《起重运输机械实验技术》第六章 dft和ppt课件

1、二、采样信号的傅氏变换 1. 时域采样2. 频域采样2-1 2-1 引言引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.延续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。二.变换域分析法 1.延续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzXzAzzXzA414)41)(4()(21zAzAzz

2、zzzX)41416(1514115141516)(4115/1415/16)(zzzzzzzzzXzzzzX 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.0,)41(1511,)4(151)()64164144166

3、4(151)(23212345nnnxzzzzzzzzzXnn进而得：得1.1.线性线性),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ例2-7知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：2. 2. 序列的移位序列的移位xxmRzRzXzmnxZ;)()(假设那么有：xxRzRzXnxZ, )()(例2-8 求序列x

4、(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。1,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ3. Z3. Z域尺度变换域尺度变换( (乘以指数序列乘以指数序列) )xxnRazRaazXnxaZ;)()(xxRzRzXnxZ, )()(假设，那么证明：假设，那么证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端求导得5. 5. 共轭序列共轭序列的共轭序列。为其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx假设xxRzRzXnx

5、Z, )()(，那么证明：;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，6. 翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()(假设xxRzRzXnxZ, )()(，那么证明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(11即，。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz证明：) 0 ()(lim,) 2 () 1 () 0 ()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然 又由于只允许X(z)在z=1处能够有一阶极点，故因子z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1

6、的极限。 z19. 9. 有限项累加特性有限项累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，令, 0,)()()(),()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm 1 ,max),(1)(1111)()()()()()(00110210000 xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ10.10.序列的卷积和序列的卷积和( (时域卷积定理时域卷积定理) ) 证明：,min,max),()()()()( )()

7、( )()()()()()()(hxhxmmlmlmnnmnnmnnRRzRRzHzXzHzmxzzlhmxzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ例2-9.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知)()()()()(.)()()()()()(;,)()(;,)()(11nubzYZnhnxnybzzYzHzXbzzbzazazzzHzXzYbzbzazbzabzzbzzazbzznhZzHazazznxZzXn的收敛域扩大，为的零点相消，的极点与解：其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封

8、锁围线。 证明从略nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11则有：，且如果例2-10).()()(),1()(),()(1nhnxZzYnubnhnuanxnn求已知;,)(21121)()()(;,1)()(;,)()(ccabzdvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYbzbznhZzHazazznxZzX解：，用留数可得：内只有一个极点因此围线重叠部分为，即为的收敛域，而的收敛域为avcbzvabzvbvzvzHavvX;)()(

9、.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 证明从略dHxjnhnxcn1*)1()(21)()(.1;,)()(;,)()(nxnxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且假设那么有:*几点阐明：。为实序列时，则当dHxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(.1。则时，当围线取单位圆deHeXnhnxevvvjjnj)()(21)()(,/11. 2尔公式（定理）。频谱求得。这就是帕塞这表明序列的能量可用。时，则当djXnxnxnhn22

10、)(21)()()(. 3一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为延续信号， 为其理想抽样信号，那么)(txa)( txa nnnsTanTsanstastnastaaaenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()()(（nnsTaaaenTxtxLsX)()()(因此， 序列x(n)的z变换为 ，思索到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。)()(nTxnxannznxzX)()(sTez)()()(sXeXzXasTezsT即2.Z2.Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系( S

11、( S、Z Z平面映射关系平面映射关系 S S平面用直角坐标表示为：平面用直角坐标表示为： Z Z平面用极坐标表示为：平面用极坐标表示为： 又由于又由于 所以有：所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。TerT,TjTjeerezsTez jrez js =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。(1).r与的关系)(Ter= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的程度条带， 整个z平面.jIm

12、ZReZTTT2),(2).与的关系=T),(j二二.Z.Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 延续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因此映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,抽样序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。kaaTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXaTjezTjjezT，则考虑到T)()()(jXeXzXajezjkaaTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kajezTkjXTeXzXj所以，序列在单位圆上的Z

13、变换为序列的傅氏变换。三三. .序列的傅氏变换序列的傅氏变换deexdzzzXjnxeXFnjjznj)(21)(21)()(1111.正变换:2.反变换:一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，假设满足xe(n)=xe*(-n)那么称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，那么再将-n代入，那么根据定义，那么 这阐明共轭对称序列的实部是偶对称序列偶函数，而虚部是奇对称序列奇函数。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。)()()(njxnxnxeiere)()(nxnxeier和)()()(*njxn

14、xnxeiere)()()(*njxnxnxeiere)()();()(nxnxnxnxeieierer2.共轭反对称序列 设一复序列，假设满足xo(n)=-xo*(-n) 那么称序列为共轭反对称序列。同样有：)()()()()()()()()()()()(*njxnxnxnjxnxnxnjxnxnxnjxnxnxoiorooiorooiorooioro根据定义，那么)()();()(nxnxnxnxoioioror 这阐明共轭反对称序列的实部是奇对称序列奇函数，而虚部是偶对称序列偶函数。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和

15、)()()(nxnxnxoe即)()()()()()(nxnxjnxnxnxnxoieioreroe这是因为故有所证。构成任何序列的虚部。可为实奇函数，它们之和实偶函数，为列的实部；它们之和可构成任何序为实奇函数，为实偶函数，其中，)()()()(nxnxnxnxoieiorer)()(21)()()(21)()()()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoeoeoe相减，则相加，则进行运算，则对序列三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和)()()(jojejeXeXeX其中，)()(21)()()(21)(*jjjojjje

16、eXeXeXeXeXeX四、两个根本性质，则有如果)()(. 1nxFeXj)()(*nxFeXj证明：)()()()()(*jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF，则有如果)()(. 2nxFeXj)()(*nxFeXj证明：)()()()()(*jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系)()(RejeeXnxF即，1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：)()()(21)(Re)()(21)(Re*jejjeXeXeXnxFnxnxnx2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部)()(ImjoeXnxjF即，证明

17、：)()()(21)(Im)()(21)(Im*jojjeXeXeXnxjFnxnxnxj六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、 虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部)()(jReeXnxF即，证明：)()()(21)()()(21)(*jRjjeeeXeXeXnxFnxnxnx2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。)()(jIoejXnxF即，)()()()()(21)()(21)()()(21)(*jIjIjRjIjRjjooejXejXeXejXeXeXeXnxFnxnxnx证明：七、序列为实序列的情况、奇函数。为奇序列、奇对称序列、偶函数；为偶序列、偶

18、对称序列)()()()()(. 1nxnxnxnxnxeeoe)()(),()(. 4)()(21)(. 3)()(21)(. 2*nxnxeXeXnxnxnxnxnxnxjjoe的共轭。换等于其傅氏变换即序列翻褶后的傅氏变)()(. 5*jeXnxF)(Im)(Im)(Im)(Re)(Re)(Re. 6*jjjjjjeXeXeXeXeXeX奇函数，即是的实序列傅氏变换的虚部同样，偶函数，即是的实序列傅氏变换的实部)(arg)(Re/)(Imarg)(Re/)(argIm)(arg)(arg)()()(. 7*jjjjjjjjjjeXeXeXeXeXeXeXeXeXeX奇函数，即是的实序列傅氏变换的幅角同样，偶函数，即的实序列傅氏变换的模是8.实序列也有如下性质：)(Im)()()(Re)()(jjIojjReeXjeXnxFeXeXnxF线性移不变系统 h(n)为单位抽样呼应h(n)x(n) (n)y)()()(),()()(zXzYzHz