第7章抽样与抽样分布

1、2022-5-31第第7 7章章 抽样与抽样分布抽样与抽样分布统计学2022-5-32第第7 7章章 抽样与抽样分布抽样与抽样分布一、抽样概述一、抽样概述二、抽样分布二、抽样分布三、三、ExcelExcel在抽样与抽样分布中的应用在抽样与抽样分布中的应用2022-5-33本章学习目标本章学习目标1.1.理解随机抽样、非随机抽样两类不同抽样方法理解随机抽样、非随机抽样两类不同抽样方法的本质区别的本质区别2.2.了解重复抽样、不重复抽样下的样本可能数目了解重复抽样、不重复抽样下的样本可能数目3.3.区别简单随机抽样、类型抽样、等距抽样、整区别简单随机抽样、类型抽样、等距抽样、整群抽样、多阶段抽样等

2、不同的随机抽样组织形式群抽样、多阶段抽样等不同的随机抽样组织形式4.4.了解总体分布、样本分布、抽样分布的关系，了解总体分布、样本分布、抽样分布的关系，明确二项分布、正态分布、明确二项分布、正态分布、t t分布、分布、2 2分布等重要分布等重要分布的特征分布的特征5.5.理解抽样分布的理论基础理解抽样分布的理论基础6.6.重点掌握样本均值、样本比例在不同条件下的重点掌握样本均值、样本比例在不同条件下的抽样分布抽样分布2022-5-34一、抽样概述一、抽样概述（一）（一） 抽样的方法抽样的方法（二）（二） 随机抽样的组织形式随机抽样的组织形式（三）（三） 抽样方案的设计抽样方案的设计2022-5

3、-35（一）（一） 抽样的方法抽样的方法随机抽样随机抽样方便抽样方便抽样判断抽样判断抽样自愿样本自愿样本滚雪球抽样滚雪球抽样定额抽样定额抽样非随机抽样非随机抽样常用的抽样方法常用的抽样方法重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样考虑顺序抽样考虑顺序抽样不考虑顺序抽样不考虑顺序抽样2022-5-36根据随机原则从总体中直接抽根据随机原则从总体中直接抽选部分单位构成样本的方法。选部分单位构成样本的方法。也称概率抽样也称概率抽样特点特点 按随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 某一总体单位能否被抽中，与其它单位是否被抽中没有关联。 随

4、机抽样随机抽样2022-5-37重复抽样重复抽样从总体从总体N N个单位中随机抽取一个样本容量个单位中随机抽取一个样本容量为为n n的样本，每次从总体中抽取一个，并的样本，每次从总体中抽取一个，并把结果登记下来，又放回总体中重新参把结果登记下来，又放回总体中重新参加下一次的抽选。又称加下一次的抽选。又称放回抽样放回抽样不重复抽样不重复抽样每次从总体中抽选一个单位后就不每次从总体中抽选一个单位后就不再将其放回参加下一次的抽选。又再将其放回参加下一次的抽选。又称称不放回抽样不放回抽样. .总体单位数总体单位数N N不变，同一单位可能不变，同一单位可能多次被抽中。多次被抽中。总体单位数减少总体单位数

5、减少n n，同一单位只可，同一单位只可能被抽中一次。能被抽中一次。随机抽选样本的方式随机抽选样本的方式 2022-5-38考虑顺序的重复抽样考虑顺序的重复抽样nN可能的样本数目可能的样本数目不考虑顺序的重复抽样不考虑顺序的重复抽样2NNn不考虑顺序的不重复抽样不考虑顺序的不重复抽样)!(!nNnNCnN考虑顺序的不重复抽样考虑顺序的不重复抽样)!(!nNNAnN考虑各单位的中选顺序考虑各单位的中选顺序ABBAABBA不考虑各单位的中选不考虑各单位的中选顺序。顺序。 ABABBABA2022-5-39【例【例1 1】某一总体含有某一总体含有A A、B B、C C、D D、E E共共5 5个总体单

