第十章电磁波辐射

1、第十章第十章 电磁波辐射电磁波辐射10.1 滞后位滞后位 022221tUcUJtAcA022221012tUcA辐射的基本问题：辐射的基本问题：由已知的时变电荷和电流计算任意点的电磁场。 1、达朗贝尔方程的解、达朗贝尔方程的解电场矢量 和磁通密度 可以由动态电位U 和动态磁矢位 导出。自由空间中，动态位满足非齐次波动方程EHA并且矢量位 和标量位U 之间满足罗伦兹条件A022UkUJAkA022000UjAABAjUEdRezyxzyxUjkR),(41),(0其复数形式表示为关于动态电位U 的方程，其解可以写成如下形式： 此式代表体积 内的分布电荷在点P (x,y,z)处产生的电位。R 是

2、电荷元 到点P 的距离， d )()(zzyyxxR)()(),(41),(41020222dRezyxkdRezyxUkUjkRjkRdRekRezyxjkRjkR220),(41)(111111)(22RjkeReRReReeRReReRejkRjkRjkRjkRjkRjkRjkRjkR1)()()(323ReRRjkeRjkeRRjkRRReRReRRjkjkRjkRjkRjkRjkR证明：将U 的解代入波动方程左边，得由于2222222121jkRjkRjkRjkRjkRjkRj kkeeejkeRRRRekeRR drrezyxdRezyxUkUjkRjkR)(4),(411),(4

3、1020220),(zyx所以dRezyxzyxUjkR),(41),(0因此是波动方程的解。JAkA022对于方程dRezyxJAjkR),(40可以得到其解为 r )(r 图101 滞后位 x y z S )(rP r R d o 2、滞后位、滞后位jkReRdzyxzyxdU),(41),(0体元 中电荷在 点处产生的电位复振幅为 d),(zyxP若电荷密度的振幅为 ，初相位为 ，则 处 t 时刻),(0zyx),(zyxP),(41Re),(00tjjkRjeeRdezyxtrdU)cos(4),(00kRtRdzyx00( ,)cos()4x y z dkRtR 因此，P 点处 t

4、时刻的电位不是 t 时刻的源决定的，而是在此之前 时刻的源电荷所产生。)(kRt )cos(4),(),(00kRtRdzyxJtzyxAdjezyxJJ),(0d如果 内是电流 ，则它在P 的产生的磁矢位为 可见，场点的位函数相位滞后于场源的相位。因此dRezyxJAjkR),(40dRezyxzyxUjkR),(41),(0jkRe称为滞后位滞后位。因子 称为相位因子相位因子。BA 00()AEUj Aj Aj 利用滞后位，可以求得辐射问题的电场和磁场10.2 赫芝偶极子辐射赫芝偶极子辐射 图102 赫芝偶极子 )(tQ )(tQt lId dl 一个很短的直线电流元构成最简单的辐射天线，

5、称为赫芝偶极子赫芝偶极子 Re)(tjeItI当线元 上有正弦电流 时， l dRe)(tjeQtQl dReIAljkR40RelIdAjkR40l djIlQdP)(线元两端将出现一对等值异号电荷这就构成了电矩矢量 根据滞后位计算式有所以，赫芝偶极子所产生的滞后磁矢位为 lId A 图103 赫芝偶极子的磁矢位 y z r A rA x reIdlAAzAjkrzz400sincosAAAAAzzr0sinsin111200rAArrrrrAHrjkrejkrjkrkIdl22)(11sin4考虑赫芝偶极子位于坐标原点且与z轴同方向的情况矢量磁位 在球坐标系里的各分量为A于是对应的磁场矢量

6、为利用麦克斯韦第一方程可得电场矢量HjE01Hrrrrrrjsin00sinsin11203220)(1)(1cos24jkrjkrrckIdljkrejkrjkrjkr32)(1)(11sin赫芝偶极子的辐射公式辐射公式说明：电磁场矢量不仅与距离 r 有关，而且也是极角的函数 电磁场的表达式包括若干项，每项之间相差一个因子(1/jkr) 一、赫芝偶极子的近区场一、赫芝偶极子的近区场sin412rIdlH )sincos2 (430rrIdljE)sincos2 (4130rrp1、电磁场矢量、电磁场矢量2、电磁场性质、电磁场性质在满足r l 条件下，如果 k r 1，即 的区域 2/r1 j

7、krekr/1电磁场表达式中 的高次项起主要作用，而 jIdlp/所以其中时变偶极子的近区场称为准静态场准静态场或似稳场似稳场。电场矢量与磁场矢量之间有的 相位差，故说明近区电场和磁场的主要能量只是相互转换，而没有向外辐射。 20ReHES一、赫芝偶极子的远区场一、赫芝偶极子的远区场1、电磁场矢量、电磁场矢量2、电磁场性质、电磁场性质jkrerIdljEsin40jkrerjkIdlHsin4当 ，即 的区域称为远区。此时，远区电磁场的表达式中 的低次项起主要作用，结果只剩下 的一次项1kr2/rr1r1rHEHES21Re21Re22)()(sin22rIdlr远区场只有两个分量： 和 ，并

