新极值点偏移问题专题

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移）2例1已知函数fx2lnxxx,右正实数xi,X2满足fXi+fX2=4,求证：x1x22。证明：注意到f1=2,fk+fx2=2f1fx1+fx2=2f1r2fx=-+2x10x.2fx=2,f1=0,则（1,2）是£乂图像的拐点，右拐点（1,2）也是fx对称中心，则有x1x2=2，证明x1x22则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0x11x2,要证x1x

2、22x22x11fx2f2x14fxif2%4fxif2x1fxf2x,x0,1,则f2x2x1222x12x同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。得Fx在0,1上单增，有FxF1214,得证。2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移（f%0）x22x°x1二次函数fx1fx2xix22x02、拐点偏移fx00fx1fx2xx22x0fx1fx22fx0x1x22x0fx,fx22fx0x22x0x1x1x22x0极值点偏移问题专题（1）对称化构造（常规套路）例1（2010天津）已知函数fxxxe（1）求函数fx的

3、单调区间和极值;（2）已知函数gx的图像与fx的图像关于直线x1对称，证明：当x1时,同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。fXgx；(3)如果XiX2,且fXifX2,证明:x1X22.解：=小（1-工），得幻在（T1）上/，在（L"）上,r无极小值：（2）g的圉像与，（方的图像关于直线工工1对祢，贝!I门仁）的解析式为J二2一工），构造辅助团数产（工）=/任）-晨X）（2-工）Kr（x）=Jf（x）+/F（2-x）=（l-x'|+eT-1（x-l=工一Y”）当"1时，x-l0f小.0,则FA0，得产（

4、工）在（Lm）上单骑.，F（x）F（l）=Of即/a浮.（3）由的）=三）1结合（句的单调性可设*±1式占将三代入（2）中不等式得/（三）J（2与）/又看）=电）,故外%）/（2一9）,又看1,2三在yd|上单塔,散的2-巧r弱+叼2.来源：微信公众号中学数学研讨部落点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化构造的全过程，直观展示如下：X例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数fxXe,已知fX1fx2,xx2,证明x1X22.再次审视解题过程，发现以下三个关键点：（1）Xi,X2的范围0X11x2；（2）不等式fxf2xx1;同是寒窗苦读，怎

5、愿甘拜下风!所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。（3）将X2代入（2）中不等式，结合fX的单调性获证结论.把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题.例2（2016新课标I卷）已知函数fX2ex2有两个零点.（1）求a的取值范围;(2)设Xi,X2是fx的两个零点，证明:XiX22.解：（1）0,(2)由(1),1±,在1,X1可设X11x2.构造辅助函数2a2a1ex2xe1时，x10,ex,1，又F10,将X1代入上述不等式中得fX1fX22x1，又x2X11,f1,上/，故X2x1x22.通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称

6、化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是X1X22x0,也可以是x1x22X，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程.求证:已知函数fxxlnx的图像与直线ym交于不同的两点AX1,y1x1x2.e证明:1Inx1,得fx在0,一e0；f10;当X1时，fX0；当X0时，fX0（洛必达法则）；同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。1,当x时，fx，于是fx的图像如下，得0X1x21.e（ii）构造函数F用=刈一/,则-1+ln1+ln-J；exj二（1+比工），一击iifiA当0父,<-时，l+lnjf<0,则F'>0r得Fx|在0-；上，.有尸仪。,即力“5y（。<旧）.（1%（血）将冏代人。）中不等式得/（福）</=,又/（西）=/（巧），故1e为J/：又七>-r->-.工）在；-.-HD|上/r故再S=七茵/ft七e'eJe再再.来溟：微信公众号中学数学研讨部落e"小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:stepl:求导，获彳导fx的单调性,极值情况，作出fx的图像，由fx1fx2得xi,x2的取值范围（数形结合）；step2:构造辅助函数（对结论x1x22x0,构