6、位，从个总体单位，从中随机抽取中随机抽取2 2个单位构成样本，可能的样本数目有多少？个单位构成样本，可能的样本数目有多少？ 采用考虑顺序的重复抽样，样本可能数目为采用考虑顺序的重复抽样，样本可能数目为5 55=255=25个个 采用不考虑顺序的重复抽样，样本可能数目为（采用不考虑顺序的重复抽样，样本可能数目为（5 52 2+5+5）/2=15/2=15个个 采用不考虑顺序的不重复抽样，样本可能数目为采用不考虑顺序的不重复抽样，样本可能数目为 5 5！/ /（2 2！（5-25-2）！）！=10=10个个 采用考虑顺序的不重复抽样，样本可能数目为采用考虑顺序的不重复抽样，样本可能数目为5 54=

7、204=20个个 第一次抽中中抽次二第EDCBAEEDECEBEAEEEDDDCDBDADDECDCCCBCACCEBDBCBBBABBEADACABAAAA2022-5-310相对于概率抽样而言相对于概率抽样而言抽取样本时不是依据随机原则，而是根据抽取样本时不是依据随机原则，而是根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查总体中抽出部分单位对其实施调查有方便抽样、判断抽样、自愿样本、定额有方便抽样、判断抽样、自愿样本、定额抽样等方式抽样等方式 非随机抽样非随机抽样2022-5-311方便抽样方便抽样调查调查过程中由调查员依据方便的

8、原则，自行确过程中由调查员依据方便的原则，自行确定入抽样本的单位定入抽样本的单位调查员在街头、公园、商店等公共场所进行拦截调查厂家在出售产品柜台前对路过顾客进行的调查优点：优点：容易实施，调查的成本低容易实施，调查的成本低缺点：样本单位的确定带有随意性，样本无法缺点：样本单位的确定带有随意性，样本无法代表有明确定义的总体，调查结果不宜推断总代表有明确定义的总体，调查结果不宜推断总体体2022-5-312判断抽样判断抽样研究人员根据经验、判断和对研究对象的了研究人员根据经验、判断和对研究对象的了解，有目的选择一些单位作为样本解，有目的选择一些单位作为样本有重点抽样，典型抽样，代表抽样等方式判断抽

9、样是主观的，样本选择的好坏取决于判断抽样是主观的，样本选择的好坏取决于调研者的判断、经验、专业程度和创造性调研者的判断、经验、专业程度和创造性抽样成本比较低，容易操作抽样成本比较低，容易操作样本是人为确定的，没有依据随机的原则，样本是人为确定的，没有依据随机的原则，调查结果不能用于对推断总体调查结果不能用于对推断总体2022-5-313自愿样本自愿样本被调查被调查者自愿参加，成为样本中的一分子，者自愿参加，成为样本中的一分子，向调查人员提供有关信息向调查人员提供有关信息例如，参与报刊上和互联网上刊登的调查问卷活动，向某类节目拨打热线电话等，都属于自愿样本自愿样本自愿样本与抽样的随机性无关与抽样

10、的随机性无关样本是有偏的不能依据样本的信息推断总体2022-5-314定额抽样定额抽样先将体中的所有单位按一定的标志先将体中的所有单位按一定的标志( (变变量量) )分为若干类，然后在每个类中采用分为若干类，然后在每个类中采用方便抽样或判断抽样的方式选取样本单方便抽样或判断抽样的方式选取样本单位位操作简单，可以保证总体中不同类别的操作简单，可以保证总体中不同类别的单位都能包括在所抽的样本之中，使得单位都能包括在所抽的样本之中，使得样本的结构和总体的结构类似样本的结构和总体的结构类似抽取具体样本单位时，不是依据随机原抽取具体样本单位时，不是依据随机原则，属于非概率抽样则，属于非概率抽样 2022

11、-5-315随机抽样与非随机抽样的比较随机抽样与非随机抽样的比较随机随机抽样抽样依据随机原则抽选样本样本统计量的理论分布存在可根据调查的结果推断总体非随机非随机抽样抽样不是依据随机原则抽选样本样本统计量的分布是不确定的使用样本结果推断总体的效果要差一些2022-5-3161 1 简单随机抽样（纯随机抽样）简单随机抽样（纯随机抽样）根据随机原则直接从总体中抽取单位构成样根据随机原则直接从总体中抽取单位构成样本的一种抽样方式。本的一种抽样方式。 仅适用于规模不大、分布比较均匀的总体仅适用于规模不大、分布比较均匀的总体（二）随机抽样的组织方式（二）随机抽样的组织方式每个容量为每个容量为n n的样本都