8、且相位相同EH能流密度平均值不为零，说明远区场形成电磁场能量沿 方向运动，所以赫芝偶极子的远区场称为辐射场辐射场。 r 坡印廷矢量平均值为 球面波 0000120( )EHk00ReRe44ewE EE E00ReRe44HHH H0Re4mH Hwckvp00/1/r 远区电磁场运动方向为 ，等相位面为 r=C ，是球面，称为球面波球面波。 ,EHS同时 三者方向为右旋系统，且 方向上无电磁场分量，所以又称为横电磁波横电磁波或TEM波波。 r 波速波阻抗电场和磁场的平均能量密度相等，且能速度等于相速度。 00111ReRe22ReRe22eEEE HSvwE EE EevevwS00011p

9、v 能速度0Re2emwwwE E总能量因为所以三、赫芝偶极子的辐射功率三、赫芝偶极子的辐射功率1、坡印廷矢量平均值、坡印廷矢量平均值 )(2242)(1sin42121RekrrkIdlHES222sin221)(rIdlr有功能流密度是由电磁场分量的一阶项引起的，高阶项对此无贡献。 2、平均辐射功率、平均辐射功率 ddrrSPsasin22022220sinsin221)(ddrrrIdlrdIdl032sin2221)(2)(3221Idl 赫芝偶极子把约束在导体周围的电磁能量转变为自由传播的电磁波，它构成一个基本辐射天线，称其为元天线元天线。 讨论半径为r的球面上积分 Pa 称为赫芝偶

10、极子的平均辐射功率平均辐射功率。由Pa的计算式可见，同样尺寸的偶极子，波长越短辐射功率越大。 3、辐射电阻、辐射电阻 aaRIP221222)()(8032dldlRa 辐射电阻是表征天线辐射本领的一个参数，Ra 越大，相同电流下辐射的功率越大。记则4、方向性函数、方向性函数max),(),(EEF辐射场表达式中因子 的存在，说明赫芝偶极子的辐射具有方向性。sin习惯上常把天线任意点电场的振幅与通过该点的球面上电场最大值之比，称为归一化方向性函数归一化方向性函数，简称方向性函数 z y x y x y E E E (a) (b) (c) 元天线 图104 赫芝偶极子天线的方向图 z ( )si

11、nF对于赫兹偶极子方向性函数为00000002k 00sinsin42mIdlIdlErr20401223aaPPIdl0230sinsin40210amaPEPrr)mV(03. 010012sin1 . 01030mE由此电场矢量的振幅可写成 因此 所以 W1 . 0,2,m100aPr将代入上式得 例10.1 已知赫芝偶极子的辐射功率 ，假设与偶极子垂直平面内距离 可视为远区场，求此处的电场强度。 m100lmW100aP由平均辐射功率表达式得解：作变换10.3 磁偶极子天线的辐射磁偶极子天线的辐射 磁偶极子：磁偶极子：一个半径无限小的电流环。 r R 图105 磁偶极子的辐射 x y

12、z I o l r )(rP 实际的磁偶极子：半径 ， 上面有均匀电流 ，则atIIcos0l dReIAljkR400)(1 )(rRjkeeeejkrrRjkjkrjkRl dejkRjkrRIAjkrl)1 (1400lljkrl djkRl dIejkr44)1 (0001、磁矢位、磁矢位Rar对于远场情况 ，则jkrerrmjkrA304)1 ()()1 (sin420arejkrrmjkr因此所以有静磁偶极子静磁偶极子= 0AH01323)(1)(1cos241jkrjkrremkjjkr32)(1)(11sinjkrjkrjkrHjE0130211sin4()jkrmk ejkr

13、jkr2、电磁场、电磁场jkrermkHsin41220sin4jkrEmker磁偶极子的远区场为 3、辐射功率和辐射电阻、辐射功率和辐射电阻辐射功率 辐射电阻 424160amP6420adR4、方向性函数、方向性函数磁偶极子与电偶极子天线的方向性函数相同 磁偶极子与电偶极子天线方向图亦相同，但是电磁场的方向互换。( )sinF5、辐射能力、辐射能力尺度相近磁偶极子的辐射能力远比电偶极子的辐射能力差。 见例例10.2 10.4 线天线线天线 1 0 7 对 称 振 子 辐 射 场 计 算 用 图 l -l x y z o r R ) (r P z d )(z I )0()(sin)0()(s

