第5章不等概率抽样第一部分

1、02468101214161850-6070-8090-1000%5%10%15%20%25%30%35%第五章第五章 不等概率抽样不等概率抽样 2第二部分第二部分 整群不等概率抽样整群不等概率抽样第一部分第一部分 一阶不等概率抽样一阶不等概率抽样第三部分第三部分 多阶不等概率抽样多阶不等概率抽样3？-非概率，等概率，不等概率非概率，等概率，不等概率每个单元入样的概率每个单元入样的概率不相等不相等第一部分第一部分 一阶不等概率抽样一阶不等概率抽样4第一节第一节 问题的提出问题的提出5 简单随机抽样，总体中的每一个单位都有相等简单随机抽样，总体中的每一个单位都有相等的入样概率，所以属于等概率抽样

2、，在分层随机抽的入样概率，所以属于等概率抽样，在分层随机抽 样中，如果各层的样本单位也是按简单随机抽样抽样中，如果各层的样本单位也是按简单随机抽样抽 取，那么层内也是等概率抽样。等概率抽样的基本取，那么层内也是等概率抽样。等概率抽样的基本 出发点是将总体中的每一个单位看成是平等的。如出发点是将总体中的每一个单位看成是平等的。如 果所研究的指标在各个总体单位之间差异不大，简果所研究的指标在各个总体单位之间差异不大，简 单随机抽样是简便有效的；如果所研究的指标在各单随机抽样是简便有效的；如果所研究的指标在各 个总体单位之间的差异较大，简单随机抽样的效果个总体单位之间的差异较大，简单随机抽样的效果

3、并不一定好。并不一定好。 一、不等概率抽样的必要性一、不等概率抽样的必要性 6 如果这些为数不多，但指标值在总体总值中占较如果这些为数不多，但指标值在总体总值中占较大份额的大、特大城市，大、特大商场，大型农场，大份额的大、特大城市，大、特大商场，大型农场，万吨巨轮，大额账单，在调查中与为数众多，但指标万吨巨轮，大额账单，在调查中与为数众多，但指标值在总体总值中只占微小份额的中小城市、中小场、值在总体总值中只占微小份额的中小城市、中小场、中小农场、小船舶、小额账单一样对待，仍然采取等中小农场、小船舶、小额账单一样对待，仍然采取等概率抽样，显然是不合理的。这些调查指标值占较大概率抽样，显然是不合理

4、的。这些调查指标值占较大份额的大单位理应在调查中具有较重要的地位，给予份额的大单位理应在调查中具有较重要的地位，给予较多的关注，而那些调查指标值占较小份额的中较多的关注，而那些调查指标值占较小份额的中小单位则处于次要的地位，给予较少的关注。小单位则处于次要的地位，给予较少的关注。 7例如例如nOBrien et al.(1995) 对对Philadelphia地区的病地区的病人进行抽样，目的是了解病人对于医疗服务人进行抽样，目的是了解病人对于医疗服务的偏好。目标总体是这一区域的所有注册的的偏好。目标总体是这一区域的所有注册的医院的病人。医院的病人。 总共有总共有294家医院，家医院，27652

5、个床个床位（抽样以前，研究人员只知道床位数，不位（抽样以前，研究人员只知道床位数，不知道病人数）。知道病人数）。8等概率的抽取样本医院的缺点？等概率的抽取样本医院的缺点？n首先，可能医院中愿意接受首先，可能医院中愿意接受CPR治疗的病人数量会治疗的病人数量会正比与医院床位的数量，采用等概简单估计量可能正比与医院床位的数量，采用等概简单估计量可能会有大的方差。会有大的方差。n其次，自加权的等概率样本（等比例的分层抽样）其次，自加权的等概率样本（等比例的分层抽样）可能难于管理。可能仅仅为了调查一两个病人就需可能难于管理。可能仅仅为了调查一两个病人就需要去一家医院，并且合理分配调查人员的工作负担要去

6、一家医院，并且合理分配调查人员的工作负担也是比较困难的。也是比较困难的。n第三，调查成本在调查开始的时候是未知的第三，调查成本在调查开始的时候是未知的-一个一个40个医院的样本可能包括了主要的大的医院，这会个医院的样本可能包括了主要的大的医院，这会导致比预计更大的成本。导致比预计更大的成本。9其他办法？其他办法？n调查人员还可以采用与医院病床数量成比例调查人员还可以采用与医院病床数量成比例的方法抽取的方法抽取57个医院，然后从每个样本医院个医院，然后从每个样本医院中抽取中抽取30个简单随机样本床位。个简单随机样本床位。n如果病人数等于床位数，并且医院实际的床如果病人数等于床位数，并且医院实际的