12、有同等机会的样本都有同等机会( (概率概率) )被抽中被抽中简单、直观，是最简单、最基本、最符合随机原简单、直观，是最简单、最基本、最符合随机原则，但同时也是抽样误差最大的抽样组织形式则，但同时也是抽样误差最大的抽样组织形式一般有抽签、抓阄、随机数码表、抽样函数等一般有抽签、抓阄、随机数码表、抽样函数等 2022-5-31763271 59986 71744 51102 15141 80714 58683 93108 13554 7994588547 09896 95436 79115 08303 01041 20030 63754 08459 28364 55957 57243 83865

13、09911 19761 66355 40102 26646 60147 1570246276 87453 44790 67122 45573 84358 21625 16999 13385 2278255363 07449 34835 15290 76616 67191 12777 21861 68689 0326369393 92785 49902 58447 42048 30378 87618 26933 40640 1628113186 29431 88190 04588 38733 81290 89541 70290 40113 0824317726 28652 56836 78351

14、 47327 18518 92222 55201 27340 1049336520 64465 05550 30157 82242 29520 69753 72602 23756 5493581628 36100 39254 56835 37636 02421 98063 89641 64953 99337 在随机数码表中，可以从任何一个位置、任何方在随机数码表中，可以从任何一个位置、任何方向开始挑选随机数字。一旦选择一个任意起点，就采向开始挑选随机数字。一旦选择一个任意起点，就采用事先确定的程序抽取样本。用事先确定的程序抽取样本。 随机数字表随机数字表（摘录）（摘录）2022-5-3182

15、2 类型抽样（分类抽样或分层抽样）类型抽样（分类抽样或分层抽样） 将总体全部单位分类，形成若干个类型组，然后从将总体全部单位分类，形成若干个类型组，然后从各类型中分别随机抽取若干单位组成样本的抽样形式。各类型中分别随机抽取若干单位组成样本的抽样形式。总体总体N N样本样本n n等比例抽取等比例抽取不等比例抽取不等比例抽取2NkN1N1n2nkn 能使样本结构更接近于总体结构，提高样本的能使样本结构更接近于总体结构，提高样本的代表性，适宜于单位标志值差异程度较大的总体，代表性，适宜于单位标志值差异程度较大的总体，能同时推断总体指标和各组的指标能同时推断总体指标和各组的指标2022-5-3193

16、3 等距抽样（机械抽样或系统抽样）等距抽样（机械抽样或系统抽样） 将总体单位按某一标志排序，然后按相等间隔将总体单位按某一标志排序，然后按相等间隔抽取样本单位构成样本的抽样形式抽取样本单位构成样本的抽样形式随机起点随机起点半距起点半距起点对称起点对称起点（总体单位按某一标志排序）（总体单位按某一标志排序）按无关标志排队，其抽样效果相当于简单随机抽样；按无关标志排队，其抽样效果相当于简单随机抽样；按有关标志排队，其抽样效果相当于类型抽样。按有关标志排队，其抽样效果相当于类型抽样。2022-5-3204 4 整群抽样整群抽样 将总体全部单位分为若干将总体全部单位分为若干“群群”，然后随机抽，然后随

17、机抽取一部分取一部分“群群”，被抽中群体的所有单位构成样本，被抽中群体的所有单位构成样本的抽样方式。的抽样方式。例：总体群数例：总体群数R=16 R=16 样本群数样本群数r=4r=4hlpdnnnnnA AB BC CD DE EF FG GH HI IJ JK KL LM MN NO OP PL LH HP PD D样本容量样本容量 简单、方便，能节省人力、物力、财力和时间，简单、方便，能节省人力、物力、财力和时间，但其样本代表性可能较差，产生的抽样误差较大。但其样本代表性可能较差，产生的抽样误差较大。2022-5-32155多阶段抽样多阶段抽样 指分两个或两个以上的阶段来完成抽取样本指分

