第2章 X射线衍射方向

1、11第二章第二章 X射线衍射方向射线衍射方向2第二章第二章 X射线衍射方向射线衍射方向n那么晶体的哪些要素对晶体的哪些要素对X射线衍射产生影响呢？射线衍射产生影响呢？为此，有须对晶体几何学晶体几何学作一简单介绍。n晶体几何学：晶体几何学：范围很广，在此只讨论最简单的问题： 1. 晶体中的原子是如何排列及其排列方式的表示方法晶体中的原子是如何排列及其排列方式的表示方法! 2. 不同排列方式会给不同排列方式会给X射线衍射结果带来什么样的影响。射线衍射结果带来什么样的影响。nX射线衍射分析：射线衍射分析：以X射线射线在晶体晶体中的衍射现象衍射现象为基础的。n衍射分析：衍射分析：可归结衍射方向衍射方向

2、及衍射强度衍射强度两方面问题。n本章介绍的布拉格方程布拉格方程就是阐明衍射方向衍射方向的基本理论。3第一节第一节 晶体几何学简介晶体几何学简介4第一节第一节 晶体几何学简介晶体几何学简介n天然矿物晶体：天然矿物晶体：n们通过对天然矿物外部形态的观察发现，绝大多数天然矿物常具有独特的规则几何多面体具有独特的规则几何多面体的外形。的外形。n外表多为平整的面平整的面所包围。n人们将这种天然生成的固体称为晶体晶体，称其平面为晶面晶面。5第一节第一节 晶体几何学简介晶体几何学简介 n晶体：晶体：晶体是由原子、离子或分子在三维空间按一定周期性重复排列所构成的固体物质。n有单晶单晶、多晶多晶、微晶微晶、纳米

3、晶纳米晶等。n单晶体：单晶体：整个晶体中原子按一定周期性重复排列的。食盐(NaCl)的晶体结构6第一节第一节 晶体几何学简介晶体几何学简介n多晶体：多晶体：许多小单晶按不同取向聚集而成许多小单晶按不同取向聚集而成的晶体物质。n晶体并非局限于天然生成的固体，金属和合金金属和合金在一般条件下都是晶体，一些陶瓷材料陶瓷材料是晶体，高聚物高聚物在某些条件下也是晶体。n晶体的特点：晶体的特点：长程有序，长程有序，主要是周期性周期性或准周期性。n不同的晶体，原子、离子或分子的排列方式各不相同，呈现出各种不同的性质。n但并不是所有固体都是晶体。n非晶体非晶体(amorphous) ：n构成物质的分子或原子不

4、具有周期性排列。如玻璃玻璃。n特点：特点：短程有序短程有序，而长程无序长程无序的无定性体。7晶体非晶体8一、空间点阵（一、空间点阵（1） 1、阵点阵点（lattice point） 结构基元：结构基元：晶体中的原子、离子、分子或其基团原子、离子、分子或其基团在三维空间中作有规则的重复排列，作为基本结构单元的原子、离子原子、离子或其基团或其基团称为结构基元结构基元。 阵点：阵点：为反映晶体中原子排列周期性。用一个几何点几何点表示一个结构基元结构基元，此几何点几何点称为“阵点阵点”或“结点结点”。n点阵中任一阵点：都具有完全相同的几何环境几何环境与物理化学物理化学环境环境，即阵点阵点应是等同环境的

5、点。应是等同环境的点。9一、空间点阵（一、空间点阵（2）空间点阵示意图 单位点阵或单胞（晶胞）3 3、单位点阵单位点阵或或单胞：单胞： 整个空间点阵可由一个最简单的六最简单的六面体面体在三维方向上重复排列而得， 称此六面体六面体为单位点阵单位点阵(unit lattice)或单胞单胞(unit cell)或晶胞。晶胞。2、空间点阵空间点阵（space 1attice） 将相邻结点按一定的规则用线连接，便构成了空间点阵空间点阵(space 1attice)或晶体点阵晶体点阵，简称点阵点阵。 a c b a c b 10一、空间点阵（一、空间点阵（3）4. 基本矢量基本矢量（单位矢量）：（单位矢量