7、床位数和抽样时依据的病床数据一致，每个病位数和抽样时依据的病床数据一致，每个病人是否有相同的入样概率？人是否有相同的入样概率？n而且成本在调查实施前是已知的，因为每个而且成本在调查实施前是已知的，因为每个访员在每个医院访问的病人数量是相同的。访员在每个医院访问的病人数量是相同的。而且，总体总量的方差可能更小。而且，总体总量的方差可能更小。10n分层抽样：抽样选择概率小的单位会有较高分层抽样：抽样选择概率小的单位会有较高的权数。的权数。n采用不等概率抽样来减少抽样方差而不采用采用不等概率抽样来减少抽样方差而不采用清晰的分层。采用不同的概率来选择初级样清晰的分层。采用不同的概率来选择初级样本单元，

8、并且在估计中采用不同的权数来进本单元，并且在估计中采用不同的权数来进行弥补。行弥补。n抽样的关键是每个样本的选择概率是已知的。抽样的关键是每个样本的选择概率是已知的。 iP）在第一次抽取中被抽中单元i(iP被选入样本）单元i(11 二、不等概率抽样的主要分类二、不等概率抽样的主要分类 （一）放回不等概率抽样（一）放回不等概率抽样（二）不放回不等概率抽样（二）不放回不等概率抽样 12（一）放回不等概率抽样（一）放回不等概率抽样 所谓放回不等概率抽样是指，在抽样之前就给总体中每个所谓放回不等概率抽样是指，在抽样之前就给总体中每个单位赋予一个确定的抽取概率，在放回抽样的每一次抽取中，单位赋予一个确定

9、的抽取概率，在放回抽样的每一次抽取中，每个单位被抽中的概率都不变，直到抽够每个单位被抽中的概率都不变，直到抽够 个样本单位为止。个样本单位为止。由于每次抽取总体的分布都不变，所以各次抽取是相互独立的，由于每次抽取总体的分布都不变，所以各次抽取是相互独立的，因此特别简单，从某种意义上讲，抽样调查中的放回抽样主因此特别简单，从某种意义上讲，抽样调查中的放回抽样主要应用于不等概率抽样这种特殊的形式；然而由于这种抽样要应用于不等概率抽样这种特殊的形式；然而由于这种抽样方式是有放回抽样，而且是不等概率抽样，因此赋予较大抽方式是有放回抽样，而且是不等概率抽样，因此赋予较大抽取概率的单位不仅入样的机会大，而

10、且被重复抽中的机会也取概率的单位不仅入样的机会大，而且被重复抽中的机会也大，这样就会造成信息的重复浪费，降低抽样的精度和效率。大，这样就会造成信息的重复浪费，降低抽样的精度和效率。放回不等概率抽样方法中，最重要也是最常用的是总体中每放回不等概率抽样方法中，最重要也是最常用的是总体中每个单位每次被抽到的概率与单位的规模大小成比例的抽样。个单位每次被抽到的概率与单位的规模大小成比例的抽样。 n13（二）不放回不等概率抽样（二）不放回不等概率抽样 不放回不等概率抽样是指，在抽样之前就给总体不放回不等概率抽样是指，在抽样之前就给总体中每一个单位赋予一个确定的入样概率，并对每一次中每一个单位赋予一个确定

11、的入样概率，并对每一次抽取的概率进行精心的设计，以保证在抽取的概率进行精心的设计，以保证在n n次不放回抽样次不放回抽样中总体中的每一个单位被抽取的概率之和等于预先赋中总体中的每一个单位被抽取的概率之和等于预先赋予的入样概率。由于每次抽取采用不放回的形式，样予的入样概率。由于每次抽取采用不放回的形式，样本中不会出现重复的单位，抽样效率比放回形式高，本中不会出现重复的单位，抽样效率比放回形式高，但同时也由于各次抽取相互不独立，所以无论抽样的但同时也由于各次抽取相互不独立，所以无论抽样的实施还是目标量及其方差的估计都比放回形式复杂。实施还是目标量及其方差的估计都比放回形式复杂。不放回不等概率抽样方

