数学建模教材18第十八章变分法模型

1、第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。§1变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)WS有一个实数J与之对应，则称J是对应在S上的泛函，记作J(x(t)。S称为J的容许函数集。通

2、俗地说，泛函就是“函数的函数”。例如对于xy平面上过定点A(x1，y1)和B(x2,y2)的每一条光滑曲线y(x)，绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x)o由微积分知识不难写出x2J(y(x)=&2ny(x)M+y'(x)dx()容许函数集可表示为1.S=y(x)|y(x)uCx,x2,y(x)=y1，y(x2)=y2(2)最简单的一类泛函表为t2J(x(t)=中F(t,x,&dt(3)被积函数F包含自变量t,未知函数x及导数&。(1)式是最简泛函。1.1.2 泛函的极值泛函J(x(t)在Xo(t)WS取得极小值是指，对于任意一个与

3、Xo(t)接近的x(t)eS，都有J(x(t)2J(Xo(t)。所谓接近，可以用距离d(x(t),x0(t)名来度量，而距离定义为d(x(t),xo(t)=吧口x(t)-xo(t)|,|x(t)-xo(t)|泛函的极大值可以类似地定义。Xo(t)称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记为、x(t)-x(t)-Xo(t)也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作J=J(Xo(t)X(t)-J(Xo(t)如果&可以表为-336-J=L(xo(t),、.x(t)r(

4、xo,、x)其中L为6x的线性项，而r是bx的高阶项，则L称为泛函在x0(t)的变分，记作6J(xo(t)。用变动的x代替xo(t),就有6J(x(t)。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数a的导数：J(x(t)=5J(x(t)+adx(t)|g(4)这是因为当变分存在时，增量"J=J(x(t)口应x)7(x(t)=L(x(t),：x)r(x(t),：x)根据L和r的性质有L(x(t),：、.x)=：L(x(t),、.x)阿迨limo叫华x=0-caJ（x'：；x）所以J（x二、x）-J（x）:=o=limo1一jL(x,：x)r(x,二、x)刃imo1l=L(x,、x)

5、=J(x)1.1.4 极值与变分利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系。若J(x(t)在xo(t)达到极值(极大或极小)，则J(xo(t)=o这是因为对任意给定的6x,J(xo+a5x)是变量a的函数，该函数在a=o处达到极值。根据函数极值的必要条件知二-J(xo-x):.o于是由(4)式直接得到(5)式。1.1.5 .变分法的基本引理1引理tP(x)-Cx1,x2,V"(x)wCx1,x2,7x1)="x2)=o,有x2(巴x)”x)dx三o,x1则邛(x)三0,xx1,x2。1.2 无约束条件的泛函极值求泛函J=1。F(t,x(t),x(t)dt(6)的极值

6、，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线x(t),使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线(或轨线)，记为x*(t)。1.2.1 端点固定的情况设容许曲线x(t)满足边界条件-337-(7)x(t0)=x0，x(tf)xf且二次可微。首先计算(6)式的变分：J二一J(x(t)：、.x(t)Tcottf:二二一F(t,x(t)：、x(t),X(t)：、*)tdtt0,:tf=°Fx(t,x,均Sx+F&(t,x,均解dt(8)对上式右端第二项做分部积分，并利用6x(t0)=6x(tf)=0,有tftfdI。F&(t,x,xidt=j。F

7、&(t,x,&6xdt,再代回到(8)式，并利用泛函取极值的必要密件，有tfdJ=°Fx-F&6xdt=0因为&的任意性，及6x(t0)=&x(tf)=0,所以由基本引理得到著名的欧拉方程dFx-一F&二0(9)dt它是这类最简泛函取极值的必要条件。(9)式又可记作FxFt&-Fx&&-F逸=0(10)通常这是x(t)的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由(7)式中的两个端点条件确定。1.2.2 最简泛函的几种特殊情形(i) F不依赖于位即F=F(t,x)这日F&三0,欧拉方程为Fx(t,x)=0,这个方

8、程以隐函数形式给出x(t)，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。(ii) F不依赖x,即F=F(t,x)欧拉方程为ddtp&(t,&=0将上式积分一次，便得首次积分F.(t,&=g，由此可求出&=邛(t,c1),积分后得到可能的极值曲线族x=t,gdt(iii) F只依赖于&,即F=F(后这日Fx=0,F噌=0,Fx&=0,欧拉方程为&F媛-0由此可设赧=0或F&&=0,如果叙=0,则得到含有两个参数的直线族x=Gt+C2。-338-另外若F&&=0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含

