九年级数学垂径定理

1、初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系学习目标1 .理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2） （4） （5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。 ”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。2 . 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O,垂足M,弦中点M劣弧中点D,优弧中点C,五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两

2、层意义）CD3 . 应用以上定理主要是解直角三角形 AOM在RtAOW, AO为圆半径，OMK/弦AB的弦心距，AM为 弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该RtAAOMM,注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。4 .弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4） （2）或（5）（2）可推（1） （3） （5）或（1） （3） （4）,实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。5 .圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。 四项“知

3、一推三”，一项相等，其余三项皆相等。 源于圆的旋转不变性。 即: 圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。（1）= （2）= （3）= （4）A M B6 .应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。7 .圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。重点、难点:垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。【典型例题】例1.已知：在。中，弦AB= 12cm,。点至ij AB的距离等于 AB的一半，求：/ AOBW度数和圆的半径。点悟：本例的关键在于正确理解什么是。点到AB的距离。解：作OHAB,垂足为E,则OE的长为。点到AB的距

4、离，如图所示：一 11OE AB = _ 12=6 (cm) 22由垂径定理知： AE = BE=6cm.AOE BOE为等腰直角三角形AOB= 90°由 AO比等腰直角三角形, OA = 6V2, AE =6即。的半径为672cm点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE）,构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。例2.如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦boAB,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,求证：AD - BD =a2 -b2证明：作OEL AB,垂足为E,连OA OC则 OA=a, OC =b在 RtAAOE 中，AE2 =OA2OE在 RtACOE 中，CE2=OC

5、2_OE2.AE2 -CE2 = OA2 -OE2 一 OC2 -OE2_22=OA -OC22=a -b即 AE CE AE -CE ）=a2 -b2CE = ED, AC = BDAE CE = AE ED = ADAE -CE = AC = BD22即 AD BD =a -b点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。例3.。的直径为12cm,弦AB垂直平分半径 OC那么弦AB的长为（）A. 3 3cm B. 6cm C. 6.3cm D. 12 3cm（2001年辽宁）解：圆的半径为6cm,半径OC的一半为3cm,故弦的长度为2.62 - 32 = 2 . 32

6、2 2 -1 = 6.3 （cm）故选Co例4.如图所示，以O为圆心，/AOB= 120° ,弓形高ND= 4cm,矩形EFGH勺两顶点E、F在弦AB上，H、 G在AB上，且EF= 4HE求HE的长。DH / / M 、GO解：连结AR OG1 1AOD =1 AOB 120 =602 2OA =OD. AOM等边三角形. ODL ANN氏 ND= 4cm.OD= OG= 8cm设 HE =x ,则 MG =2x, MO =（x+4cm在 RtAOMG 中，由 MG 2 +OM 2 =OG2得：.2_2_x 4 2x =812.解得：x1 = ，x2 = M （舍去）512.HE的长

7、为cm5点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。例5.已知，AB是。O的弦，半径OCL AB于点D,且AB =8cm, OC = 5cm,则DC的长为（）A. 3cmB. 2.5cmC. 2 cmD. 1cm（2001年北京东城区）解：OD = .52 -42 =3,DC -5-3-2 （cm）故选Co常见错误：将DC错算为OD即算出OD就不再计算DC了，从而错选Ao这种错误十分常见，一定要注 意慎重的计算完全。例6.在OO中，AB=2AC,那么（）A.AB - ACB. AB=2ACC.AB 2ACD. AB < 2 AC解：如图所示，连结B

8、Qc cAB =2 ACc cAC = BCAC = BC在 MBC 中，AB< AC+ BCAB< 2AC故选D点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。例7.已知。的半径是10cm, AB是120° ,那么弦 AB的弦心距是（）A. 5cmB. 5。3cmC. 10<3cmD. 5/3cm2解：如图所示，OA = 10cm, Z AOB= 120°.AOC = -. AOB = 60 2在 RtACO中，1 ,、CO = AO , cos/AOC = 10 父一=5 （cm）2故选A点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的

