中考中的数形结合思想

1、年级初三学科数学版本通用版内容标题中考中的数形结合思想编稿老师王占元中考中的数形结合思想中考中的数形结合思想包括借助于直角坐标系研究数的关系，借助于数研究形的特征，从而简化计算。【知识掌握】【知识点精析】1 .建立直角坐标系后，平面上的点和一对有序实数建立了一一对应关系，从而为数形结合创造了条件。2 .通过形加深对数的理解，通过数加深对形的认识，数形结合，化难为易。【解题方法指导】例1.如果直线经过一、二、四象限，则有()A. k>0 , b>0B. k>0 , b<0C.k<0 , b<0D.k<0 , b>0分析：由于一次函数的图象经过第一、

2、二、四象限，可画出它的示意图，由图象的倾斜方向及它与y轴交点的位置，确定 k、b的范围。解：的图象经过一、二、四象限可以画出它的示意图(如图所示)由图象看出，图象由左上方向右下方倾斜k<0又与y轴交点在x轴上方b>0.选 D评析：画出直线的示意图，从而使它的倾斜方向及与y轴交点的纵坐标清晰反映出来，由形的特征反映出了 k、b的特征。例2.若点A (a, b)在第二象限，则一次函数的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：二.点A (a, b)在第二象限， a<0, b>0,所以可画出y=ax+b的示意图，看出它经过哪 三个象限，不经过第几象限

3、。解：点A (a, b)在第二象限a<0, b>0 一次函数与y轴交点在x轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由 图象看出它不经过第三象限故选C评析：由y = kx + b中k、b的特征，决定了图象的特征，画出示意图，使问题得解，体现了数形 结合的思想在研究一次函数中的应用。例 3. 已知二次函数，则一定有（A.B.C.D.分析：由a<0,可知抛物线开口方向向下；由，可知当时，抛物线与 y轴交点位于x轴上方，通过画示意图可看出它与x 轴交点的个数，从而确定判别式的值。解： 对于a<0,，抛物线的开口向下当时，由可知抛物线与y轴的交点在x轴上方可画出

4、抛物线的示意图由图象看出抛物线与x 轴有两个交点令y= 0,得有两个不相等的实数根故选 A评析：由数的特征a<0,决定了抛物线的开口方向及与y轴交点的坐标，从而为画抛物线的示意图作好准备，又由抛物线与x轴交点的个数，求出一元二次方程判别式的符号，此题解题过程体现了数-形-数的数形结合思想。例4.已知：矩形 ABCD中，AB=4, AD =3,若A点与原点重合，AB边与x轴重合，求矩形 ABCD四 个顶点的坐标。分析： 题目中只说A 点与原点重合，AB 边与 x 轴重合，而没有指明它位于第几象限，因此应画出图象，分别加以考虑。解： 若矩形 ABCD 在第一象限（如图），则它的顶点的坐标分别

5、为：A（0，0），B（4，0），C（4，3）， D（ 0， 3）若矩形ABCD 在第二象限，则它的顶点的坐标分别为：A（0，0）， B（4，0），C（4，3），D（0，3）若矩形ABCD 在第三象限，则它的顶点的坐标分别为：A（0，0）， B（4，0），C（4，3），D（0，3）若矩形ABCD 在第四象限，则它的顶点的坐标分别为：A（0，0），B（4，0），C（4，3）， D（ 0，3）评析： 结合图象所在的象限画出图形，然后再确定点的坐标不易出错。【考点突破】【考点指要】数形结合思想是一种重要的数学思想，由于数和形反映了事物的两个侧面，因此常常借助于形研究数，借助于数研究形，从而通过“数形联

6、手”解决问题相得益彰。正如华罗庚教授所指出的那样：数无形，少直观；形无数，难入微。正因为数形结合在解题中的重要性，因此中考试题中常常以各种各样的形式反映出它们之间的联系。我们应不断提高对数形结合的认识，提高解题能力。【 典型例题分析】例1.已知：关于x的方程的两个根满足。求 a 的取值范围。分析：如果用纯代数的方法去解，要考虑的因素较多。如a>0, A>0,等，解法较繁。如果将一元二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结合的思想去思考，通过图象比较直观地求出a 的取值范围。解： 将方程化为设画出它的示意图，可以看出：当时， y<0；当 x=3时，y>0