18、两个或两个以上的阶段来完成抽取样本单位过程的抽样方式单位过程的抽样方式例：在某省有例：在某省有100100多万农户，需要抽取多万农户，需要抽取10001000户户调查农户生产性投资情况。调查农户生产性投资情况。 第一阶段：从该省所有县中抽取第一阶段：从该省所有县中抽取5 5个县个县 第二阶段：从被抽中的第二阶段：从被抽中的5 5个县中各抽个县中各抽4 4个乡个乡 第三阶段：从被抽中的第三阶段：从被抽中的2020个乡中各抽个乡中各抽5 5个村个村 第四阶段：从被抽中的第四阶段：从被抽中的100100个村中各抽个村中各抽1010户户样本样本n=100n=10010=1000(10=1000(户户)

19、 ) 既可以相对节约人力和物力，又可以利用现成既可以相对节约人力和物力，又可以利用现成的行政区划、组织系统作为划分各阶段的依据，但的行政区划、组织系统作为划分各阶段的依据，但抽样误差的计算要复杂得多。抽样误差的计算要复杂得多。 2022-5-322在实际工作中，选择适当的抽样组在实际工作中，选择适当的抽样组织方式主要应考虑：织方式主要应考虑：2022-5-323明确明确调查目调查目 的的 明确明确总体及总体及抽样单位抽样单位 确定或构确定或构建抽样框建抽样框 提出指标提出指标精度要求精度要求 选择抽样选择抽样组织形式组织形式（三）抽样方案的设计（三）抽样方案的设计 确定确定样本容量样本容量 制

20、定制定具体办法具体办法步骤步骤 1.1.抽样方案的设计内容抽样方案的设计内容2022-5-3242.2.抽样方案设计的基本原则抽样方案设计的基本原则（1 1）保证实现抽样随机性的原则）保证实现抽样随机性的原则（2 2）保证实现最大的抽样效果原则）保证实现最大的抽样效果原则3.3.抽样方案设计中的重要问题抽样方案设计中的重要问题（1 1）保证随机原则的实现）保证随机原则的实现（2 2）要考虑样本容量和结构问题）要考虑样本容量和结构问题 （3 3）关于抽样的组织形式问题）关于抽样的组织形式问题（4 4）关于调查费用的问题）关于调查费用的问题2022-5-325（一）关于分布的几个概念（一）关于分布

21、的几个概念（二）抽样分布的理论基础（二）抽样分布的理论基础（三）样本均值的抽样分布（三）样本均值的抽样分布（四）样本比例的抽样分布（四）样本比例的抽样分布二、抽样分布二、抽样分布2022-5-326总体变量总体变量x x的概率分布，它由变量的概率分布，它由变量x x的所有取值的所有取值和与之相应的概率组成。和与之相应的概率组成。反映总体分布特征的常用指标有总体均值反映总体分布特征的常用指标有总体均值和和总体标准差总体标准差总体分布通常是未知的总体分布通常是未知的总体（一）关于分布的几个概念（一）关于分布的几个概念总体分布总体分布XPNXFPXNFX222)()(N=FP=F/F2022-5-3

22、27样本中各观察值的概率分布，它由一个样本的样本中各观察值的概率分布，它由一个样本的所有观察值所有观察值x x和与之相应的概率和与之相应的概率p p组成。组成。样本分布的特征值主要有样本均值样本分布的特征值主要有样本均值 与样本标与样本标准差准差s s 当样本容量当样本容量n n逐渐增大时，样本分布逐渐接近逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布总体的分布 样本分布样本分布x2022-5-328样本统计量（样本均值样本统计量（样本均值, , 样本比例，样本方样本比例，样本方差等）的概率分布，由各样本统计量的值和差等）的概率分布，由各样本统计量的值和与之相应的概率组成。与之相应的概率组成。 样本统

23、计量是随机变量，其结果来自容量相样本统计量是随机变量，其结果来自容量相同的所有可能样本同的所有可能样本是一种理论概率分布。提供了样本统计量稳是一种理论概率分布。提供了样本统计量稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据样推断科学性的重要依据 抽样分布抽样分布2022-5-329总体总体样样本本样样本本样样本本抽样分布的形成过程抽样分布的形成过程计算样本统计量计算样本统计量如：样本均值如：样本均值2022-5-330【例】【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4