9、有一个参数c的直线族x=kt+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x=Gt+c2中，于是，在F=F(X)情况下，极值曲线必然是直线族。(iv) F只依赖于x和&,即F=F(x,X)这时有Ft&=0,故欧拉方程为Fx_XF婢-新留=0此方程具有首次积分为事实上，注意到F-&)=CiF不依赖于t,于是有ddd(F-&8=Fx&F)&-aF4-&F&=x(FxF)=0。dtdtdt例i(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰贝努里(J.Bernoulli)于1696年提出的。问题的提法是这样的：设A和B是

10、铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间最短。解将A点取为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向下，B点为B(x2,y2)。根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点处的速度电满足(s为弧长)dt21 ds=mgy2 mdt将ds=寸1+y'2(x)dx代入上式得dx于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函.2J"(x)M.蜉2i±y'7ydx端点条件为y(0)=0,y(x2)=v?最速降线满足欧拉方程，因为F(y,y')不含自变量x,所以方程(yi0)可写

11、作1y'2Fy-Fyy'y'"Fy'y'丫''=0等价于ddx(F-y'Fy'户0作一次积分得-339-2y(iy')=a令y'=ctg-，则方程化为22CCi,y二cL=C1sin一二(1-cos)1y'222又因0Qc1sincos-d?dx=-y=2-2一=c1(1-cos)dy',2yctg-2积分之，得x=c1(1-sin?)c22由边界条件y(0)=0,可知伞=0,故得cg/=2(1-sini)勺=.(1-cos).市2这是摆线(圆滚线)的参数方程，其中常数c1可利用另

12、一边界条件y(x2)=y2来确定。例2最小旋转面问题x2J(y(x)=2二为y(x)-1y'2(x)dx1S=y|yCx1,x2,y(x)=y1，y(x?)=y2解因f=y$1+y'2不包含x,故有首次积分F-y'Fy'=y,1+y'2-y'y二c1y1y'化简得y=G$1+y'2令y'=sht,代入上式得2sht=ccht由于dx=dy_gshtdt=cdt,积分之，得x=gt+c?，消去t,就得到y'-sht一x-c2y=c1ch。G这是悬链线方程。1.2.3最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它

13、情况。-340-(i)含多个函数的泛函使泛函x2J(y(x),z(x)=xiF(x,y,y',z,z')dx取极值且满足固定边界条件y(xi)=yi,y(x2)=y2,z(xi)=z1,z(x2)=z.的极值曲线y=y(x),z=z(x)必满足欧拉方程组鼻d7Fy'=0复渥F，=0(ii)含高阶导数的泛函使泛函x2J(y(x)=xiF(x,y,y',y")dx取极值且满足固定边界条件y(xi)=yi,y(x2)=y?,y'(x)=y'i,y'(x?)=72的极值曲线y=y(x)必满足微分方程dd2Fy-Fy'2Fy&qu

14、ot;-0dxdx(iii)含多元函数的泛函设z(x,y)cc2,(x,y)wD,使泛函J(z(x,y)=F(x,y,z,zx,zy)dxdyD取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数z=z(x,y)必满足方程FzJFz=Fz=0zzxzyex二y上式称为奥式方程。1.2.4端点变动的情况(横截条件)设容许曲线X(t)在t0固定，在另一端点t=tf时不固定，是沿着给定的曲线=甲(t)上变动。于是端点条件表示为4X(to)-Xo：x(t)="(t)这里t是变动的，不妨用参数形式表示为t=tfYdtf寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有二tf二dtf0=

15、J=I.loF(t,x-x,&'X)dto=d-341-tf=t0(Fx再对(11)式做如下分析:d-FQ6xdt十F&axFftj(11)(i)对每一个固定的tf,x(t)都满足欧拉方程，即(11)式右端的第一项积分为(ii)为考察(11)式的第二、第三项，建立dtf与6xt之间的关系，因为x(tf：=dtf)，二6x(tf1工dtf)-(tf二二dtf)对目.求导并令ot=0得x(tf)dtf+凶士=v&(tf)dtf即秋0=瞰tf)x(tf)dtf(12)把(12)代入(11)并利用dtf的任意性，得F+(<-x)F)&tnf=0(13)(1