14、in)(00zzlkIzzlkIzI天线由理想导体构成，两臂长均为l，中心馈电，导体直径 2a ，略去由于辐射引起的分布电流畸变，高频电流沿导线的分布可近似表示为 1、对称线天线的辐射场、对称线天线的辐射场jkReRzdzIjEdsin4)(0振子上的正弦电流元 可以看作一个赫芝偶极子。它所产生的远区电场复矢量为zdzI)( 考虑到远区场条件，用 r 代替R 对于振幅影响可以略去不计，而对相位影响表现在相位因子中，不能忽略，于是 1222(2cos )(cos )kRk rzrzk rzcos0sin( )4ljkrjkzljEeI z edzr22sin() sin()cos()axaxee

15、bxc dxabxcbbxcab0coscos000sinsin()sin()4ljkrjkzjkzljIEeeklkz dzeklkz dzr0cos(cos )cos2sinjkrIklkljer所以对称振子上电流产生的远区电场是因此 积分2、半波振子天线、半波振子天线辐射场 图 1 0 8 半 波 振 子 的 方 向 图 z x ), (F 方向性函数sin)coscos(6020jkrerIjEEHHH,sin)coscos(),(),(2mEEF此时k l =/ 2，带入线天线电场表达式中得辐射电场 对应的磁场矢量为 半波天线的方向性函数为 当 2l =/ 2时，线天线称作半波振子天

16、线221222022sin)cos(cos60212121Re21RerIEHEHES02220202221220202sin)cos(cos30sinsin)cos(cos6021dIdrrdIPa例10.3 计算半波振子的辐射电阻辐射功率为上式的球面积分 辐射电阻解：半波振子的辐射功率流密度为 22200011cos13030ln2(2 )22axPIdxICix积分得5772. 00228. 0)2(,cos)(0CidtttxCi73,21)73(212020aaaRRIIP式中 为欧拉常数， 为余弦积分Ci因此，半波振子的辐射功率和辐射电阻分别为10.5 天线的方向性系数和增益天线的

17、方向性系数和增益1、方向性增益、方向性增益方向性增益：反映不同天线在某一方向上辐射能量的集中程度。定义式a. 当天线与一无方向性天线具有相同辐射功率时，天线在该方向上的功率密度与无方向性天线在相同距离上任意方向的功率密度之比；b. 天线功率密度在全方向的功率平均值之比。 sddrSrSsin41),D(22sdSS4 22max11Re( , )22ESEHrF ),(),(maxFEEsdFF),(),(4),D(22利用 表示( , )F ( , )D 根据 的定义式，任意方向电场幅值为( , )F 坡印廷矢量的时间平均值为所以2、方向性系数、方向性系数 场强（或功率）为最大的方向上的方向

18、性增益称为天线的方向方向性系数性系数，记作D。它是天线的最大方向性增益。 1),(maxF),(4D2dF因为所以daainaaPPPPPDGa3、天线的效率、天线的效率假定天线的总输入功率为Pin，辐射功率为Pa ，总损耗功率为Pd4、天线增益、天线增益 天线增益：天线最大辐射方向的能流密度与无损耗情况下各方 向的平均能流密度之比。 方向性系数和增益都是功率与功率之比值，因此，工程上常用dB作为它们的计量单位，即dBG10lgGdBD10lgD和 f0主波瓣宽度主波瓣宽度5、波瓣图、波瓣图实用天线的方向图也称作波瓣图波瓣图。 最大辐射方向相对应的波瓣称为主瓣主瓣，其余的称为副瓣副瓣。 主瓣两

19、侧辐射功率密度下降到最大辐射功率密度一半的方向间夹角，称为主波瓣宽度主波瓣宽度，用 表示，习惯上也叫3dB宽度宽度。 5 . 02E5 . 02H5 . 02对于微波天线常用 和 来分别表示E 面和H面的波瓣宽度。 10.6 天线阵天线阵 2r 1 图109 二元天线天线阵轴线 天线1 天线2 d 2 1r cosd P 将许多天线（阵元）有规则地排在一起就构成天线阵天线阵。 阵元为同一类天线，取向相同，阵元天线间距离为d，1、二元天线阵、二元天线阵dr 1dr 212rr 2121,cosrrdjemII12coskd)1 (121jmeEEEE它们与场点距离分别为 r1 和 r2 。在远场

20、条件下 ，幅度系数中令 相位系数中 令两天线上电流大小和相位关系为 天线2的辐射波到达P点时，较天线1的辐射波超前相位 于是，合成电场的复振幅为 2、N 元天线阵元天线阵 均匀直线天线阵均匀直线天线阵：天线阵各阵元有相同的取向和等距离排成一条直线，电流大小相等，相位则以均匀的比例递增或递减。 NEEEE211 )1)21NjjjeeeE设 N 元均匀直线式天线阵阵元之间距离为d，相位差为 。令 ，则合成电场复振幅为 coskd1211sin121sin2NjNjjNeEEE ee2sin2sin0NEE 利用等比级数公式，可得 中心阵元与阵元1之间的相位差故用中心阵元表示的合成电场为 阵因子阵因子当相邻阵元