中南大学 数字图像处理 课件 4章 DFT

1、数字图像处理数字图像处理主讲：梁毅雄中南大学信息科学与工程学院计算机楼407(图形与图像实验室)频率域图像增强频率域图像增强本章要点o背景知识 o傅立叶变换 o频率域滤波基础o频率域平滑滤波器o频率域锐化滤波器o同态滤波器o需要注意的问题背景知识o系统：o线性系统：对于某特定系统，有 x1(t) y1(t)x2(t) y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)从而有：ax1(t) ay1(t)系统x(t)输入y(t)输出背景知识o线性系统平移不变性对于某线性系统，有： x (t) y (t)当输入信号沿时间轴平移T，有： x (t - T) y (

2、t - T)则称该线性系统具有平移不变性背景知识o卷积的定义:l对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助l卷积积分:记为)(*)()(xhxfxgdxhfxg)()()(背景知识o离散一维卷积o二维卷积o离散二维卷积10)()(1)(*)(MmmxhmfMxhxf dudvvyuxhvufyxgyxf),(),(),(*),(1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxgyxf背景知识o傅立叶变换:l周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式l非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积

3、分来表示这种情况下的公式就是傅立叶变换频率域图像增强频率域图像增强本章要点o背景知识 o傅立叶变换 o频率域滤波基础o频率域平滑滤波器o频率域锐化滤波器o同态滤波器o需要注意的问题傅立叶变换o一维傅立叶变换设函数f(x)在任一有限区域(-L, L)上满足：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积，则其傅立叶变换定义为其逆变换为dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(傅立叶变换o函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它可以用下式表示：)()(| )(|)()()(arctan)()()(| )(| )(|)()()()(22222)(uIuRuFuPuRu

4、IuuIuRuFeuFuFujIuRuFuj傅立叶变换o傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量 这个名称源于欧拉公式中的指数项 exp-j2 ux = cos2 ux - jsin2 ux如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos, sin函数对的频率傅立叶变换例：为右图所示的简单矩形函数f(x)，求其傅立叶变换F(u)。 2220022122sinsinjuxXXjuxjuxjuXj uXj uXj uXj uXF uf x edxAAedxejuAAeeeejujuAuX euuXF uAXuX解：傅立叶变换 2

5、2222sinsin12cos 22sin 22tuftf tF ueeuuuuttujuu tftufuffjufufeuf函数高斯矩形脉冲t三角脉冲冲激单位阶跃余弦正弦复指数傅立叶变换o二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在： dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2),(),(),(),(二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：),(),(|),(|),(),(),(arctan),(),(),(|),(|),(|),(22222),(vuIvuRvuFvuPvuRvuIvuvuIvuRvuFevuFv

6、uFvuj傅立叶变换例：求如图所示的函数的傅立叶谱xyf(x,y)Af(x,y)函数0, 0,00 ,0),(yYyxXxYyXxAyxf傅立叶变换傅立叶变换其傅立叶变换为：其傅立叶变换为：)sin()sin( 1)2(1)2(22),(),(22020202020 0)(2)(2uYeuYuXeuXAXYevjAeujAvjeujeAdyedxeAdxdyAedxdyeyxfvuFjujuuYjuXjYuyjXuxjYuyjXuxjX Yvyuxjvyuxj |)sin(|)sin(| ),(|vYvYuXuXAXYvuF其傅立叶谱为：其傅立叶谱为：傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换o

7、离散傅立叶变换：l由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率 l离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系傅立叶变换傅立叶变换o一维离散傅立叶变换 01201201NjuxNxNjuxNxf xNxf xf xx xF uf x eNf xF u e 设离散函数为相应连续函数取 个间隔的取样值。离散函数的傅立叶变换对为傅立叶变换 323240000020222460222369022214,410,00123411,10123412,20123413,30

8、1234jjuxxjjejjjjjjNF uf x euFfefefefeuFfefefefeuFfefefefeuFfefefefe取展开为傅立叶变换o 矩阵表示 000030220233903221,0011122433jjjjjjjjjFWfNeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee考虑到记作傅立叶变换傅立叶变换o二维傅立叶变换：11200112001,0,1,2,1;0,1,2,1,0,1,2,1;0,1,2,1.MNjux M vy NxyMNjux M vy NuvF u vf x y eMNuMvNf x yF u v exMyNMN容易将一维离散傅立叶变换推广到二维情况

9、式中：式中：在数字图象处理中，图象一般取方形，即傅立叶变换傅立叶变换o二维离散傅立叶变换特性l可分离性l平移性l分配性和比例变换性l旋转特性l周期与共轭对称l均值性l卷积与相关l微分傅立叶变换o可分离性l二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是： 二维DFT可分离为两次一维DFTl应用： 二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次一维FFT实现的傅立叶变换n先对行做变换：然后对列进行变换：f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv傅立叶变换o平移性当u0=M