6、）：n任取一结点为坐标原点，并在空间三方向上选取重复周期a、b、c。矢量矢量a、b、c称为基本矢量基本矢量或基矢。基矢。由3个基矢构成的平行六面体称为单位晶胞单位晶胞或单胞单胞。5. 点阵参数点阵参数或晶格常数晶格常数:n单胞大小和形状：单胞大小和形状：用3个基矢长度a、b、c及相应夹角、来表示。na、b、c以及、称为点阵点阵参数参数或晶格常数晶格常数(lattice constant或或lattice parameter)。11二、晶系二、晶系 晶 系点 阵 常 数立方（等轴）cubica = b = c =900 正方（四方）tetragonala = bc =900斜方（正交）ortho

7、rhombica b c = = 900菱方（三方）Rhombohedrala = b = c = 900六 方hexagonala = bc =900 、=1200 单 斜monoclnica bc = =900 三 斜Triclinic或anorthica bc 900n按照晶体点阵的对称性，划分为七种晶系七种晶系。每个晶系最多可包括 4 种点阵。n1848年，法国晶体学家法国晶体学家布拉菲布拉菲（Bravais.M.A）推导证实了七七种晶系种晶系中总共可有14种点阵种点阵，称此为“布拉菲点阵布拉菲点阵”。12三、三、7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（1）n1、立方晶系、

8、立方晶系 : （cubic）cba090(1)简单立方简单立方P (2)面心立方面心立方F (3)体心立方体心立方I 13三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（2）n2、正方晶系、正方晶系（四方）（四方）（tetragonal）cba090(4)简单正方简单正方P (5)体心正方体心正方I 14三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（3）n3、斜方晶系、斜方晶系：（正交：（正交）（orthorhombic）cba090(6)简单斜方简单斜方P (7)体心斜方体心斜方I (8)底心斜方底心斜方C (9)面心斜方面心斜方F15三、三、 7 种晶系、种晶

9、系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（4）n4、菱方晶系：（三方）、菱方晶系：（三方） （rhombohedral）cba090 aaa 16三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（5）n5. 六方晶系：六方晶系：（hexagonal）cba0012090、(11)(11)简单六方简单六方 P P120 aac17三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（6）n6. 单斜晶系：（单斜晶系：（monoclnic）cba090 abc简单单斜简单单斜 abc底心单斜底心单斜18三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵（种布拉菲点阵（7）n7. 三斜晶系

10、：三斜晶系：（triclinic）cba090abc 简单三斜简单三斜19三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵种布拉菲点阵晶 系点阵常数布拉菲点阵点阵符号阵点数结点坐标立立 方方简单立方P1体心立方I2面心立方F4正正 方方简单正方P1体心正方I2斜斜 方方简单斜方P1体心斜方I2底心斜方C2面心斜方F490cba90cba90cba00000000000000000000000000021212102121210212121021212121212102121021212102121210七个晶系及其所属的布拉菲点阵 20三、三、 7 种晶系、种晶系、14种布拉菲点阵种布拉菲点阵晶

11、 系点阵常数布拉菲点阵点阵符号阵点数结点坐标菱菱 方方简单菱方P1六六 方方简单六方P1单单 斜斜简单单斜P1底心单斜C2三三 斜斜简单三斜P190cba12090cba90cba90cba00000000000000002121表2-1 七个晶系及其所属的布拉菲点阵 21四、单胞结点数四、单胞结点数 NNc单胞角上结点数单胞角上结点数，位于单胞角上，属于8个单胞。 82cfiNNNNn一个单胞的结点数N可由下式计算：Ni单胞内结点数单胞内结点数，位于单胞内部，完全属于该单胞；Nf单胞面上结点数单胞面上结点数，结点位于单胞面上，属于两单胞；22五、晶体结构与空间点阵（五、晶体结构与空间点阵（1