24、 。总体的均值、方差及分布如下:总体分布总体分布均值和方差均值和方差5 . 21NXNii25. 1)(122NXNii2022-5-331现从总体中抽取现从总体中抽取n n2 2的简单随机样本，在重复抽的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有样条件下，共有4 42 2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n = 2 的样本（共16个）2022-5-332 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值计算出各样本的均值，如下表。并给

25、出样本均值的抽样分布的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）X样本均值的抽样分布1.00.10.20.3P (X )1.53.04.03.52.02.502022-5-333比较及结论比较及结论： 1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n为样本数目MnMxnixix222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()5 . 2160 . 45 . 10 . 11Mxniix2022-5-334

26、= 2.5 2 =1.25总体分布总体分布142300.10.20.3抽样分布抽样分布P ( X )1.000.10.20.31.53.04.03.52.02.5X5 . 2x625. 02XP ( X )2022-5-335进行进行 n n 次重复试验，出现次重复试验，出现“成功成功”的次数的次数X X的的概率分布称为二项分布概率分布称为二项分布, ,记为：记为：设设X X为为 n n 次重复试验中事件次重复试验中事件A A出现的次数，出现的次数，X X 取取 x x 的概率为的概率为P P)!( !),2, 1 ,0(xnxnxnCnxqpCxXPxnxxn式中：二项分布二项分布X = x

27、ix1 ，x2 ， ，xnP(X =xi)=PiP1 ，P2 ， ，Pn),(pnBX重复试验的条件：重复试验的条件：一次试验只有两个可能结果；一次试验只有两个可能结果；试验可以重复进行；试验可以重复进行；每一次试验成功的概率都是每一次试验成功的概率都是p p。 2022-5-336二项分布二项分布的数学期望为的数学期望为 E ( X ) np方差方差为为 D ( X ) npq二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差:2022-5-337 1.1.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布 2.2.经典统计推断的基础经典统计推断的基础 3.3.若随机变量的概率密

28、度函数为：若随机变量的概率密度函数为：正态分布正态分布),(2NXxexfx,21)(222)(则称则称X X服从均值为服从均值为、方差为、方差为2 2的正态分布，记为的正态分布，记为 2022-5-338概率密度概率密度函数在函数在x x 的上方，即的上方，即f f( (x x)0)0正态正态曲线的最高点在均值曲线的最高点在均值 ，它也是分布的中位数和，它也是分布的中位数和众数，即对称分布众数，即对称分布正正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值 和标准差和标准差 来区分。来区分。 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置, , 决决定曲线的

29、平缓程度，即宽度定曲线的平缓程度，即宽度曲曲线线f f( (x x) )相对于均值相对于均值 对称，尾端向两个方向无限延对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交伸，且理论上永远不会与横轴相交随机随机变量的概率由曲线下的面积给出变量的概率由曲线下的面积给出正态正态曲线下的总面积等于曲线下的总面积等于1 1正态分布的特点正态分布的特点2022-5-339 和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响xCAB2022-5-340正态分布的概率正态分布的概率概率是曲线下的面积概率是曲线下的面积! !?d)()(baxxfbxaP2022-5-341正态分布函数正态分布函数随机变量的概率也可以

30、用分布函数随机变量的概率也可以用分布函数F F( (x x) )来表示来表示分分布函数定义为布函数定义为)(d)()()(xxxxfxXPxF 根据分布函数，根据分布函数，P P( (a a X X b b) )可以写为可以写为)()(d )()(aFbFxxfbXaPbaf(x)xx0F ( x0 )2022-5-342标准正态分布标准正态分布一般的正态分布取决于均值一般的正态分布取决于均值 和标准差和标准差 计算概率时计算概率时 ，每，每一个正态分布都需要有一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态

31、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表分布，计算概率时只需要查一张表2022-5-343标准正态分布函数标准正态分布函数zzz,e21)(22 标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数任何一个任何一个一般的正态分布，均可通过下面的线一般的正态分布，均可通过下面的线性变换转化为标准正态分布性变换转化为标准正态分布)1 ,0( NxZ 标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数ztzxxxzde21d)()(2-22022-5-344标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用将一个一般的正态分布转换为标准正态分布将一个一般的正态分布转换为标准正态分布计算概率时

