数值分析习题

1、第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。51若误差限为0.5x10，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2n=3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3已知a=1.2031,b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b,a父b有几位有效数字？（有效数字的计算）4设x>0,x的相对误差为6,求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆枉体局度h的值为h=20cm,底面半径r的值为r=5cm,已知2|h-h|<0.2cm,|r-r区0.1cm,求圆柱体体积v=nrh的绝对误差限与相对

2、误差限。（误差限的计算）6设x的相对误差为a%,求y=xn的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）18设In=e，Jxnexdx,求证：0（DIn=1-nIn（n=0,1,2）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1已知f(_1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)2已知y=，X,x0=4

3、,x1=9,用线性插值求M7的近似值。(拉格朗日线性插值)3若xj=0,1,.n)为互异节点，且有"(x)(x-x0)(x-x1)(x-xjj)(x-xj1)(x-xn)(xj-xO)(xj-x1)(xj-xj)(xj-xj1)(xj-xn)n试证明£xk|j(x)=xk(k=0,1,.n)。(拉格朗日插值基函数的性质)j=04已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)nJT5用余弦函数cosx在Xo=0,Xi=二，x2=二三个节点处的值

4、，写出二次拉格朗日插值42JT多项式，并近似计算cos及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗6日二次插值)6已知函数值f(0)=6,f(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212，求函数的四阶均差f0,1,3,4,6和二阶均差f4,1,3。(均差的计算)7设f(x)=(xXo)(xXi)(xXn)求fX0,X1Xp之值，其中p<n+1,而节点x(i=0,1，n+1)互异。(均差的计算)8如下函数值表x0124f(x)19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件：p(1)=2,

5、p(2)=4,p'(2)=3,p(3)=12。(插值多项式的构造)10构造一个三次多项式H(x),使它满足条件H(0)=1,H(1)=0,H(2)=1,H'(1)=1(埃尔米特插值)。311设f(x)=x2,x0=1/4,x1=1,x2=9/4。(1)试求f(x)在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得H(xj)=f(x)j=0,1,2,H'(x1)=f区)，H(x)以升哥形式给出。(2)写出余项R(x)=f(x)H(x)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。212右f(x)wca,b,f(a)=f(b)=0,试证明:-12_(插值余项的应用)max

6、|f(x)|b-amax|f(x)|a<x_b8a<x_b13设f(2)=1,f(0)=1,f(2)=2,求p(x)使p(x)=f(xj(i=0,1,2);又设|f7x)0M，则估计余项r(x)=f(x)-p(x)的大小。(插值误差的估计)第三章函数逼近习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1设f(x)=siniix,求f(x)于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)2令f(x)=ex,-1<x<1,且设p(x)=a0+a(x,求a0,ai使得p(x)为f(x)于1,1上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)3证明：切比雪夫多项式序列T

7、k(x)=cos(karccosx)在区间Li,1上带权P(x)=r正交。(正交多项式的证明)d-x2x1+x2=34求矛盾方程组：1x1+2x2=4的最小二乘解。(最小二乘法)Xix2=2xk1925313844yk1932.34973.397.8(最小二乘二次逼近)第四章数值积分习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式(梯形，辛甫生公式)，复化求积的计算，高斯公式的构造。h1给定求积公式f(x)dx*af(h)+bf(0)十cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能_h高。(代数精度的应用和计算)12求积公式Lf(x)dx%A0f(0)+Af(1)+B0f'(0)，试

8、确定系数A0,A及B0,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)33数值积分公式f(x)dx3_、,fc-f(1)+f(2),是否为插值型求积公式，为什么？又该公式2的代数精确度为多少？(插值型求积公式特征)b4如果f"(x)>0,证明用梯形公式计算积分ff(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其a几何意义。(梯形求积)5用n=4的复化梯形公式计算积分21-dx,并估计误差。(复化梯形求积)1x6设f(1)=1,f(-0.5)=4,f(0)=6,f(0.5)=9,f=2,则用复化辛甫生公式计算1f(x)dx,若有常数M使|f(4)

9、|WM,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复化辛甫生公式)17已知高斯求积公式Jf(x)dx定f(0.57735)+f(-0.57735)将区间0,1二等分，用复11化高斯求积法求定积分J、&dx的近似值。(高斯公式)028试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式Cf(x)dx之Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？(代数精度的应用和计算，高斯点的特征)9设Pn(x)是0,1区间上带权P(x)=x的最高次募项系数为1的正交多项式系(1)求P2(x)。1(2)构造如下的高斯型求积公式J°xf(x

10、)dxaf(x0)+A1f(x1)o(高斯求积)第五章线性方程组的直接解法习题主要考察点：高斯消去法,LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。234-不-01用高斯消去法解方程组119x2|=2（高斯消去法的应用）12-6出Jj2xiX2X3=02用LU分解法求解线性方程组«X1+x2+x3=3。（LU分解法的应用）X1+x2+2x3=12-113设A=4-12,求A的LU分解。（LU分解法的应用）N-23一4试用“追赶法”解方程组31Ax=b,其中：A=240201一-111,b=7（追赶法的应用）5J一91215设a=1-1,求cond（A）2（条件数的计算）J1一16求证:之