7、。分别将x=1, x= 3代入到中，得因此 a 的取值范围为：评析： 此题借助于数形结合的方法，由开口方向，和x 轴交点的位置，不难画出抛物线的示意图，结合图象不又t看出当 x=1时，及x = 3时y的正负，从而求出 a的取值范围。例 2. 已知关于x 的一元二次方程的两个实数根中，一个大于2，另一个小于2，求k 的取值范围。分析： 由于条件中给出了两个实数根的范围，因此可将方程转化为二次函数，借助于图象加以表示。解： 设当x=2时，（ 1）当时，抛物线的开口向上，画出它的示意图（如图1）由图象看出：解得 1<k<6（ 2）当时，抛物线的开口向下，画出它的示意图（如图2）由图象看出

8、：这个不等式组无解综合（1）、（2）得1<k<6评析： 将方程转化为函数，从而为表示出它的示意图创造了条件。例 3. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、 B 两点，则图中的反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围是（）A.B.C.D.分析：由图象看出：使反比例的函数的值小于一次函数的值的x,抛物线的一部分应在直线下方,所以，故应选D。解： 当时，反比例函数的值小于一次函数的值；当时，反比例函数的值小于一次函数的值故应选 D评析： 反比例函数的值小于一次函数的值，在图象中应是反比例函数的图象应在直线的下方。例 5. 如图是三个反比例函数在x 轴上方的图象，由此观察得到

9、的大小关系为（）A.B.C.D.分析： 要比较之间大小关系，可以借助于图象的位置来进行判断。在第二象限，可知，而，可知k 1 最小。对于来说，而上方，显然，故可得，故可选C。解：.的图象在第二象限的图象在第一象限又的图象在的上方故选 C评析： 借助于图象的位置比较的大小直观、简明。例 6.已知：a<0, b<0, c>0,且化简：分析： 由于题目中a、 b、 c 之间的关系比较复杂，讨论起来将要分很多情况。如果我们把a、 b、 c所代表的点表示在数轴上，那么三个非负数化简将变得比较简单。解：由 a<0, b<0, c>0,且，a、b、c所代表的点表示在数轴上

10、如图所示观察图形，可知评析： 欲去掉绝对值符号时，必须考虑到绝对值内代数式的正负，借助于数形结合容易判断。【综合测试】t （时）的函数图象，下列说法 不正确的是（）1 .如图是某人骑自行车的行驶路程S （千米）与行驶时间A. 从 0 时到3 时，行驶了30 千米B. 从 1 时到2时匀速前进C. 从 1 时到2时在原地不动D. 从 0 时到 1 时与从 2 时到 3时的行驶速度相同2 . 二次函数与x 轴两交点之间的距离是。3 . 图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系中不正确的是（）A. h=mB. k=nC. k>nD. k>0 , h>04 .在反比例函数的图象上有两点

11、，A （）、B （）,且，则的值为（）A.正数B.负数C.非正数D.非负数5 .为鼓励居民节约用水，某城市将出台新的用水收费标准：若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米 2元计算；若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）。现假设该市某户居民某月用水x立方米，水费为y元，则y关于x的函数关系用图象表示正确的是（）6 .已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A. abc>0B.C.D.G 你热爱生命吗?那么别浪费时间，因为时间是相或生命的材料富兰克T 6 / 6【综合测试答案】1. B解：对于 A,正确；对于 B,不正确；对于 C,正确；对于 D,正确。故选 B。2. 4解：画出的图象的示意图，与x轴二个交点坐标为（1, 0） , （3, 0）两点间距离为3. B解：对于A, ,对称轴相同，h=m （正确）； 对于B,当x=0时，kwn,（不正确）； 对于C,当x=0时，k>n,（正确）； 对于D ，正确。故选 B4. A解：画出的示意图及A、 B 两