长沙一中高二上学期期末考试(数学理)

1、1.2.湖南长沙市一中2019年下期高二期末考试理科数学分：150分满分：150分时、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,2“x0R,x。0”的否定是A.C.A.2XR,x1_02-!x0R,x01_0f(x)=x，则f/(3)=为B.D.C.间：115分钟请将正确选项填在答卷上）2XR,x1：0x0R,x仁：0定积分J20sin2xdx的值为（B)11A.-1B.1CD.22如图，由曲线yx小=e-2,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积是22A.（02)dxB.(°(ex-2)dx2ln22C.xe-2dxD.(eXfx+j|ex-2dx兀3.4.函数y二fx在

2、定义域-1,3内可导，其图象如图所示,y=fx导函数为y=f/xA.三1U2,3B._2,3U_8,3C-舅山1,2D.li6.如图，已知点C-2,2，过点C作两条互相垂直的直线GJ、y轴交于点A、B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为B.xy2=0C.x-y-2=0D.xy-2=02x11.已知方程-7.设aR，若函数y二ex3ax(xR)有小于零的极值点，则(B)1A.-3a:0B.a:0C.a:-3D.1a:33【解析】yex3a，令y，=0有ex-3a.a.0：x=ln一3：0ln111-3a：-1，a>故a1,0313A.x-y2=028.已知函数f(x)=(a1)1n

3、x,g(x)=ax4x，若h(x)=f(x)g(x)在(0,二)上为减函数，则a的取值范围是(C)A.(-：,0B.(-：，-1C.(：，-2D.-2,：)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将正确选项填在答卷上)9.已知椭圆x2，4y2-64=0上一点P到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于12.10.抛物线x2=2pyp0上一点M到焦点的距离是aa，则点M的纵坐标是I2丿P.=1表示双曲线，则m的取值范围是-：，-2U-1,:=12.在平行六面体ABCD-A|B1C1D1中，AA1_底面ABCD，AB=4,AD=3,AA,=5，BAD=60，贝UAC1

4、的长为62.22_13. 若点P(2,0)到双曲线冷-笃=1的一条渐近线的距离为、2，则双曲线的离心率为ab_214. “正三角形中，其内切圆与外接圆的半径比为1:2”，类比到空间，请你写出一个正确的结论.正四面体的内切球与外接球的半径比为1:3.3215. 已知函数fx二axbx的图象在点-1,2处的切线恰好与x-3y=0垂直，则(I)a,b的值分别为1,3；(n)若fx在lm,m11上单调递增，则m的取值范围是(-：，£Uo,：)7f/x=3ax22bx=ab=2=心=彳=x32x23a-2b=3b=3【解析】f-1=2f-1=-3f/x=3x26x=3xx2.fx在：，-2与0

5、,亠上是增函数.m1_-2或m_0.故m（-匚，-3U0,：）为所求.三、解答题(本大题共6小题，第16、17、18题各12分，第19、20、21题各13分，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)216.如图，设A2,4是抛物线C:y=x上的一点.(I)求该抛物线在点(n)求曲线c、直线A处的切线丨的方程；l和x轴所围成的图形的面积.y/=2x-直线的斜率k=y/x=2=4八#06分"（2,4）l:y-4=4x-2即y=4x-4为所求.(n)面积4_z0一3.曲线C、直线I和x轴所围成的图形的面为12分17.如图,已知正方体ABCD-ABQP的棱长为2,点M,N分别

6、为AA和BiB的中点.(I)求异面直线CM与D!N所成角的余弦值;(n)求点D,到平面MDC的距离.【解析】(I)分别是以DA1、DC1、DD1所成在直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.4Mx轴，A0土7则M2,0,1C0,2,0N2,2,10,0,2MC二-2,2,-1D,N二-2-2,1rNcos：M,CTdN4-4-11.异面直线CM与D1N所成角的余弦值为(n).DM二2,0,1DC二0,2,0DD1二0,0,2设面DMC的法向量为nhx,y,z则2xz二0二补“1,0,-2y=0.点D1到平面MDC的距离h=DD1n12分18.设数列an?满足关系式：q=2p.2p(p是

