现代机械工程自动控制系统的稳定性分析方法学习教案

1、会计学1第一页，共125页。2022-5-321. 概述(i sh)第1页/共124页第二页，共125页。2022-5-331. 概述(i sh)第2页/共124页第三页，共125页。2022-5-341. 概述(i sh)第3页/共124页第四页，共125页。2022-5-351. 概述(i sh)第4页/共124页第五页，共125页。2022-5-361. 概述(i sh)第5页/共124页第六页，共125页。2022-5-371. 概述(i sh)第6页/共124页第七页，共125页。2022-5-38 当飞机在受到干扰后仍能回到初始(ch sh)的飞行状态时，称飞机是稳定的。静态(jn

2、gti)不稳定：飞机离开平衡飞行状态后变得不稳定动态不稳定：飞机在平衡状态附近发生振幅越来越大的振荡。对飞机的控制分为两种： 使飞机在不同的稳定(wndng)飞行状态间转换； 使飞机进入不稳定(wndng)状态（加速状态）飞行。飞机的不稳定主要有两种类型：控制与稳定在某种程度上是相对的。1. 概述第7页/共124页第八页，共125页。2022-5-391. 概述(i sh)第8页/共124页第九页，共125页。2022-5-3101. 概述(i sh)第9页/共124页第十页，共125页。2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？ 对于不同(b tn)的系统，例如线性的、非线性的、定常的、

3、时变的稳定性的定义不同(b tn)。 线性定常控制系统的稳定性定义：系统受到扰动后恢复到原来平衡(pnghng)状态的能力。系统稳定性：系统的固有性质； 取决于系统参数。第10页/共124页第十一页，共125页。2022-5-312 SISO系统(xtng)稳定的数学描述：2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？0)(limotxt)(limotxt设线性系统在零初始条件下输入一个理想脉冲函数(t)，如果(rgu)xo(t) 随着时间的推移趋于零，即：，则系统稳定；，则系统不稳定。若：第11页/共124页第十二页，共125页。2022-5-313obi( )( )( )( )1( )(

4、)XsG sG sX sG s H s( )( )G s H s10(2)系统稳定的充分(chngfn)必要条件：系统的传递函数 此方程的根称为系统的特征根。 如果一个系统的特征根全部落在s平面的左半部分，则该系统是稳定(wndng)的；否则系统是不稳定(wndng)。2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？特征方程第12页/共124页第十三页，共125页。2022-5-314（3）系统稳定条件(tiojin)的证明：系统的闭环极点。系统特征根), 3 , 2 , 1(nisi2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？系统(xtng)的单位脉冲响应为：)()()()()(1)()(2

5、1onsssssssGsHsGsGsX第13页/共124页第十四页，共125页。2022-5-315o( )ins tiix tc e12. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？niiinnsscsscsscsscsX12211o)()()()()()(1)()(21onsssssssGsHsGsGsX部分(b fen)分解拉氏反变换(binhun)(j )j(cosjsin)is ttttteeeeett第14页/共124页第十五页，共125页。2022-5-316o( )limins titix tce10系统稳定的必要且充分条件(chn fn tio jin)为： 若系统特征方程根全

6、部具有负实部，则系统是稳定的；也可以描述为：系统传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？第15页/共124页第十六页，共125页。2022-5-317Control Systems Engineering, Fourth Edition by Norman S. NiseCopyright 2004 by John Wiley & Sons. All rights reserved.闭环极点(jdin)分布与时间相应:2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？b. 不稳定系统第16页/共124页第十七页，共125页。2022-5-318

7、UnstableStable2. 什么(shn me)是控制系统的稳定性？第17页/共124页第十八页，共125页。2022-5-3193. SISO连续(linx)控制系统的稳定性分析3.1 代数稳定性判据(pn j)3.2 代数稳定性判据(pn j)3.3 系统的相对稳定性3.4 稳态误差分析方法第18页/共124页第十九页，共125页。2022-5-3203.1 代数(dish)稳定性判据3.1.1 赫尔(h r)维茨（ Hurwitz ）判据3.1.2 劳斯（Routh）判据3.1.3 谢绪凯判据第19页/共124页第二十页，共125页。2022-5-32111101( )( ).0n

8、nnnG s H sa sasa sa3.1.1 赫尔(h r)维茨判据系统(xtng)的特征方程式obi( )( )( )( )1( )( )XsG sG sX sG s H s系统(xtng)的传递函数第20页/共124页第二十一页，共125页。2022-5-322(, , ,)iin 01 2 3 。(1)系统特征方程的各项系数(xsh)全部为正值，即0ia (i =0，1，2，n)。 3.1.1 赫尔(h r)维茨判据11101( )( ).0nnnnG s H sa sasa sa(2)由系统特征方程各项系数所构成的赫尔维茨矩阵(j zhn)的各阶主子式行列式的值全部为正。，交集第2