32、计算概率时，只要查标准正态概率分布表即可，只要查标准正态概率分布表即可对于负对于负的的x x ，可由可由 (-(-x x) ) x x 得到得到对对于标准正态分布，即于标准正态分布，即X XN N(0,1)(0,1)，有，有P P ( (a a X X b b) ) b b a a P P (|X| (|X| a a) ) 2 2 a a 1 1对对于一般正态分布，即于一般正态分布，即X XN N( ( , , ) )，则有，则有abbXaP)(2022-5-34512. 01052 . 6XZx x =5=5 =10=106.26.2 =1 =1Z Z 0 00.120.12.0478.04

33、782022-5-346【例【例3 3】设设X XN N(0(0，1)1)分布，求以下概率：分布，求以下概率： (1) (1) P P( (X X 1.5) 2) 2)；(3)(3)P P(-1(-1X X 3)3)； (4) (4) P P(| (| X X | | 2) 2) 解解：(1) (1) P P( (X X 1.5) = 2)=1- 2)=1- P P( (X X 2)=1-0.9973=0.0227 2)=1-0.9973=0.0227 (3) (3) P P(-1(-1X X 3)= 3)= P P( (X X 3)- 3)- P P( (X X -1)-1) = = (3)

34、- (3)- (-1)= (-1)= (3) 1-(3) 1- (1)(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.84 = 0.9987-(1-0.8413)=0.84 (4) (4)P P(| (| X X | | 2)= 2)=P P(-2(-2 X X 2)= 2)= (2)- (2)- (-2)(-2) = = (2)- 1-(2)- 1- (2)=2 (2)=2 (2)- 1=0.9545(2)- 1=0.95452022-5-347【例【例4 4】设设X XN N(5(5，3 32 2) ) ，求以下概率，求以下概率 (1) (1) P P( (X X 10) 10) ；

35、(2) (2) P P(2(2X X 10 0 0，有：，有：1|limnmPn 该定律表明：当重复试验次数该定律表明：当重复试验次数n n充分大时，事件充分大时，事件A A发生的频率发生的频率m m/ /n n依概率收敛于事件依概率收敛于事件A A发生的概率，发生的概率，即即频率具有稳定性。频率具有稳定性。 大数定律的实践意义：一是抽样必须遵循随机大数定律的实践意义：一是抽样必须遵循随机原则；二是抽样必须遵循大量原则。原则；二是抽样必须遵循大量原则。 2022-5-354阐述大量随机变量之和的极限分布阐述大量随机变量之和的极限分布是正态分布的一系列定理的总称。是正态分布的一系列定理的总称。

36、中心极限定理中心极限定理独立同分布中心极限定理（也称为列维独立同分布中心极限定理（也称为列维- -林德伯林德伯格定理）：格定理）：设设x x1 1,x,x2 2,x,x3 3是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望序列，且存在有限的数学期望和方差和方差，那么，那么当当nn时：时：),(21nnNxnii),(2nNx或：该定理表明该定理表明:不论总体服从什么分布，只要其数学期不论总体服从什么分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样，当样本容望和方差存在，对这一总体进行重复抽样，当样本容量充分大时，量充分大时， 或或 就趋近于正态分布。就趋近于正态分布

37、。niix1x中心极限定理中心极限定理2022-5-355当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 xn 设从均值为设从均值为 ，方差为，方差为 2 2的一个任意总体中抽取容的一个任意总体中抽取容量为量为n n的样本，当的样本，当n n充分大时，样本均值的抽样分布充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为近似服从均值为、方差为、方差为2 2/ /n n的正态分布的正态分布一个任意分布的总体 x X2022-5-3562022-5-357中心极限定理的意义在于：当我们的认识中心极限定理的意义在于：当我们的认识对象分布未知时，只要坚持随机抽取足够多对象分布未知时，只要坚

38、持随机抽取足够多的样本单位，就可以使样本统计量服从或近的样本单位，就可以使样本统计量服从或近似服从正态分布，继而便可运用正态分布理似服从正态分布，继而便可运用正态分布理论，根据样本信息来推断认识对象总体的数论，根据样本信息来推断认识对象总体的数量特征。量特征。 2022-5-358在随机选取容量为在随机选取容量为n n的样本时，由样本均值的所的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布一种理论概率分布推断总体均值推断总体均值 的理论基础的理论基础（三）样本均值的抽样分布（三）样本均值的抽样分布2022-5-359样本均值的数学期望样本均值的数