7、常数).anJ(i)求a2,a3,a4;(n)猜想Sn'的通项公式，并证明.2(i)解：a=2ppa2=12ppa12a2pa2a4=2p-匕=5p4a3n+1(n)猜想：anp,下面用数学归纳法证明.6分n2证明：1°当n=1时，a.P=2P,命题已成立：1k+12°假设n二k时，命题成立，即akP，贝Ukak1=2p-P2ak=2PP2，k2(k+1)P-PK(k+2)P(k+1)+1k1pk1k1k1故n=k1时，命题仍然成立.屮n+1综上所述：对任何nN，均有anP.12分n19.湖南日报12月15日讯：今天，长沙飞起了今冬以来的第一场雪，省会城管部门采取措

8、施抗冰除雪，确保道路畅通.铲雪车是铲冰除雪的主力，铲雪车行驶的费用分为两部分，第一部分是车的折旧费及其他服务费，每小时480元，第二部分为燃料费，它与车速的立方成正比，并且当速度为10km/h时，燃料费为每小时30元.问车速为多少时，才能使行驶每公里的费用最小？并求出这个最小值以及此时每小时费用的总和.解：设第二部分的燃料费为t（元/小时），速度为x（公里/小时），则kx3将x=10,t=30代入上式.333解得，k,.tx32分100100设每公里费用的总和为y(元/公里),nrI31132480r八则yx480x(x0)7分1100丿x100x7y/0令y/=0,有x=2050xy在（0,

9、20）上单调递减，在（20,：）上单调递增,当x=20时，y有最小值为3611分所以，速度为20公里/小时时，每公里费用最小，最小值为36元/公里，此时，每小480时费用的总和为720元/小时.13分2x2型二旦x2空240100x100xx_333x2240240.100xx32240当且仅当x2，即X=20时，等号成立，此时，每小费用的总和为720.100x所以，速度为20公里/小时时，每公里费用最小，最小值为36元/公里，此时，每小时费用的总和为720元/小时.a20.已知函数f（x）=Inx1.x（I）讨论函数的单调区间与极值;（n）当a=1时，是否存在过点（1,-1）的直线与函数y=

10、f（x）的图象相切？若存在,有多少条？若不存在，说明理由.解：（I）由题意函数f（x）的定义域为（0：）,f(x)xax2当a0时，此时函数在（0,a）上是减函数，在（a,：）上是增函数,f极小值(x)=f(a)=Ina，无极大值.当a:0时，f(x)0x所以函数在(0,：)上是增函数，无极大、极小值.(n)假设存在这样的切线，设其中一个切点X。1T(x°,lnX。0),X。切线方程：/Xo1/八十y102(X1)，将点T坐标代入得:X0,x0一1,(x0-1)31lnXo12，即InXo2-1=0,10分Xox0X0x031(x-1)(x-2)设g(x)=1nx2-1，则g(x)k

11、xxxVx0,.g(x)在区间(0,1),(2：)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数，1故g(x)极大值二g(1)=10,g(x)极小值二g(2)=In2匚04-Inl12-16-1二-In4-3：0,41注意到g(x)在其定义域上的单调性，知g(x)=0仅在(,1)内有且仅有一根13分所以方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条.21如图，F1,F2是双曲线x2-y2=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线I:y二kx巾与圆o相切，并与双曲线交于A、B两点.(I)根据条件求出b和k的关系式；()当OAO=k21时，求直线I的方程；(川)当OAoB=mk21，且满足2乞m乞4时，求AOB面积的取值范围.解：(I)；圆O:x2y2=2bk21*2二b2=2k21k=1(n)设Ax",B仏氐y=kxb222由22得：1-k2x2-2kbx-b211=0xy=1b2+1x1x221-k2k