16、3)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：(i)当x=V(t)是垂直横轴的直线时，tf固定，x(tf)自由，并称x(tf)为自由端点。此时(11)式中dtf=0及族1t士的任意性，便得自由端点的横截条件F&1f=0(14)(ii)当x=W(t)是平行横轴的直线时，tf自由，x(tf)固定，并称x(tf)为平动端点。此时烟=0,(13)式的横截条件变为(15)注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.3有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统(16)(17)nmx

17、(t)wR,u(t)wRx(t)=f(t,x(t),u(t)寻求最优性能指标(目标函数)tfJ(u(t)=(tf,x(tf)t0F(t,x(t),u(t)dt其中u(t)是控制策略，x(t)是轨线，t0固定，tf及x(tf)自由，(不受限，充满Rm空间)，f,QF连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u(t)和最优轨线x(t)的必要条件。(18)采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑Ji(x,u,)=(tf,x(tf)t0F(t,x,u)(t)(f(t,x,u)-x)dt的无条件极值，首先定义(16)式和(17)式的哈密顿(Hamilton)函数为-342-H(t,x,u

18、,K)=F(t,x,u)+?J(t)f(t,x,u)(19)将其代入(18)式，得到泛函tfT一Ji(x,u,Z)=Wtf,x(tf)+。H(t,x,u,Z)九&dt(20)下面先对其求变分tf"dtfto、j=(tf：dtf,x(tf)：、x(tf)H(t,x上必x,u，必u,，二母)-(1：1)T(&，处x)dt.总=fcx(tf)(tf)+(dtf)T9*+(dtf)tH(t,x,u,九)tf-(dtf)T(必x)t.tf，i(x)Hx(u)Hu(、,)H,，-(')&一；”&dtto=(dtf)T期f+F(t,x,u,t)tf+6x(t

19、f)T邛xf1fTTTTT十(0(&)Hx+(M)Hu+(认)H九(6A)x&dtZ(tf)6xt士Ji=(dtf)TQf+H(t,x,u,K)tfT_t4f、x(tf)T(：x-)TTt=tf注意到取t上手取(tf),&xt±f=6x(tf)©tf)dtf,因而+o(2(Hx+自+(配)(H九-x)+©u)Hudt再令Ji=0,由dtf,6x(tf),6x,M配的任意性，便得(1) x*,Z必满足正则方程：状态方程)=H,u=f(t,x,u)协态方程自二-Hx。(ii)哈密顿函数H(t,x*,u,)作为u的函数，也必满足Hu=0并由此方程

20、求得u。(iii)求x*,，u*时，必利用边界条件x(t0)=x0,(用于确7Ex)Mtf)=%tf),(用于确定九)(确定tf)Qf=-H(t,x,u,九)1.4最大(小)值原理如果受控系统&=f(t,x,u),x(t°)=x。其控制策略u(t)的全体构成有界集U,求u(t)WU,使性能指标J(u(t)=5(tf,x(tf)+0F(t,x,u)dt-343-达到最大(小)值。最大(小)值原理：如果f(t,x,u),邛(tf,x(tf)和F(t,x,u)都是连续可微的,那么最优控制策略u*(t)和相应的最优轨线x*(t)由下列的必要条件决定：(i)最优轨线x*(t),协态向量

21、，J(t)由下列的必要条件决定：dx-=f(t,x,u),u(t)wU,dtdFH.dt=-.x(ii)哈密顿函数H(t,x*,u,*)=F(t,x*,u)*T(t)f(t,x*,u)作为u(t)的函数，最优策略u*(t)必须使H(t,x*,u*,7：)=maxH(t,x*,u,讣u.U或使H(t,x*,u*,九*)=minH(t,x*,u,九*)(最小值原理)u.U(iii)满足相应的边界条件若两端点固定，则正则方程的边界条件为x(0)=x0,x(tf)=xf。若始端固定，终端tf也固定，而x(tf)自由，则正则方程的边界条件为x(0)=x。，Mtf)=%tf)(tf,x(tf)。若始端固定

22、，终端tf,x(tf)都自由，则正则方程的边界条件为x(0)=x0,九。f)=%x(tf)(tf,x(tf，H(tf,x(tf),u(tf),*tf)+Qf(tf,x(tf)=0。§2生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。2.1 问题分析与假设(i)设备的转卖价是时间t的函数，记为x(t)。x(t)的大小

23、与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价x(0)=x。(ii)设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。t时刻设备的磨损程度可以用t时刻转卖价的损失值来刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为m(t)。(iii)保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果u(t)是单位时间的保养费，g(t)是t时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价)，那么单位时间的保养效益为g(t)u(t)。另外，保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义)，只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W,则u(t)WN-344-(iv)设单位时间的产值与转卖价的比值记为p,则px(

