适用于低速（). 2cvamF 3.惯性参照系：惯性参照系： 在此参照系中观察，一个不受力作用的物体将保持在此参照系中观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态不变。静止或匀速直线运动状态不变。3.第三定律第三定律力的力的相互作用相互作用性性作用力与反作用力作用力与反作用力:大小相等、方向相反，作用在不同物体上。大小相等、方向相反，作用在不同物体上。52a 例：加速小车上的小球。例：加速小车上的小球。 （小球与小车间无摩擦）（小球与小车间无摩擦）地面观察者：地面观察者：F = 0 , a = 0车上观察者：

29、车上观察者：F = 0 ，=a0三、动力学的二类问题三、动力学的二类问题1.已知作用在物体上的力已知作用在物体上的力,由力学规律来决定该物体的由力学规律来决定该物体的 运动状态或平衡状态。运动状态或平衡状态。2.已知物体的运动状态或平衡状态，由力学规律来推断已知物体的运动状态或平衡状态，由力学规律来推断 作用在物体上的力。作用在物体上的力。 53隔离体法解题步骤隔离体法解题步骤确定参照系，建坐标系确定参照系，建坐标系受力分析并作受力图受力分析并作受力图列方程并求解列方程并求解选隔离体选隔离体研究对象研究对象初定运动状态初定运动状态54求求 : a ,TAFBT 例例=mmAB30050 kg3

30、0 kg= 0.10F = 150 NmmN=0BBg=fBNBmBBTf=Bm aAFfmTNAAgA解：解：NTmfBBBgBxyaaFmNsin= 0+AAgNf =AAmATF cosf=AamAxy55=0.74 amABsincosg=F ()+()mmmABmmF=+B)TmmmB(cossin+Am=aamax讨论讨论：当：当为何值时为何值时,由由dd cossin+()=0mm1 tg得：所以是极大值所以是极大值=tg-1m=aamax即：当即：当时时因为因为dd(cos +sin)220m56nsina=mTrml 例例 一圆锥摆。已知：一圆锥摆。已知：,l求：求：解得：解

31、得：=cosg21l()T cosmg= 0nnTmg22sinmlmr57例：已知：所有接触面均光滑，C物块沿槽下滑。 求：A、B、C的运动状态及相互作用力。ABCCBA、解：00 xxaFaa正确解：正确解：aABCmAgN1N2TTN1mBgTTmcgaaaaN3N3N(mA+mB+mC)gyx58aABCmAgN1N2TTN1mBgTTmcgaaaaN3N3xyA0123TgmNNamNTAA地地ABABaaa B0)(1 gmNaamamTBBBCamTmamNCCC3地地ACACaaa aaTNNN32159=dtdx 例例 一质量为一质量为m的质点从坐标原点出发沿的质点从坐标原点

32、出发沿 x 轴作轴作直线运动，初速为直线运动，初速为 v0 ,它受到一阻力它受到一阻力 v2作用作用.试求试求: v = v (t ), x = x (t )v=m011+tv解：解：=dt2dmvv=dt2dm00tvvvv=dtm+x00dxt10tv=+10 xmln()tmv60 例例 细棒细棒,l ,下端紧贴下端紧贴 液面液面,上端悬上端悬挂挂.试求悬线剪断后试求悬线剪断后,细棒全部没入液体细棒全部没入液体时的速度时的速度(不计液体粘性不计液体粘性)l 解：解：l amGBdtdvmBGO OxxGBdtdxdxdvlsxsglsglvdvgdxxl)(vllvdvgdxxl00)(

33、glv)2(61 1-5 非惯性系中的力学定律非惯性系中的力学定律 aaaFm 加速度为非惯性系相对惯性系的为相对非惯性系的加速度相对惯性系的加速度为，受外力为物体质量为,）（则：aamamF amFamamF 惯性力惯性力amFF讨论：讨论：惯性力是一个假想的力惯性力是一个假想的力 (惯性力只有受力物体而惯性力只有受力物体而无施力物体无施力物体),是运动学思想与动力学思想等效性的体现。是运动学思想与动力学思想等效性的体现。62 例例 升降机内有倾角为升降机内有倾角为的一光滑斜面，斜面固定在升一光滑斜面，斜面固定在升降机底板上，当升降机以匀加速度降机底板上，当升降机以匀加速度a1 1 上升时上升时, ,质量为质量为m m的的工件由斜面顶端下