斜抛运动的最佳角度的选择1

1、斜抛运动的最正确角度源子琦邓越叶红玲（工业大学100012）摘要：抛体运动是力学研究的一部分，历史上不少学者都贡献过自己的观点和看法，文章通过研究发射体的运动轨迹来讨论在何角度时发射体达到最大射程的问题与其规律。关键词：斜抛方程轨迹角度最大射程1同一水平线上的斜抛运动X木X在斜抛运动中，若抛体的初速度为V,投射角为0（如图），则物体的运动方程如下所示：xvtcos1.2yvtsingt2（1）消去参数t,得水平射程xv2s1n/g,可见当投射角为。=兀/4时，物体有最远射程：22XV/gO这时物体达到最大高度YV/4g,在这种情况下则说斜抛运动的最正确角度为兀/4。2不同水平线上的斜抛运动在许

2、多情况下，斜抛物体并不是在同一水平线上，如投掷铅球时，出手点与落地点；或在地面较低的位置向地面较高的位置发射炮弹（如图）。这时，为使抛体达到最远射程，它的最正确角度是否仍是兀/4。如果不是，这种情况的最正确角度又如何选择。设抛射点A离落地点的相对高度为h,点B为弹道曲线与A处于同一水平线上的位置（落地点C可能在直线AB的上方或下方，如图）点C为抛体落到地面处的位置，它与O点处于同一水平线上，这时抛体的射程是OC而不是OB建立如下图直角坐标系，设A（0,h）,这时抛体运动方程是x(vcos)t,12yh(vsin)tgt2(2)其中t为时间参数，h是抛射点A离开水平位置OC的相对高度。消去参数t

3、,得抛体的运动轨迹方程是：g2，一yx2(tanx2v2cos2(3)在方程(3)中令y=0,得22.2vsin22vcosvsin2ghx2从而得到落地点C的坐标为：2vsin2(2.22vcosvsin2gh2g,0)为求最正确角度，即求。为何值时，函数x()v2sin2vcos；vsin22gh/2g(4)有最大值。为此(4)对。求导数得：22dX()/d()vcos2/gvsin(vcos22gh)/g,(vsin)22ghdX()令d()2-，式中将负项移至右边，然后两边约去因式，vnv(vs1n)2gh)得v2cos2sin(vsin)22gh2.2vsin2解得2(v2gh)(5

4、)一一varcsin,2根据实际问题，当(5)式成立时，也就是当2V2gh时，X(0)有最大值。下面求，X(。)的最大值，由(5)式与。为锐角得cos.1sin2v22gh1.2v22ghv、,v22ghsin22sincos2所以vgh把上述的值带入（4）式，得最远射程、.vl2一(6)Xmax一/v2ghg由（5）式与（6）式可以看出，当h=0时，得arcsin1.2/42,Xmaxv/g与前面的结果一致。为得到抛出角0与高度h和速度v的关系，在（5）式中分别对v和h求导，得(sin()hgh2(v2gh)3/2sin()v2ghrc/2.53/22(vgh)gh2(v2gh)3(8)由（7）式知不论h0还是h0时，n）v0,这时sin。是v的增函数，且有sin()v2(v2gh)即0。V2/2,(ii)当h0时，(sin)v0,这时sin0是v的减函数，且有sin即0。0时，最正确角度的选择是随着v的增大而增大的，但不超过兀/4;当h0时,最正确角度的选择是随着v的增大而减小的，