12、法中，最重要最常用的是样本不放回不等概率抽样方法中，最重要最常用的是样本量固定，总体中每个单位的入样概率与单位的规模大量固定，总体中每个单位的入样概率与单位的规模大小严格成比例的抽样。小严格成比例的抽样。 14第二节第二节 放回不等概率抽样放回不等概率抽样15 一、多项抽样与一、多项抽样与PPSPPS抽样抽样 设总体包含设总体包含 个单位，在放回抽样的每一个单位，在放回抽样的每一次抽取次抽取中，抽到第中，抽到第 个单位的概率为个单位的概率为 且且 ，按此规定有放回地独立抽取，按此规定有放回地独立抽取 次，次，共抽到共抽到 个单位（有可能重复），称这样的抽样为多个单位（有可能重复），称这样的抽样

13、为多项抽样。项抽样。 Ni(01,1,2,),iiZZiN1 N1iiZnn16多项抽样:称称为为多多项项抽抽样样。放放回回的的不不等等概概率率抽抽样样又又，个个单单元元（有有可可能能重重复复）次次，共共抽抽到到独独立立地地进进行行这这样样的的抽抽样样，且且入入样样概概率率：总总体体单单元元：元元的的入入样样概概率率如如下下：在在每每次次抽抽样样中中，每每个个单单抽抽样样。个个单单元元，对对其其进进行行放放回回设设总总体体包包含含nn1ZZZZZNi21NN1iiNi21 17这种放回的不等概率抽样为何又叫多项抽样？为为多多项项抽抽样样。放放回回的的不不等等概概率率抽抽样样称称这这是是个个多多

14、项项分分布布。！）（）（）的的联联合合分分布布为为：，多多维维随随机机变变量量（，且且数数，个个总总体体单单元元被被抽抽到到的的次次第第次次抽抽样样中中为为在在设设 N21NN2211tNt2t1N21tNtnt2tnt1tnN21N1iiN1iiNi21Ni21iZZZtttnZCZCZCtttnt1ZttttZZZZNi21i,nt18 在现实中，总体单位规模在现实中，总体单位规模 大小往往可以是以低成本得大小往往可以是以低成本得到的单位的粗略度量，或是研究变量的目测值，他们不仅容易到的单位的粗略度量，或是研究变量的目测值，他们不仅容易获得而且与研究变量往往有很高的相关性，这些优点可以极大

15、获得而且与研究变量往往有很高的相关性，这些优点可以极大地提高抽样估计的精度，所以在抽样实践中，与单位规模大小地提高抽样估计的精度，所以在抽样实践中，与单位规模大小成比例的概率抽样受到青睐。记这种度量单位规模大小的指标成比例的概率抽样受到青睐。记这种度量单位规模大小的指标为为 ，并记，并记 ，则可取：，则可取： 这时，每个单位在每次抽样中入样的概率与其单位的规模这时，每个单位在每次抽样中入样的概率与其单位的规模大小成比例，称这种特殊的多项抽样为放回的与单位规模大小大小成比例，称这种特殊的多项抽样为放回的与单位规模大小成比例的概率抽样（成比例的概率抽样（sampling with probabil

16、ity sampling with probability proportional to proportional to sizesize），简称），简称 抽样。抽样。 iMiM NiiMM100MMZii PPS19 二、实施方法二、实施方法 多项抽样是最简单的不等概率抽样，其实多项抽样是最简单的不等概率抽样，其实施方法通常有两种施方法通常有两种: : （一）代码法（一）代码法 （二）拉希里（二）拉希里（lahirilahiri）法）法 20（一）代码法（一）代码法 在在 抽样中，赋予每个单位与相应抽样中，赋予每个单位与相应 相等的代相等的代码数，将代码数累加得到码数，将代码数累加得到 ，

17、每次抽取都产生一个，每次抽取都产生一个 之间的随机数，设为之间的随机数，设为 ，若代码，若代码 属于第属于第 个个单位拥有的代码数，则第个单位拥有的代码数，则第个 单位入样。重复单位入样。重复 次这次这样的过程，就可得到由样的过程，就可得到由 个单位（存在重复的可能）个单位（存在重复的可能）组成的组成的 样本。如果在实际中存在样本。如果在实际中存在 不是整数的不是整数的情况，则可以乘以一个倍数，使所有的情况，则可以乘以一个倍数，使所有的 都成为整数。都成为整数。对于一般的多项抽样，总可以找到某个对于一般的多项抽样，总可以找到某个 ，使所有，使所有的的 成为整数。每个单位赋予与相应成为整数。每个