10、/2, v0=N/2 )/(20000)/(20000),(),(),(),(NvyMuxjNyvMxujevuFyyxxfvvuuFeyxfyxyxjNyvMxujee) 1()()/(200vuyxvuFNyMxfNvMuFyxf) 1)(,()2/, 2/()2/, 2/() 1)(,(傅立叶变换o分配性和比例变换性o对于系数a和b),(),(),(),(),(),(),(),(21212121yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf)/,/(1),(),(),(bvauFabbyaxfyxaFyxaf傅立叶变换o旋转特性：如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的

11、图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度 。o对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的),(),(),(),(sin,cos,sin,cos0000rfFFrfvuryrx傅立叶变换o周期与共轭对称l周期性l共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数),(),(),(),(),(),(),(),(NyMxfNyxfyMxfyxfNvMuFNvuFvMuFvuF),(),(),(),(*vuFvuFvuFvuF傅立叶变换傅立叶变换o均值性:离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值xyxyeyxfMNFyxfMNyxf0),(1)0 , 0(),(1),(傅立叶变换o卷积与相关

12、:空域和频域之间的基本联系l卷积定理l相关定理),(),(),(*),(),(),(),(*),(yxhyxfvuHvuFvuHvuFyxhyxf),(),(),(),(),(),(),(),(yxhyxfvuHvuFvuHvuFyxhyxf1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf傅立叶变换o微分 222,22,nmmnf x yxyjujvF u vf x yuvF u v 2时域上的微分对应频域。拉普拉斯对应频域-4等于傅立叶谱乘以 项，相当于传递函数随频率平方增加的线性系统。22uv傅立叶变换o由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在

13、平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。o傅立叶变换在实际中的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。o从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。o从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。o换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换o快速傅立叶变换nWhy?

14、o对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法和和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2o快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算o计算量之比是log2M/M，如M=1024103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：1001, 2 , 1 , 0)(1)(/2MuexfMuFxMuxj傅立叶变换 12/02 12 121200112(2 )222001202221 :1(2)122221211122121112212nMuxjMMMxMMuxuxMMxxKKuxuxuKKKxxKuxuxuKKKxxMf xfxfxF uf

15、 x WWeMKMfx WfxWMMfx WfxWWKKfx WfxW WKK设，分解为和这里，令 10212KueKoF uWF u傅立叶变换 2222222222212,12122u KeKoeeooKju KuKuujuKKKKKKKueKoueKoeoF uKF uKWF uKF uKF uF uKF uWW WWeWeWF uKF uWF uF uF uWF uFFx 注意到因此 和 中的 继续分解，直到 点。频率域图像增强频率域图像增强本章要点o背景知识 o傅立叶变换 o频率域滤波基础o频率域平滑滤波器o频率域锐化滤波器o同态滤波器o需要注意的问题频率域滤波基础o频率域滤波原理边、

16、噪音、变化陡峭部分变化平缓部分uv频率域滤波基础o频率域滤波原理边、噪音、变化陡峭部分变化平缓部分uv频率域滤波基础频率域滤波基础o频域增强的处理方法l用（-1）x+y f(x,y)进行中心变换l计算出它的傅立叶变换F(u,v)l选择一个变换函数H(u,v)，计算H(u,v) F(u,v)（并非到空域找）l计算出它的反傅立叶变换l用（-1）x+y乘以上面结果的实部，得目标图像H(u,v)被称为滤波器，常用术语为滤波器传递函数频率域滤波基础频率域滤波基础o陷波滤波器：离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值，如在频率域设置此项为零，并进行反变换，则结果图像的平均值将为零。others

17、NMvuvuH1)2/, 2/(),(0),(频率域滤波基础陷波滤波器：非常适合于 可以识别由特定的、局部化频率成分引起的空间图像效果时频率域滤波基础频率域滤波基础o频域增强与空域增强的关系l空间域和频率域中的滤波器组成傅立叶变换对l在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用得多得多，因为它们易于实现，操作快捷。l对于很多在空域上难以表述清楚的问题，对频域概念的理解就显得十分重要（如压缩),(),(),(1),(),(1),(*),(vuHyxhyxhMNnymxhnmMNyxhyxmn频率域滤波基础频率域图像增强频率域图像增强本章要点o背景知识 o傅立叶变换 o频率域滤波基础o频率域平滑滤波器o频

18、率域锐化滤波器o同态滤波器o需要注意的问题频率域平滑滤波器o思想：边缘和其它尖锐变化（如噪声）在图像的灰度级中主要处于傅立叶变换的高频部分，因此平滑可通过衰减指定图像傅立叶变换中高频成分的范围来实现o理想低通滤波器oButterworth低通过滤器o高斯低通过滤器频率域平滑滤波器o理想低通滤波器:一个二维的理想低通过滤器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2由于中心化了,频率矩形的中心在(M/2, N/2)处，此时距离为D(u,v)=(u-M/2)2+(v-N/2)21/200),(0),(1),(DvuD

19、DvuDvuH频率域平滑滤波器o理想低通过滤器的透视图图像显示、截面图H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图频率域平滑滤波器o理想低通过滤器的截止频率的设计l首先计算l如果将变换作中心平移，则一个以频域中心为原点，r为半径的圆就包含了百分之的能量),(1010vuPPNvMuTuvTPvuP/ ),(100频率域平滑滤波器o理想低通过滤器的截止频率的设计频率域平滑滤波器o小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多0.5%的能量中o被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果理想低通滤波器的一种特性所影响频率域平滑滤波器o频率域滤波器H(u,v)对应的空间滤波器h(x,y)的求解方法l用(