12、） n晶体结构可表示为：晶体结构可表示为：n空间点阵结构基元空间点阵结构基元 晶体结构晶体结构。1. 完全相同的一种原子组成的晶体完全相同的一种原子组成的晶体：原子排列与点阵重合，此点阵就是“晶格晶格”。（如纯金属纯金属）n晶体结构晶体结构和空间点阵：空间点阵：既不同又相互关联的。n空间点阵：空间点阵：从晶体结构中抽象出来的几何点在空间按周期性排列的无限大的几何图形，空间点阵只有空间点阵只有1414种种（即1414种布种布拉菲点阵拉菲点阵）。 n晶体结构：晶体结构：物质实体（原子、离子或基团）在空间的周期性排列。其种类繁多且复杂。23五、晶体结构与空间点阵（五、晶体结构与空间点阵（2）2. 多

13、种原子构成晶体：多种原子构成晶体：各结构基元中相同原子都可构成相应的点阵。因此，每种晶体都有其特有的晶体结构。3. 不同种类晶体具有不同的结构基元，但可具有同种类型的不同种类晶体具有不同的结构基元，但可具有同种类型的空间点阵。空间点阵。如：NaCl、 KCl、 LiCl等。 如：以下三种不同的晶体结构，同属于一种布拉菲点阵三种不同的晶体结构，同属于一种布拉菲点阵。 图2-4 晶体结构与空间点阵的关系 24六、常见六、常见金属金属的晶体结构的晶体结构n单质金属：单质金属：n晶体结构最简单，原子处在布拉菲点阵的结点上而形成（密排六方晶体除外）。n常见的金属晶体结构：常见的金属晶体结构：1、面心立方

14、（面心立方（fccfcc）：）：Ag、Al、Au、Pt、Cu、Ni、-Fe等；2、体心立方（体心立方（bcc）：）：Cr、W、Mo、Ta、Nb、V、-Fe等；3、密排六方（密排六方（hcp）：）：Cd、Mg、Zn、-Ti、-Co等；4、菱方结构：菱方结构：锑、铋、汞等；5、正方结构：正方结构：铟、 -锡等；6、斜方结构：斜方结构：镓、-铀等。25七、晶体学指数七、晶体学指数 （一）晶面指数（一）晶面指数（Miller指数）指数）n晶体点阵可在任意方向上分解为相互平行一组阵点平面。1. 同一取向阵点平面：相互平行、间距相等、阵点排布相同。2. 不同取向阵点平面：阵点排布特征各异。n在晶体学上，称

15、这阵点平面阵点平面为“晶面晶面”。n习惯用（hkl）来表示一组晶面晶面，称为“晶面指数晶面指数”或米勒米勒（Miller.W.H）指数指数。n其中，h、k、l 是晶面在三个坐标轴上截距倒数的互质比。是晶面在三个坐标轴上截距倒数的互质比。26七、晶体学指数七、晶体学指数晶面指数求法晶面指数求法1. 求求晶面与三坐标轴截距截距；2. 用轴单位量度截距用轴单位量度截距所得的整数倍；3. 取倒数；取倒数；4. 再化成互质整数比；成互质整数比；5. 加上圆括号得（hkl）。n一般地，已知晶面中任三点的坐标，即可求出该平面的晶面指数。图2-3 晶面指数的导出图27七、晶体学指数七、晶体学指数n低指数晶面：

16、低指数晶面：原子密度大，晶面间距 d 也较大，在X射线衍射中有较大的重要性。n如：（100）、（110）、（111）、（112）等。立方晶系中常见的晶面及其MillerMiller指数28七、晶体学指数七、晶体学指数n晶面族晶面族（hkl） ：代表一组相互平行的同位向晶面。n等同晶面：等同晶面：指晶面间距相等、晶面上阵点排列规则、分布密度完全相同的晶面。n等同晶面：等同晶面：虽有位向不同，但均归同一晶面族，用符号用符号hkl表示表示。n100晶面族：晶面族：六个等同晶面。n(100)、(010)、(001)、(-100)、 (0-10)、(00-1) 等29七、晶体学指数七、晶体学指数n（二）

17、六方晶系的晶面指数：（二）六方晶系的晶面指数：1、三轴制表示法：、三轴制表示法：n取a1、a2、c作为坐标轴n（a1、a2夹角120）。n用三个指数标定其晶面和晶向。n缺点：缺点：不能显示晶体的六次对称及等同晶面和晶向关系。n如：等同晶面等同晶面（六个柱面） （100） （010） （-110）、 （-100）（0-10）（1-10）n100与110为等同晶向等同晶向 2 0 1111 0 230n2、四轴制表示法：、四轴制表示法：n取a1、a2、 a3 坐标轴，其夹角互为1200， 再选与三轴垂直的 c 轴，则晶面指数用（hkil）表示。n等同的等同的六个柱面指数： （10-10） （01-