11、七（范数的性质）A7求证：网2引a11A兄。（范数的性质）1-21001-210一8对矩阵A=,求AL，A1，A2和cond（A）2。（范数，条件数01-21皿1、，-001-2-的计算）9方程组Ax=b,其中AwRn珀，A是对称的且非奇异。设A有误差6A,则原方程组变化为（A+6A）（x+6x）=b,其中&为解的误差向量，试证明:中、和分别为A的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）10证明：若A=（aj）n而为严格对角占优矩阵，则A非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）第六章线性方程组的迭代解法93_0b-B(迭代法收敛习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组

12、，及其收敛性讨论。1证明：迭代格式x(k+)=Bx(k)+f收敛，其中性判断)2若用雅可比迭代法求解方程组aiiXi+812X2=bia21X1*a22X2=b2(811a22手0)迭代收敛的充要条件是812821<1。(雅可比迭代法的收敛性)8118223用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组X+2x2=3=3x1+2x2=4是否收敛？为什么？若将方程组改变成为3x1+2x2=4=x1+2x2=3再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？(雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性)4104证明解线性方程组Ax=b的雅可比迭代收敛，其中A=121。(雅可比迭代收敛：01L性判断)5已知方程组A

13、x=b，其中A=，121b=T1：0.31_：2J(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)若有迭代公式X(k41)=x(k)十口(Ax(k)+b),试确定口的取值范围，使该迭代公式收敛。(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论)"8、四门6给出矩阵a=,(口为实数)，试分别求出Q的取值范围：<281J(1)使得用雅可比迭代法解方程组Ax=b时收敛；(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ax=b时收敛。(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)7设AJ2(1)设x(k)是由雅可比迭代求解方程组Ax=b所产生的迭代向量，且x(0)

14、=(1,1)T，试写出计算x(k)的精确表达式。(2)设x*是Ax=b的精确解，写出误差|x(k)x毛的精确表达式。(3)如构造如下的迭代公式x(k+)=x(k)+m(Ax(k)b)解方程组Ax=b,试确定编的范围，使迭代收敛。(雅可比迭代及其收敛判断)x12x2-2x3=18对于给定的线T方程组4x+x2+x§=22x1+2x2+x3=3(1)讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。(2)对收敛的方法，取初值x(0)=(1,0,0)T,迭代两次，求出x，x，x。(雅可比高斯-塞德尔迭代法的计算和比较)9证明对称矩阵1,工,厂A=81a1,当<1为正定矩阵，且只有当2悭1

15、1Ax=b11,，-<«<一时，用雅可比迭代法求解方程组22才收敛。(雅可比迭代法的收敛性)第七章非线性方程求根习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1用二分法求方程x2-X-1=0的正根，要求误差小于0.05。（二分法）22说明方程x+lnx4=0在区间1,2内有惟一根x,并选用适当的迭代法求x（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）23设有斛方程123x+2cosx=0的迭代法xn卡=4+cosxn（1）证明Vx0=R均有3limxn=x（x为方程的根）。（2）此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论

16、。（3）取x0=4n二用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10工，列出各次迭代值。（和收敛性讨论）4设x*=邛（x*）,maxb（x）=人<1,试证明：由小书二中仪0）n=0,1，得到的序列xn收敛于x*。（收敛性证明）*.一.2.、,、5设万程33x2sinx=0在0,1内的根为x，若米用迭代公式xn书=1sinxn,试3、,*证明：V%WR均有叫xn=x（x为方程的根）；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）6方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：,1，一，、，1（1） x=1+二，对应迭代格式：xn由=1十=xxn（2）

17、x3=1+x2,对应迭代格式：xn+=3；1+x：（3） x,对应迭代格式：xn+=jx-1xn-1讨论这些迭代格式在Xo=1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出xo=1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）7设f(x)=(x3-a)2（1）写出解f（x）=0的牛顿迭代格式;（2）证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）8设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中a>0）o（牛顿迭代法）9用牛顿法求J115的近似值，取=10或11为初始值，计算过程保留4位小数。(牛顿迭代的构造)*_.一.10设x是非线性方程f(x)=0的m重根

18、，试证明：迭代法xn1=xnf(%)f'(xn)具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)*.一.*.11设x是非线性方程f(x)=0的m重根，证明：用牛顿迭代法求x只是线性收敛。(收敛速度证明)12设9(a)=a,9(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且中'(a)=.=中"-0(a)=0,Mp)(a)第0,试证：迭代法xn#=5(xn)在a附近是p阶收敛的。(收敛速度证明)10第九章常微分方程数值解习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1用改进的欧拉公式，求以下微分方程2xy=y-，yxe0,ij（0）=1的数值解（取步长h=0.2）,并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）'y'+yi2用四阶龙格库塔法求解初值问题3yy，取h=0.2，求x=0.2,0.4时的数值解7（0）=0要求写出由h,xn,yn直接计算yn书的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格一库塔方法的应用）E一,、一、什y'+y=0",'2h）、,r3用梯形方法解初值问题,yy,证明其近似解为yn=上i,并证明当hT0J（0）=112+hJ时，它收敛于原初值问题的准确解y=e*。4对于初值问题=-10y3y",证明当J(0)=1h<0.2时，欧拉公