9、关系，要正确构造三角形，灵活运用。例8.等腰 ABC的顶角A= 120° ,腰AB= AC= 10, ABC的外接圆半径等于（）A. 20B. 15C. 10D. 5解：如图所示，连结OA OB AB= AC= 10 c c AB = AC由垂径定理的推论，得 OA垂直平分BC,垂足为D 又. / BAC= 120°ABC= / ACB= 30° BAO= 60°又 OA OB .AO觉等边三角形 半径 OA= OB= AB= 10故选G点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。例9.点P为半径是5的。内一点

10、，且。之3,在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（）A. 2 条 B. 3条 C. 4条 D. 5条（2002年山东）解：选Q点拨：圆是中心对称图形，故与 P点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有 4条。例10.如图所示，M N分别是。的弦AR CD的中点，AB= CD 求证：/ AMN= / CNM点悟：由弦AB= CD想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又 M N分别为AR CD的中 点，如连结 OM ON则有。阵ON OML AB, ONL CD 故易得结论。证明：连结OM ON .O为圆心，M N分别为弦AR CD的中点 OMLAB,

11、ONLCD AB= CD.OM= ON ./ OMN= / ONM . / AMN= 90° -Z OMN/CNM= 90° -Z ONM ./ AMN= / CNM点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。c c例11.在O O1与O O2中，分别有40。的MN和M1N1 ,那么:（1） MN与M1N1相等吗？（2） / MO1N 与/ M102 Ml相等吗?错解：（i）因为MiN与m7N1都是4。的弧 C C所以 MN = M1N1（3） MN 与 M1N1 相等，所以 / M1O1N =/M1O2N1常见错误：（1）误以为弧的度

12、数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否 “重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受 所对的弧相等与否来制约。正解：（1）不一定相等。（2）相等。（答题时间：30分钟）一. 选择题。1. 下列命题中，正确的命题是（）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧_ 4 c GC. 在。0中，AB CD是弦，若 AC =BD ,则 AB/ CDD. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径2. 已知P为。内一点，且 OP= 3cm,如果。的半径是4cm,那么过P点的最短弦等于（）

13、A. 2cmB. 3cm C. , 7 cm D. 2.7 cm3. 弓形弦长24,弓形高为8,则弓形所在圆的直径是（）A. 10B. 26C.13D.54. 在直彳5是10cm的。中，AB为60° ,则弦AB的弦心距是（）A.10J3cmB. 1543cm C. 5J3cmD. -5vcm5. AB 、CD分别为大小不同圆的弦，共AB= CD那么AB、CD的关系是（）A. AB = CD B. AB CDc cC. AB <CD D.不确定二.填空题。6. 已知AB为。O直径，AC为弦，OD7BC交 AC于D,AC= 6cm,贝UDC=。7. 直角三角形外接圆的圆心在 ,它的

14、半径为 一半。8. 若一个圆经梯形ABC泗个顶点，则这个梯形是 梯形。9. 弦 AB把。分 3: 7,则/ AOB=。10. 若。半径是4, P在。0内，PO= 2,则过P点的最短的弦所对劣弧是 度。11. 。中，弦AB垂直直径 CDT点 巳半径0上4cmi。之2cm,则/ AOB=，/ADC=BD度数为, 4ADC周长为 cm。13. 已知：如图，C为。O直彳仝AB上 度数。aJCZXbr OvU:一点，过C点作弦DE,使CD= CO若AD度数为50° ,求BE的ZADB (O C/)AVz7三.解答题。12. 如图，OO的两弦AB,CD互相垂直于H,AHk 4,BH= 6,CYH= 3,DHk 8,求。半径。E参考答案-.选择题。4. D5. D1. A2. D3. B二.填空题。6 . 3cm7 .斜边中点，斜边长8 .等腰9 .108 °10 .120 ° 11.120 ° , 30° 或 60° , 60° 或 120° , 12+443三.解答题。12. 过O分别作 OM_ AB于M, ONL CD于N,则得到矩形 MHNOHD -CHMO =HN =CN -CH1 _