18、10） （-1100）（-1010） （0-110）（1-100）， 便具明显等同性， 归入 1-100晶面族。 2 0 1111 0 231n在四轴制中，（hkil）前三个指数只有两个是独立的，关系：()ihk n因第三个指数由前两个指数求得，故可略去成（hkl）。 2 0 1111 0 232晶面间距晶面间距n晶面间距：晶面间距：指两相邻晶面间的垂直距离。d(hkl) 表示。n一般规律：一般规律：晶面指数越小，晶面间距 d 越大，晶面结点密度越大，其X射线衍射强度越大，其衍射峰越易出现。n晶面间距 d 在X射线分析中是十分重要的。n在二维情况下的晶面指数与面间距的定性关系如图，n在三维情况

19、下也完全相同。 33简单点阵的晶面间距的计算公式简单点阵的晶面间距的计算公式n立方晶系的面间距： n正方（四方）晶系：n斜方（正交）晶系：n六方晶系：222lkhadhkl222221clakhdhkl2222221clbkahdhkl22222)(341clakhkhdhkl34晶面夹角的计算公式晶面夹角的计算公式n晶面夹角：晶面夹角：用晶面法线间夹角表示。以下公式也可计算晶向晶向与晶面晶面、晶向间的夹角晶向间的夹角。n立方晶系：n正方（四方）晶系：n六方晶系：222222212121212121coslkhlkhllkkhh222222222212212122122121cosclakhc

20、lakhcllakkhh222222222221211121222112212121223434)(2134cosclkkhhaclkkhhacllkhkhkkhha351第二节第二节 布拉格方程布拉格方程36一、波的干涉一、波的干涉（1）n1. 波的干涉：波的干涉：振动方向相同、波长相同振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将在某些固定区域产生加强或减弱加强或减弱。n波干涉的必要条件：波干涉的必要条件：相位相同相位相同或波程差为波长整数倍波程差为波长整数倍。nX射线在晶体中的相干散射射线在晶体中的相干散射也应基本满足这些条件。基本满足这些条件。图2-10 波的合成示意图 37X射线衍射原理射线

21、衍射原理nX射线照射晶体，晶体原子射线照射晶体，晶体原子内层电子受迫振动产生相干散射，内层电子受迫振动产生相干散射，原子内各电子散射波干涉形成原子内各电子散射波干涉形成原子散射波。原子散射波。n晶体内各原子呈周期排列，故各原子散射波各原子散射波间位相固定，则在某些方向上某些方向上发生相长干涉相长干涉，即形成了衍射波。衍射波。nX射线衍射本质：射线衍射本质：晶体中各原子相干散射波叠加（合成）。晶体中各原子相干散射波叠加（合成）。n1912年，年，德国物理学家劳埃德国物理学家劳埃指出：若在某方向获得衍射干涉加强，须满足劳埃方程劳埃方程，即在晶体中三个相互垂直方向上，在晶体中三个相互垂直方向上，相邻

22、原子散射线的波程差为波长的整数倍。相邻原子散射线的波程差为波长的整数倍。38二、劳埃方程（二、劳埃方程（1）n1、X射线受一维点阵（原子列）的衍射条件：射线受一维点阵（原子列）的衍射条件：n每对相邻原子在某方向上散射波的光程差等于波长整数倍。OQPRHcoscosOQORPROR(coscos)aHn以上为通过原子列的某一平面上各方向干涉通过原子列的某一平面上各方向干涉的情况。H任意整数，称为衍射线的干涉指数39二、劳埃方程（二、劳埃方程（2）n实际上，原子列原子列上各原子是向空间各方向发出散射波原子是向空间各方向发出散射波，n只要与原子列的交角满足上式，即衍射就一定存在。n在垂直于原子列方向