18、单位赋予与相应 相等的相等的代码数，然后进行抽样。代码数，然后进行抽样。 iM1 0MjviZM0PPSiM0MnjnPPS0MiZM0mm21代码法：0N1N1jj1N1jj1N1jjN2111211iMMM2M1MMNMM2M1MM2M21M1Mi ，代码代码单元大小单元大小单元单元22例：某公司分8个部门，共有职工12950人，各部门职工数如下： 按与职工数成比例的概率抽3个部门。部门号i职工数123456781200450210086028401910390320023如果产生的随机数为2011、7972、10281，问抽中哪几个部门？解：12950975197509361936074

19、5174504611461037513750165116501201120011295097509360745046103750165012003200390191029408602100450120087654321MMiii代码代码累计累计24（二）希里（二）希里（lahirilahiri）法）法 令令 ，即，即 为所有为所有 中的最大值，每中的最大值，每次从次从 1 1， 范围内抽取一个随机整数范围内抽取一个随机整数 ，从，从 11， 范围内抽取一个随机整数范围内抽取一个随机整数m m，若，若 ，则，则第第 个单位入样；若个单位入样；若 ，则按前面的步骤重抽，则按前面的步骤重抽（ ， ）

20、。）。 max*1iNiMM*M*MmMimMiimiMNii25 三、汉森三、汉森赫维茨估计量赫维茨估计量 设设 是按是按 抽样得到的样本观抽样得到的样本观测值，与它们相对应测值，与它们相对应 的值和的值和 的取值也自然地记的取值也自然地记为小写的为小写的 和和 。对于总体总值。对于总体总值 ，汉森（汉森（HansenHansen）赫维茨（赫维茨（HurwitzHurwitz）给出如下估计量：）给出如下估计量： nyyy,21nzzz,21nmmm,21Y niiiHHzynY11iZPPSiM（6.46.4）26 对于对于 这种特殊形式的不等概率抽样，这种特殊形式的不等概率抽样， 的的 直

21、观意义是明显的。由于直观意义是明显的。由于 ，代入（，代入（6.46.4）式，）式，有有PPSHHY0/ Mmzii niiiHHmynMY1027 汉森汉森赫维茨估计量赫维茨估计量 具有如下性质：它是总具有如下性质：它是总体总值体总值 的无偏估计，即有的无偏估计，即有 其方差为其方差为 1n若若 ，则，则 是是 的无偏估计。的无偏估计。 YYEHH)(21)(1)(YZYZnYViiNiiHH21)() 1(1)(HHniiiHHYzynnYv)(HHYVHHYY28n【例【例6.2】某县农业局要调查全县养猪专业户】某县农业局要调查全县养猪专业户全年牲猪的出栏头数，并有全县全年牲猪的出栏头数

22、，并有全县365个养猪专个养猪专业户上年末的牲猪存栏头数，各养猪专业户业户上年末的牲猪存栏头数，各养猪专业户的饲养规模相差较大，决定以放回方式按与的饲养规模相差较大，决定以放回方式按与各养猪专业户上年末牲猪存栏头数成正比的各养猪专业户上年末牲猪存栏头数成正比的概率从中抽取概率从中抽取30户进行调查，调查结果见下户进行调查，调查结果见下表，已知全县养猪专业户上年末牲猪存栏头表，已知全县养猪专业户上年末牲猪存栏头数为数为9542头，试估计该县养猪专业户牲猪年头，试估计该县养猪专业户牲猪年出栏总头数和估计量抽样标准误差。出栏总头数和估计量抽样标准误差。29iimiyiimiyiimiy1234567

23、89101523929831242913197513437152451851331737487111213141516171819204032172611362553842258186691564922114533288304212223242526272829301926372174318301241602151044933696177注：注： 表示养猪专业户样本编号，表示养猪专业户样本编号， 表示各专业户牲猪上年末存栏头数，表示各专业户牲猪上年末存栏头数， 表示表示各专业户调查年牲猪出栏头数；其中第各专业户调查年牲猪出栏头数；其中第2 2、第、第1919编号的专业户被抽中两次。编号的专业户

24、被抽中两次。iimiy 某县养猪专业户年牲猪出栏头数调查样本资料某县养猪专业户年牲猪出栏头数调查样本资料30解：据题中所给资料 ， ， 30n95420M头）(56163)301772231341575(30954210niiiHHmynMY2806070)95425616330177(2)95425616323134()9542561631575(29309542)() 1()() 1(1)(22222012021MYmynnMYzynnYvHHniiiHHniiiHH1675)()(HHHHYvYse（头）31第三节第三节 不放回不等概率抽样不放回不等概率抽样32 一、包含概率与一、包含概