24、t)表示在t时刻单位时间的产值，即t时刻的生产率。(v)转卖价x(t)及单位时间的保养费u(t)都是时间t的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价x(t)的贴现值计算，如果它的贴现因子为5(经过单位时间的单位费用贴现)，那么由Mx(ti)=x(ti)Mt)=i解得x(t1)=e-Q)令ti=0,便得t时刻单位费用的贴现(称贴现系数)为e",所以设备在t时刻转卖价x(t)的贴现为x(t)e-&。仿此计算，u(t)的贴现为u(t)e-,单位时间产值的贴现为px(t)e-3。(vi)欲确定的转卖时间tf和转卖价x(tf)都是自由的。2.2 模型构

25、造根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损一保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费u(t)作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损一保养系统的(转卖价)状态方程(21)鬻=-mg(t)u(t)奴(0)=x°之下，在满足0<u(t)<U的函数集W中寻求最优控制策略u*(t),使系统的经济效益这一性能指标(22)(23)J(u(t)=x(tf)e"f+j0px(t)u(t)e&quo

26、t;dt为最大，其中tf,x(tf)都是自由的。2.3 模型求解首先写出问题的哈密顿函数H=px(t)-u(t)e-J-m(t)g(t)u(t)再由协态方程及边界条件求出九(t),即由口-t:dt=一比=-pe；(tf)=%)=e-tf解得(t)"为"-345-卜面利用最大值原理求u*(t)。先将(23)式改变为H=px(t)e、t-m(t)g(t)-e-tu(t)显然，H是对u的线性函数,u(t)=*因此得到g(t)_e-、t-.0g(t)-e-'二二0(24)(1-p)e-tf-pe-tg-e40u(t)=咽,6(1，)e-、tf5-pe-、t-g(t)-e-t

27、：二05(25)U。转换点从而可解出卫6ts。产-De'")g(t)-1=06(26)在上式中，还需解决两个问题：一是u(t)=U与u(t)=0的转换点ts在什么位置,即ts等于多少？二是u(t)是由U到0,还是由0到t应满足p为pX温(1-卫)e-f卫e-'tg(t)-e-t=0因为g(t)是时间t的减函数，所以(26)式的左端也是时间t的减函数，也就是说u*(t)随时间应由U到0。于是最优控制策略的具体表达式为0<t:二tsts:t<tfx(tf)的求法，请见下面的例子。在生产设备的最大经济效益的问题中，设x(0)=100,U=1,m(t)=2,2、=

28、0.05,g(t)=试求tf,x(tf)和u(t)。(1t)2当t<ts时,当tAts时,(26)式可得求ts的公式10.05(ts4f)(1ts)2=4-2e*u(t)=U=1,状态方程为dx22dt(1t)2*u(t)=0,状态方程为(27)-346-dt于是t>ts时，有tdxts21,tt0瓦出=o-2N出(-2)出(1t)2解得1x(t)=4(1+ts)2+962t(28)由自由边界条件Ht当=$及Mtf)=e-&,得-px(tf)e&+2e-&=15e"fx(tf)于是x(tf)=一2-=40p-、当t=tf时，由(28)式有140=4

29、(1ts)296-2tf即1tf=2(1十ts)5十28(29)将(27)和(29)联立求解，编写如下Matlab程序x,y=solve('(1+ts)A(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf)','tf=2*(1+ts)A(1/2)+28')求得ts=10.6,tf=34.8于是，最优控制策略(保养费)为*M,0<t<10.6u(t);0,10.6二t<34.8§3产品最佳价格调整问题3.1 问题提出物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A产品的单位价格p(t)由现在的P0=70元调整到pi=100元，并要

30、求各公司自行在一年内完成这一调价任务。某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销售量s与其价格p和价格变化率&有着密切的联系，公司想利用这种关系制定一个A产品的调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。在如下假设条件下：(1)物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内(调价期)不会发生对A产品的其它调价决策，A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化；(2)公司多年经营A产品关于“每周销售量s与其价格p和价格变化率&的关系”的信息是可靠的，不妨假设s=s(p,酚；-347-(3)公司生产A产品的能力足以满足市场需求。设每周生产s件A产品的生产费用是c(s)；(4)函数s(p,&)和C(S)由统计方法拟合成连续可微函数。现查阅统计资料得到s=s(p,p)=-p100&100,c='s22s402经过核实，这两个具体函数符合公司的实际情况；(5)约定一年以52