39、学期望样本均值的方差样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布特征样本均值的抽样分布特征)(xEnX22122NnNnX2022-5-3603. 样本均值的标准误差样本均值的标准误差所有可能的样本均值的标准差，测度所有所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度样本均值的离散程度计算公式为计算公式为1NnNnnxx不重复抽样：重复抽样：2022-5-3612 2已知时已知时, ,样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 总体总体是否正态分布是否正态分布是是小小样本容量样本容量n正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布2022-5-362表明：表明： 当总体服从正态分布

40、时，不论样本容量多大，样当总体服从正态分布时，不论样本容量多大，样本均值都服从正态分布，且样本均值的数学期望等本均值都服从正态分布，且样本均值的数学期望等于总体均值，样本均值的方差等于总体方差的于总体均值，样本均值的方差等于总体方差的1/n 1/n 当总体分布为非正态总体或分布形式未知时，样当总体分布为非正态总体或分布形式未知时，样本容量充分大时（一般要求本容量充分大时（一般要求n30n30），样本均值的抽），样本均值的抽样分布可以近似地用正态分布样分布可以近似地用正态分布 来描述。来描述。 总体为非正态总体或分布形式未知，如果样本容总体为非正态总体或分布形式未知，如果样本容量太小，我们无法从

41、理论上探讨样本均值的抽样分量太小，我们无法从理论上探讨样本均值的抽样分布布 )1,(2nN2022-5-363设从一个均值设从一个均值=10=10，标准差，标准差=0.6=0.6的总体中，的总体中，随机抽取容量随机抽取容量n=36n=36的样本。要求：的样本。要求：的近似概率。小于计算样本均值9 . 9(1)x的近似概率。大于计算样本均9 . 9(2)x范围内的近似概率。在总体均值附近计算样本均1 . 0(3)x2022-5-364解：解：根据中心极限定理，不论总体分布是什么形状，根据中心极限定理，不论总体分布是什么形状，只要样本足够大（只要样本足够大（n30n30时），样本均值时），样本均值

42、 )1 . 0 ,10(),366 . 0,10(22NxNx即1587.08413.01)1(1)1(1)1()1.0109.91.010()9.9()1(ZPZPxPxP2022-5-3658413.01587.01)9.9(1)9.9()2(xPxP6826. 018413. 021) 1 (2)1 . 0109 . 9()1 . 0101 .10()1 . 0101 .101 . 0101 . 0109 . 9() 1 .109 . 9() 3(ZPZPxPxP2022-5-366【例】【例】某厂生产的某种节能灯管的使用寿命某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的

43、结果，平服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为均使用寿命为10501050小时，标准差为小时，标准差为200200小时。小时。试求：试求： （a a）使用寿命在）使用寿命在500500小时以下的灯管占多小时以下的灯管占多大比例？大比例？ （b b）使用寿命在）使用寿命在85085014501450小时的灯管占小时的灯管占多大比例？多大比例？ （c c）以均值为中心，）以均值为中心，9595的灯管的使用的灯管的使用寿命在什么范围内？寿命在什么范围内？2022-5-367 解：解：设设 X X使用寿命，则使用寿命，则X XN N (1050 (1050，2002002 2 ) )75.

44、22001050500)500( ZPXP200105014502001050850)1450850( ZPXP95.0392|1050|96.1200|1050| XPXZP(2)(-1)0.977250.158650.8186 95的灯管寿命在均值的灯管寿命在均值392左右（即左右（即6581442）小时）小时1(2.75)10.997020.002982022-5-3682 2未知时未知时, ,样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 总体总体是否正态分布是否正态分布是是小小样本容量样本容量n t分布分布 t分布分布非正态分布非正态分布2022-5-369表明：当总体方差未知时，对于正态总体