25、率与 抽样抽样 在不放回不等概率抽样中，不仅总体中每在不放回不等概率抽样中，不仅总体中每个单位被包含到样本的概率，即入样概率个单位被包含到样本的概率，即入样概率 起着关键的作用，而且总体中任意起着关键的作用，而且总体中任意两个单位被包含到样本中的率两个单位被包含到样本中的率 ，即两个单位同时入样的概率也起着重要的作即两个单位同时入样的概率也起着重要的作用，它们必须是已知的或者说是可以求得的，用，它们必须是已知的或者说是可以求得的，我们把前者称为一阶包含概率，后者称为二我们把前者称为一阶包含概率，后者称为二阶包含概率。阶包含概率。 PS)(ipi),(jipij33 如果抽样设计有固定的样本量如

26、果抽样设计有固定的样本量n n，包含概率，包含概率有如下性质有如下性质 ： nNii 11、2、iNijijn)1() 1(211 nnNinijij3、34 如果我们事先对总体中的每一个单位都有一个如果我们事先对总体中的每一个单位都有一个度量其规模大小的指标值度量其规模大小的指标值 ，记，记 对于固定的样本量对于固定的样本量 ，若总体中每个单位的入，若总体中每个单位的入样概率即一阶包含概率与其规模大小样概率即一阶包含概率与其规模大小 严格成比例，严格成比例，即若有即若有 成立，我们称这种不放回的与单成立，我们称这种不放回的与单位规模大小成比例的概率抽样为严格的位规模大小成比例的概率抽样为严格

27、的 抽样。抽样。 iMNiiiiMMNiMMZ100, 2 , 1,/niMiinZPS35 二、霍维茨二、霍维茨汤普森估计量和耶茨汤普森估计量和耶茨格伦格伦 迪迪森估计量森估计量 ( (一一) ) 霍维茨霍维茨汤普森估计量汤普森估计量 对于不放回不等概率抽样，霍维茨对于不放回不等概率抽样，霍维茨（HorvitzHorvitz）和汤普森（）和汤普森（ThompsonThompson）(1952)(1952)提出如下关于总体总值提出如下关于总体总值 的估计量：的估计量： Y niiiHTyY1 36 霍维茨霍维茨汤普森估计汤普森估计量有如下性质：量有如下性质： 1、若、若 则则 是是 的无偏估计

28、量，且它的方差为的无偏估计量，且它的方差为 , 2 , 1, 0NiiHTYYjiNiNjijHTyyYV 11)( 2、若、若 ，则，则jiNjiiji, 2 , 1, 0, 0ninjjiijHTyyYv1)(是是 的无偏估计。这里，的无偏估计。这里， HTYiiiyy37 （二）耶茨（二）耶茨格伦迪格伦迪森估计量森估计量 如果如果 固定，固定， 估计量的方差可以写成下估计量的方差可以写成下面的形式：面的形式： HTYn211)(21)(jiNiNjijHTyyYV 若若 ，则，则 jiNjiij , 2 , 1, 0 ninjjiijHTYGSyyYv112)(21)(也是也是 的无偏估

29、计。（的无偏估计。（6.226.22）是由耶茨（）是由耶茨（YatesYates）格伦迪格伦迪(Grundy)(Grundy)森森(Sen)(1953)(Sen)(1953)提出来的。提出来的。)(HTYV（6.22）38 需要注意的是，只有当需要注意的是，只有当 成立，才能保证成立，才能保证 估估 计量取非负值；而且相比较来说，计量取非负值；而且相比较来说，当当 固定时，估计量固定时，估计量 比估计量比估计量 要稳定一些。要稳定一些。 Njijijiijij, 2 , 1, 0 )(HTYGSYvn)(HTYGSYv()HTvY39思考：HT估计量与简单随机抽样下的简单估计量的联系？如：在s

30、rs中iynNY（等概抽样） 在srs等概抽样条件下，每个单元包含概率是nNWNniii1,则iniiHTynNyWY40 三、严格三、严格 抽样的实施方法抽样的实施方法 （一）（一） =2 =2的情形的情形 1 1、布鲁尔（、布鲁尔（BrewerBrewer）方法（）方法（19631963） 2 2、德宾、德宾(Durbin)(Durbin)方法（方法（19671967） PSn411 1、布鲁尔（、布鲁尔（BrewerBrewer）方法）方法 该方法要求对总体中的每一个该方法要求对总体中的每一个 ，都满足，都满足 ，即总体（或层）中的最大单位必须小于全部单位大小即总体（或层）中的最大单位必