23、上，可得与各圆锥相交的一系列同心圆一系列同心圆的衍射圆像的衍射圆像。n它表明一个原子列向空间各方向衍射的实际形象一个原子列向空间各方向衍射的实际形象。入射线束圆锥0级衍射圆锥(H=0)+1级(H=+1)+2级(H=+2)一维原子列的圆锥40二、劳埃方程（二、劳埃方程（3）n2、X射线受二维点阵（原子面）衍射的条件：射线受二维点阵（原子面）衍射的条件：n整个原子面上所有原子的散射线产生干涉加强的条件。整个原子面上所有原子的散射线产生干涉加强的条件。11(coscos)aH22(coscos)bKH、K为任意整数，称为干涉指数41二、劳埃方程（二、劳埃方程（4）n3、X射线受三维点阵中所有原子的散

24、射波衍射的条件：射线受三维点阵中所有原子的散射波衍射的条件：11(coscos)aH22(coscos)bK33(coscos)cLH、K、L为任意整数，称为干涉指数干涉指数1 1、2 2、3 3入射线与三基矢的夹角（入射角）（入射角）1 1、2 2、3 3衍射线与三基矢的夹角（衍射角）（衍射角）a、b、c空间点阵三基矢上结点列的重复周期结点列的重复周期42二、二、劳埃方程（劳埃方程（5）n劳埃于劳埃于1912年首先提出的年首先提出的空间点阵衍射的一般条件是：空间点阵衍射的一般条件是：n衍射方向应同时满足下列方程组：11(coscos)aH22(coscos)bK33(coscos)cLn这就

25、是著名的劳埃方程式劳埃方程式。43劳埃方程式的矢量形式劳埃方程式的矢量形式n劳埃方程式的矢量形式：劳埃方程式的矢量形式：n设设 为入射线方向的为入射线方向的单位矢量单位矢量， 为衍射线方向的单位矢为衍射线方向的单位矢量，即量，即0sn劳埃方程的矢量表达式：劳埃方程的矢量表达式：s10 ssLsscKssbHssa)()()(000)()cos(cos011ssaa11(coscos)aH22(coscos)bK33(coscos)cL三角表达式矢量表达式44二、劳埃方程（二、劳埃方程（6）n劳埃方程式劳埃方程式：11(coscos)aH22(coscos)bK33(coscos)cLn对每组H

26、、K、L值，可得到三个衍射圆锥，n只有这三个衍射圆锥公共母线方向，才能同时满足方程组，得到一致加强干涉。n显然，不是任何时候都可使三个衍射圆锥具有公共母线。显然，不是任何时候都可使三个衍射圆锥具有公共母线。45二、劳埃方程（二、劳埃方程（8）n由劳埃方程式可见：由劳埃方程式可见：222123coscoscos111(coscos)aH22(coscos)bK33(coscos)cLn其中，其中，1、2、3 入射角、波长为已知，对某一条衍射线 H、K、L 也是定值。但是但是1、2、3 相互关联，有一个约束相互关联，有一个约束方程式。方程式。对立方点阵，约束方程式为：n三个变量三个变量 ，但有四个

27、方程式，故不一定有解。，但有四个方程式，故不一定有解。n只有 也是变量，即用连续X射线，四个变量，四个方程式，将有解存在。12346二、劳埃方程（二、劳埃方程（7）n因此，在一定入射方向条件（1、2、3）下得到衍射，可连续地改变波长波长，使三个圆锥顶角连续改变，此时三个圆锥曲线也连续移动，从而交于一点，衍射才能产生（如图）。n这就是在摄照固定单晶体时，必须采用连续在摄照固定单晶体时，必须采用连续X射线的原因。射线的原因。 47三、布拉格方程导出（三、布拉格方程导出（1）n劳埃方程式：劳埃方程式：从本质上解决了X射线在晶体中的衍射方向问题，但理论较复杂，使用上不方便理论较复杂，使用上不方便，有简