20、-1)u+v H(u,v)进行中心变换l计算出它的傅立叶反变换l反变换的实部乘以(-1) x+y频率域平滑滤波器o理想低通过滤器的分析:振铃效果频率域平滑滤波器o理想低通过滤器的分析:振铃效果频率域平滑滤波器oButterworth低通过滤器:一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通过滤器（BLPF）的变换函数如下：nDvuDvuH20/ ),(11),(频率域平滑滤波器oButterworth低通过滤器的截面图等H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图频率域平滑滤波器oButterworth过滤器截止频率l变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截

21、止频率的明显划分l通常把H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点l如 当 D(u,v) = D0时，H(u,v) = 0.5 nDvuDvuH20/ ),(11),(频率域平滑滤波器l在任何经二阶BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果l低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程频率域平滑滤波器oButterworth低通滤波器频率域平滑滤波器oButterworth低通过滤器的分析lBLPF处理过的图像中几乎没有振铃效果频率域平滑滤波器o高斯低通过滤器2022/ ),(),(DvuDevuH频率域平滑滤波器o高

22、斯低通过滤器无振铃频率域平滑滤波器o低通滤波的其它例子频率域平滑滤波器o低通滤波的其它例子频率域平滑滤波器o低通滤波的其它例子尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征频率域图像增强频率域图像增强本章要点o背景知识 o傅立叶变换 o频率域滤波基础o频率域平滑滤波器o频率域锐化滤波器o同态滤波器o需要注意的问题频率域锐化滤波器o基本思想：低通滤波器的反操作，即Hhp(u,v)=1 Hlp(u,v)也就是说被低通滤波器过滤掉的频率均能通过高通滤波器频率域锐化滤波器Butterworth锐化滤波器为理想滤波器的尖锐化和高斯滤波器的完全光滑之间的一种过渡频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器o理想高通过滤器n一个

23、二维的理想高通过滤器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数00),(0),(1),(DvuDDvuDvuH频率域锐化滤波器理想高通过滤图结论：图a和b的振铃问题十分明显频率域锐化滤波器oButterworth高通滤波器：一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth高通过滤器（BHPF）的变换函数如下：nDvuDvuH20/ ),(11),(频率域锐化滤波器oButterworth高通滤波器结论：BHPF的结果比IHPF的结果平滑得多频率域锐化滤波器oButterworth高通滤波器分析l低频成分被严重地消弱了，使图像失去层次l改

24、进措施：1）加一个常数到变换函数 H(u,v) + A 这种方法被称为高频强调2）为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后过滤处理频率域锐化滤波器o高斯高通过滤器2022/ ),(1),(DvuDevuH结论：GHPF的结果比BHBF和IHPF的结果更平滑频率域锐化滤波器o频率域上的拉普拉斯算子 222,22,nmmnf x yxyjujvF u vf x yuvF u v 2时域上的微分对应频域。拉普拉斯对应频域-4频率域锐化滤波器o频率域上的拉普拉斯算子：即频率域的拉普拉斯算子可以由如下滤波器实现： H(u,v)=-(u2+v2) （忽略系数）o中心化的

25、拉普拉斯算子滤波器：由于F(u,v)的原点在进行图像变换前已由执行运算(-1)x+yf(x,y)中心化了。滤波函数中心也需要被平移为： H(u,v)=-(u-M/2)2+(v-N/2)2),()(4),(2222yxFvuyxf频率域锐化滤波器o频率域上的拉普拉斯算子： 空间域拉普拉斯算子过滤后的图像可由计算的反傅里叶变换得到),(2/2/),(),(2/2/),(2222212vuFNvMuyxfvuFNvMuyxf频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器o空间域的拉普拉斯增强o频率域的拉普拉斯增强),(),(),(2yxfyxfyxg),(2/2/1),(221vuFNvMuyxg频率域锐化滤波器

26、频率域锐化滤波器o钝化模版o高频提升滤波o高频加强滤波),(1),(),(),(),(vuHvuHyxfyxfyxflphplphp),() 1(),(),(),() 1(),(vuHAvuHyxfyxfAyxfhphphphb)0 . 2 , 5 . 1 (),5 . 0 ,25. 0(, 0),(),(baabavubHavuHhphpe一般有频率域锐化滤波器高频提升滤波频率域锐化滤波器高频加强滤波频率域图像增强频率域图像增强本章要点o背景知识 o傅立叶变换 o频率域滤波基础o频率域平滑滤波器o频率域锐化滤波器o同态滤波器o需要注意的问题同态滤波器o同态滤波器的基本思想n一个图像f(x,y)可以根据它的照度和反射分量的乘积来表示 f (x,y) = i(x,y)r(x,y)n其中：i (x,y)为照度函数，r(x,y)反射分量函数n通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现同态滤波器o出发点：l图像的明度分量的特点是平缓的空域变化，而反射分量则近于陡峭的空域变化l这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的