45、（无论样本表明：当总体方差未知时，对于正态总体（无论样本容量的大小），或者总体非正态或分布形式未知但样容量的大小），或者总体非正态或分布形式未知但样本容量充分大时，样本均值的标准化值服从本容量充分大时，样本均值的标准化值服从 分布分布)1(nt值得注意的是，当样本容量逐渐增大时，值得注意的是，当样本容量逐渐增大时， t分布逐渐分布逐渐逼近标准正态分布。所以，当样本容量很大时，除逼近标准正态分布。所以，当样本容量很大时，除了可以利用了可以利用 进行相关计算外，也可进行相关计算外，也可以利用以利用 近似服从标准正态分布来计算近似服从标准正态分布来计算 )1(ntnsxnsx2022-5-370【例

46、】【例】已知湖南省已知湖南省20092009年的全省粮食总平均亩产为年的全省粮食总平均亩产为600600公斤，其分布形式及方差均未知。现从全省随机抽取公斤，其分布形式及方差均未知。现从全省随机抽取49004900亩进行调查了解，测得该样本的标准差为亩进行调查了解，测得该样本的标准差为400400公斤，公斤，求这求这49004900亩的平均亩产不低于亩的平均亩产不低于620620公斤的概率。公斤的概率。)620(,400,4900,600 xPsn求已知分析：分析：解：解：粮食单产粮食单产x的分布形式及方差均未知，故以样的分布形式及方差均未知，故以样本方差代替总体方差，从理论上讲，本方差代替总体

47、方差，从理论上讲， )1(ntnsx)5.3()5.3()4900400600620()620()620( tPnsxPnsxPnsnsxPxP则：2022-5-371一般情况下，根据一般情况下，根据t t值与自由度在值与自由度在t t分布表中可以查分布表中可以查找相应的概率。由于这里的找相应的概率。由于这里的t t分布的自由度很大，分布的自由度很大，为为4900-1=48994900-1=4899，这时的，这时的t t分布与标准正态分布几乎分布与标准正态分布几乎一样，故可以查标准正态分布表，得一样，故可以查标准正态分布表，得 000233. 0999767. 01)5 . 3()5 . 3(

48、)620( zPtPxP结果表明：这结果表明：这49004900亩的平均亩产不低于亩的平均亩产不低于620620公斤的概公斤的概率只有率只有0.0233%0.0233%。 2022-5-372（四）样本比例的抽样分布（四）样本比例的抽样分布 1.1.是非标志均值与比例的关系是非标志均值与比例的关系对于是非标志总体对于是非标志总体X X而言，而言，X X的取值只有两个：的取值只有两个：0 0和和1 1。设总体的单位数为。设总体的单位数为N N，具有某一特征（如产，具有某一特征（如产品合格）的比例为品合格）的比例为，则：，则： NNFXF是非标志总体的均值：)1 ()1 ()1 ()(2222NN

49、NFFX是非标志总体的方差：2022-5-373对于是非标志的样本来说，其取值也是两个：对于是非标志的样本来说，其取值也是两个：0 0和和1 1。设样本容量为设样本容量为n n，具有某一特征（如产品合格）的，具有某一特征（如产品合格）的比例为比例为p,p,则：则： pnnpfxfx是非标志的样本均值：)1 ()1 ()1 ()(2222ppnpnppnpffxxs是非标志的样本方差：结论：结论：是非标志的均值等于其比例。是非标志的均值等于其比例。 2022-5-374样本比例的数学期望样本比例的数学期望样本比例的方差样本比例的方差重复抽样1. 不重复抽样样本比例的抽样分布特征样本比例的抽样分布

50、特征)(pEnp)1 (21)1 (2NnNnp 样本比例的抽样分布是容量相同的所有可能样本样本比例的抽样分布是容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布。其分布特征如下：的样本比例的概率分布。其分布特征如下：2022-5-375容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布布是非标志的总体方差已知，且是非标志的总体方差已知，且 样本比例的抽样分布可用正态分布样本比例的抽样分布可用正态分布近似近似 ，一种理论概率分布一种理论概率分布推断总体比例推断总体比例的理论基础的理论基础2.2.样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布正态分布正态分布时5)1 (, 5nn)1 ,0()1(Nnp)1 (,N2022-5-376【例】【例】假设有一批种子的发芽率为假设有一批种子的发芽率为0.70.7。现有这种种子。现有这种种子100100颗，试求：颗，试求：（1 1）其中有）其中有7272颗以上发芽的概率。颗以上发