28、化必要。n既然，晶体看成由平行原子面组成，晶体衍射线也当是由原子面的衍射线叠加而得。其中大部分被抵消，只有一部分干涉加强。n因此，晶体对晶体对X射线的衍射，射线的衍射，可视为晶体中某些原子面对原子面对X射线的射线的“反射反射”。n将衍射衍射看成看成“反射反射”，是导出布拉格方程布拉格方程的基础。n这一方程首先由英国物理学家英国物理学家布拉格布拉格在在1912年导出。年导出。48三、布拉格方程导出（三、布拉格方程导出（2）n1、X射线在晶体中的相干散射射线在晶体中的相干散射还需作以下近似或假设近似或假设na. X射线是平行光，且只有单一波长（单色）；nb. 电子皆集中在原子中心；nc. 原子不作

29、热振动，即假设原子间距无任何变化。 BAP1P2dEF N49三、布拉格方程导出（三、布拉格方程导出（3）n1、在同一原子层（晶面）上：在同一原子层（晶面）上：n当一束平行X射线以角投射到一原子面上时，其中任意两个原子A、B的散射波在原子面反射方向上的光程差为：0coscosABABADCBn因此，同一原子面上所有原子散射波在反射方向上的相位均相同，互相干涉加强互相干涉加强。n光程差为0，相位相同，是干涉加强方向。50一、布拉格方程导出（一、布拉格方程导出（4）图2-11 晶体对X射线的衍射 干涉加强0 ADCB51一、布拉格方程导出（一、布拉格方程导出（5）n2. 在相邻原子面（晶面）上：在

30、相邻原子面（晶面）上：n一束X射线(波长)以角投射到面间距为d 的一组平行、相邻原子面P1、P2上。经A，B两原子反射的散射波光程差：sin2sinsindddBFEB), 3 , 2 , 1(sin2nndn散射波干涉互相加强条件：散射波干涉互相加强条件：n即著名的布拉格方程，布拉格方程，它是X射线衍射的最基本的定律。射线衍射的最基本的定律。52一、布拉格方程导出（一、布拉格方程导出（6）图2-11 晶体对X射线的衍射 干涉加强ndBFEBsin253相长干涉相长干涉与与相消干涉相消干涉 n 为入射线与衍射晶面夹角，称为布拉格角布拉格角或掠射角。掠射角。n2 入射线与衍射线间夹角称为“衍射角

31、衍射角”。ndsin2n1、当一束单色且平行的X射线照射晶体，凡满足布拉格方程满足布拉格方程的晶面上所有原子散射波：位相相同，相互干涉，则与入射线成2角方向，衍射线振幅加强，称“相长干涉相长干涉” 。n2、其它方向散射波强度减弱，或抵消为零，称“相消干涉相消干涉”。n为整数，称为反射级数54X射线射线“反射反射”和光的反射的区别（和光的反射的区别（1）1. 相似处相似处： 入射束、反射束、反射面法线处同一平面；入射角反射角入射角反射角。故X 射线衍射射线衍射也称为 X 射线射线“反射反射”(reflection)。 nX射线衍射射线衍射(“反射反射”)和光的镜面反射光的镜面反射异同。2. 相异

32、处：相异处：有四个方面四个方面本质区别。a. X射线衍射：射线衍射：由入射线在晶体中所经路程上的所有原子散射所经路程上的所有原子散射波干涉的结果；波干涉的结果； 光的反射：光的反射：在极表层上产生，且仅在两介质界面上。 55X射线射线“反射反射”和光的反射的区别（和光的反射的区别（2）c. 光镜面反射效率近100；而X射线衍射强度却很弱。射线衍射强度却很弱。d. X射线衍射的反射角射线衍射的反射角不同于光的反射角；X射线衍射的入射线衍射的入射线与反射线的夹角永远是射线与反射线的夹角永远是2。b. X射线衍射：射线衍射：只在满足布拉格定律满足布拉格定律的若干个特殊角度上产生（选择性反射）；（选择

33、性反射）；光的反射：光的反射：可在任意角度。 X射线衍射：射线衍射：由晶体中大量原子（内层电子）参与散射大量原子（内层电子）参与散射的结果。的结果。原子的周期性排列，原子的周期性排列，使得衍射线必然反映着晶体结构的特征。56二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论57布拉格方程的讨论布拉格方程的讨论1. 布拉格方程：布拉格方程：描述了“选择反射选择反射”的规律，它联系了晶面间晶面间距（距（d）、掠射角（）、掠射角（）、反射级数（）、反射级数（n）和X射线波长（射线波长（）间的相互关系。), 3 , 2 , 1(sin2nnd布拉格方程：布拉格方程：2. 布拉格方程：布拉格方程：只是发生衍射的“