31、须小于全部单位大小总和的总和的1/21/2，否则可将此特大单位作为必调查的单位处，否则可将此特大单位作为必调查的单位处理。两个样本单位的抽取方法是：第一个单位按与理。两个样本单位的抽取方法是：第一个单位按与 成比例的概率抽取，记第一个被抽出的单位成比例的概率抽取，记第一个被抽出的单位为为 ；第二个单位按与；第二个单位按与 成比例的概率在剩下的成比例的概率在剩下的 个单位中抽取。个单位中抽取。 i21iZiiiZZZ21)1 (ijZZ11Ni42布鲁尔方法的包含概率为：布鲁尔方法的包含概率为： iiZ2 NiiijijijiijZZZZZZZZ1211)21)(21()1(4 432 2、德宾

32、、德宾(Durbin)(Durbin)方法方法 两个样本单位仍然用逐个抽取法抽取。第两个样本单位仍然用逐个抽取法抽取。第一个样本单位以一个样本单位以 概率抽取，设入样概率抽取，设入样的单位是的单位是 ，第二个样本单位在余下的，第二个样本单位在余下的 个个单位中，以正比于单位中，以正比于 的概率抽取。的概率抽取。令令 ), 2 , 1(NiZi i1N)211211(jijZZZ )211211(jiNijjZZZD NijjjiiZZZZ21211DZZNjjj22111 44于是可以计算于是可以计算 和和 ： iij NijjijiiiDZZZZZ)211211( iiiZDDZZ2 DZZ

33、ZZjijiij2/ )211211(2 )211211(jijiZZDZZ 45 (二二) 2的情形的情形 1、水野方法、水野方法 2、布鲁尔方法、布鲁尔方法 3、拉奥、拉奥桑福特方法桑福特方法 n461 1、水野方法、水野方法 水野法也是一种逐个抽取方法，关键是第水野法也是一种逐个抽取方法，关键是第一个样本单位的设置和抽取，它以概率一个样本单位的设置和抽取，它以概率 NinNnnNZNnZii, 2 , 1,1) 1(* 抽取第一个样本单位；第一个单位抽取之抽取第一个样本单位；第一个单位抽取之后，在余下后，在余下 的单位中，再采用无放回等概的单位中，再采用无放回等概率的方法抽取剩下率的方法

34、抽取剩下 个单位。这种方法要求个单位。这种方法要求总体中的单位大小差异不能太大，如果相差过总体中的单位大小差异不能太大，如果相差过大，可以通过适当的分层加以解决。大，可以通过适当的分层加以解决。 1N1n47 总体中，只要对每个总体中，只要对每个 ，有，有 i)1(1NnnZi就可保证这种方法是严格的 抽样。 PS 对于水野方法，它的一阶和二阶包含概率分别为： iinZ2*)*(211nNnZZNnNNnjiij 482 2、布鲁尔方法、布鲁尔方法 它依然采取逐个抽取方式，是它依然采取逐个抽取方式，是 布鲁尔布鲁尔方法在方法在 情形下的推广。令所有的情形下的推广。令所有的 ，设定第一个样本单位

35、以与设定第一个样本单位以与 2 n2 nnZi1iiinZZZ 1)1(成比例的概率抽取。余下的成比例的概率抽取。余下的 单位按与单位按与1niiiZrnZZ)1(1)1( 成比例的概率从当时尚未入样的单位中每次抽取一个，成比例的概率从当时尚未入样的单位中每次抽取一个， nr, 3 , 2 。这种方法也是严格的。这种方法也是严格的 抽样抽样 PS493 3、拉奥、拉奥桑福特方法桑福特方法 这种方法是，设所有的这种方法是，设所有的 ，先以概率，先以概率 在总体中进行一次不等概率抽样，在总体中进行一次不等概率抽样，抽出第一个样本单位，然后以与抽出第一个样本单位，然后以与成比例的概率有放回地抽取余下的成比例的概率有放回地抽取余下的 个单位。个单位。一旦有单位被重复抽中，则放弃所有已抽到的单一旦有单位被重复抽中，则放弃所有已抽到的单位进行重抽，直到抽中的位进行重抽，直到抽中的 个单位不相同为止。个单位不相同为止。 nZi1), 2 , 1(NiZi1iiiZn Z1 nn50 四、非严格的四、非严格的 抽样的实施方法抽样的实施方法 非严格的非严格的 抽样，具体说抽样，具体说