34、必要条件必要条件”而非非“充分条充分条件件”。3. 衍射实质：衍射实质：各原子面在反射方向上在反射方向上的散射线干涉加强结果。 因此，在材料衍射分析中，“反射反射”与“衍射衍射”等同使用。等同使用。58（一）反射级数（一）反射级数 nn反射级数反射级数 n ：数值上为相邻两平行晶面反射出的X射线束，其波程差用波长去度量所得的整份数。), 3 , 2 , 1(sin2nndn布拉格方程：布拉格方程：n 为整数、称为反射级数反射级数（order of reflection）。n n1，一级反射一级反射，波1和2波程差为波长的一倍； n2，二级反射二级反射，波1和3波程差为波长的两倍； 以此类推 。

35、59二、干涉指数二、干涉指数sin)/(2ndhkln布拉格方程布拉格方程表示：面间距为面间距为d 的的(hkl)晶面上产生了晶面上产生了 n 级衍射。级衍射。n布拉格方程改写成：nlLnkKnhH，), 3 , 2 , 1(sin2nndn但关心的不是级数，为此引入干涉面干涉面与干涉指数干涉指数概念。n表示：面间距为面间距为 dhkl / n、 实际存在或不存在假想晶面的实际存在或不存在假想晶面的1 级级反射，反射，称此假想晶面为干涉面干涉面，其面指数称干涉指数干涉指数。n用“HKL”表示。干涉指数干涉指数与晶面指数晶面指数的关系为：60二、干涉指数二、干涉指数 上式为布拉格方程的一级反射形

36、式。布拉格方程的一级反射形式。 即把 （hkl）晶面的）晶面的 n 级反射级反射看成是与（与（hkl）晶面平）晶面平行、面间距为其行、面间距为其1/n的晶面（的晶面（nh nk nl）的一级反射。）的一级反射。sin)/(2ndhkl2、干涉指数与晶面指数的差别：干涉指数与晶面指数的差别： 干涉指数干涉指数：有公约数，晶面指数晶面指数：互质的整数。 当干涉指数也互为质数时，就代表一族真实的晶面，故干干涉指数是广义的晶面指数。涉指数是广义的晶面指数。 常将HKL混为hkl 来讨论问题，dHKL=dhkl / n。sin2HKLd61二、干涉指数二、干涉指数n如用如用MoK辐射辐射Ag晶体试样产生

37、的衍射：晶体试样产生的衍射：n(111)晶面衍射角： 1级 2级 3级 15.13，31.46，51.52n(222)晶面1级衍射角： 31.46n(333)晶面1级衍射角： 51.5262三、衍射极限条件三、衍射极限条件（1）), 3 , 2 , 1(sin2nndd2n大部分金属：大部分金属：d 在0.20.3nm范围；nX射线的波长：射线的波长： 常用0.050.25nm为宜。n如Cu靶：k=0.1542nm，Mo靶：k=0.0632nmn如Cr靶：k=0.2291nmn当波长太小时，衍射角也非常小，难用普通手段测定。n因为sin 1，可得产生衍射的必要条件：产生衍射的必要条件：n（1）

38、只有只有X射线波长射线波长小于反射晶面面间距小于反射晶面面间距 d 的两倍的两倍时才能时才能产生衍射。产生衍射。 63三、衍射极限条件（三、衍射极限条件（2）n右式也说明：d22d 即：只有那些只有那些晶面间距晶面间距 d 大于入射大于入射X射线半波长射线半波长的晶面才能的晶面才能发生衍射。发生衍射。 当然，用短波当然，用短波X射线，能参与反射的晶面会增多。射线，能参与反射的晶面会增多。 （2）对一定波长对一定波长的的X射线，晶体中有可能参加反射的晶面射线，晶体中有可能参加反射的晶面族也是有限的，族也是有限的，须满足：64n掠射角掠射角：极限范围00900、过大或过小会使衍射探测困难，使得反射

39、级数反射级数 n 受到限制受到限制：因|sin|1ndsin2ddn2sin2n当 d 一定时，一定时，减少，减少，n 可增大可增大。n说明：对同一种 d 晶面，当采用短波采用短波X射线照射时，可获得射线照射时，可获得较多的衍射线，较多的衍射线，即衍射花样变得复杂。65四、布拉格方程应用四、布拉格方程应用 n布拉格方程布拉格方程在实验上有两种用途。两种用途。n1、晶体结构分析晶体结构分析n利用已知波长已知波长的特征 X射线照射未知结构的晶体，n通过测量各晶面衍射线的衍射角测量各晶面衍射线的衍射角 ，求出晶体中各晶面间距晶面间距 d，从而揭示晶体的结构，从而揭示晶体的结构，n此为结构分析结构分析

40、(structure analysis)。sin2dsin2d662. X射线光谱成分分析射线光谱成分分析n用已知晶面间距晶面间距 d 的晶体来反射从样品发出的特征X射线，n通过测量衍射角测量衍射角，求出未知特征射线波长，特征射线波长，从而确定样品的组成元素，即X射线光谱学射线光谱学(X-ray spectroscopy)。n如X射线荧光元素分析射线荧光元素分析、电子探针波谱分析电子探针波谱分析。n可定性、定量分析材料所含元素。 未知未知样品样品晶体晶体sin2dX射线或电子射线或电子特征特征X射线射线67五、衍射方向五、衍射方向 X射线的衍射方向公式。射线的衍射方向公式。 a 为hkl晶面晶

41、格常数、 为X射线波长。222lkhad)(4sin222222lkhan将晶体晶面间距公式晶面间距公式与布拉格方程布拉格方程联立，可得该晶系的衍射衍射方向表达式。方向表达式。n如：立方晶系面间距 d：n代入布拉格方程 表明：衍射方向决定于晶胞的大小衍射方向决定于晶胞的大小 a 与形状。与形状。 即通过测定衍射束方向，可测出晶胞的形状和尺寸通过测定衍射束方向，可测出晶胞的形状和尺寸a。 sin2d681第三节第三节 X射线衍射方法射线衍射方法69第三节第三节 X射线衍射方法射线衍射方法 n衍射现象：衍射现象：只要满足布拉格方程布拉格方程2dsin时，衍射就有可能发生。n不论何种晶体衍射，其中与

42、与依赖关系是很严格的。依赖关系是很严格的。应考虑满足布拉格方程的实验方法：1. 连续地改变连续地改变；2. 连续地改变连续地改变。n由此可派生出三种主要的衍射方法，三种主要的衍射方法，如图2-1。 sin2d70X射线衍射分析方法射线衍射分析方法 方 法 晶 体 劳埃照相法劳埃照相法（Laue method) 单晶体单晶体 变变 化化 不变化周转晶体法周转晶体法（rotating-crystal method) 单晶体单晶体 不变化 变化变化(部分部分) 粉末法粉末法（powder method) 多晶体多晶体 不变化 变变 化化X射线衍射分析方法射线衍射分析方法sin2d71一、劳埃法实验原

43、理（一、劳埃法实验原理（1）n（1）劳埃法：）劳埃法：n适用于单晶体单晶体，晶体不动晶体不动，采用连续采用连续X射线照射射线照射。n由X光源、晶体、底片位置不同分：透射法透射法和反射法反射法两种。n底片：底片：为平板型，与入射线垂直放置。 图2-16 透射及背反射劳埃法的实验原理 72一、劳埃法实验原理（一、劳埃法实验原理（2）n单晶体特点：单晶体特点：每一（每一（hkl）晶面只有一组；）晶面只有一组；单晶体固定后，任一晶面与入射线的方位即角一定。角一定。图2-16 透射及背反射劳埃法的实验原理 n如：某晶面如：某晶面(h1k1l1) 面间距面间距d1有一合适波长波长1的X射线发生衍射，在21衍射方向产生衍射斑点衍射斑点P1 。 波长1晶面(h1k1l1)衍射斑点衍射斑点P173一、劳埃法实验原理（一、劳埃法实验原理（3）Dt2tann由照