9、1页/共124页第二十二页，共125页。2022-5-323021231425310000000000000aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn，进行检验。，即列式，条件，可计算半数的行如果满足00031nnia3.1.1 赫尔(h r)维茨判据第22页/共124页第二十三页，共125页。2022-5-324例 单位(dnwi)负反馈系统的开环传递函数为值范围。试求使系统稳定的 KsssKsG) 125. 0)(11 . 0()(0) 125. 0)(11 . 0(10)(1sssKsG解：系统的特征方程3.1.1 赫尔(h r)维茨判据第23页/共124页第二十四页，共125页。

10、2022-5-325；）（001Kai0213023000)2(aaaaaa140025. 0135. 0032113022KKaaaaaaaa。值范围：的保证系统稳定140 KKKaaaaKsss012323135. 0025. 0035. 0025. 0，特征方程各项系数3.1.1 赫尔(h r)维茨判据第24页/共124页第二十五页，共125页。2022-5-3263.1.2 劳斯判据(pn j)1110( )0,0nnnnnD sa sasa saa 其中，所有的系数均为实数(shsh)。这个方程的根没有正实部的必要(但并非充分)条件为： (1)方程各项系数的符号一致。 (2)方程各项

11、系数非0。第25页/共124页第二十六页，共125页。2022-5-327 判断(pndun)特征根是否全部具有负实部的充要条件首先列出下面的劳斯表2461135721234312342121101nnnnnnnnnnnnaaaasaaaasbbbbsccccseesfsgs其中，前两列中不存在的系数(xsh)可以填“0”，元素123412341211, ,b b b bc c c ce ef g根据下列公式(gngsh)计算得出3.1.2 劳斯判据第26页/共124页第二十七页，共125页。2022-5-3282312113111nnnnnnnnnnaaa aaabaaaa 45142151

12、11nnnnnnnnnnaaa aaabaaaa 6716317111nnnnnnnnnnaaa aaabaaaa 计算(j sun)bi时所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的。系数b的计算(j sun)一直进行到其余值为零时止。3.1.2 劳斯判据(pn j)第27页/共124页第二十八页，共125页。2022-5-329131 213112111nnnnaaabbacbbbb 151 315213111nnnnaaabbacbbbb 171 417314111nnnnaaabbacbbbb 显然(xinrn)，计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二

13、、三行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的，同样，系数c的计算一直进行到其余值为零为止。3.1.2 劳斯判据(pn j)第28页/共124页第二十九页，共125页。2022-5-330例 系统(xtng)的特征方程为432235100ssss用劳斯判据判断(pndun)系统是否稳定。432104,2,1,3,5,10naaaaa解：因为方程各项系数非零且符号一致(yzh)，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下3.1.2 劳斯判据第29页/共124页第三十页，共125页。2022-5-33144203312121120100000

14、aaasaasbbsccsds42131312 5 1 371aabaaa 4023312 0 1 101001aabaa 31112111 10( 7) 56.437aacbbb 32131010acbbb 1211211( 7) 0 10 6.43106.43bbdccc 劳斯表为3.1.2 劳斯判据(pn j)第30页/共124页第三十一页，共125页。2022-5-33243210231015071006.43001000sssss符号改变符号改变1,21.005j0.933s 3,40.755j1.444s劳斯表为 表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个(lin )根在复平面的

15、右半部分。求解特征方程，可以得到4个根，分别为： 显然(xinrn)，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。3.1.2 劳斯判据(pn j)第31页/共124页第三十二页，共125页。2022-5-3333.1.3 谢绪凯判据(pn j)第32页/共124页第三十三页，共125页。2022-5-3343.2 几何(j h)稳定性判据3.2.1 Nyquist判据(pn j)3.2.2 Bode判据(pn j)第33页/共124页第三十四页，共125页。2022-5-3353.2 几何(j h)稳定性判据1110121212( )1()()()()()()()()()mmmmnnnb s

16、bsbsbF sspspspk szszszspspsp ( )1( )( )F sG s H s 系统(xtng)的开环传递函数K( )( )( )GsG s H s设第34页/共124页第三十五页，共125页。2022-5-336函数的性质：)(sF的极点；的零点即为）（)()(1bsGsF的极点。数的极点即为开环传递函）（)()()(2sHsGsFb( )( )1( )( )G sG sG s H s3.2 几何(j h)稳定性判据第35页/共124页第三十六页，共125页。2022-5-33737奈奎斯特路径1jjjsr ：3.2.1 奈奎斯特稳定性判据(pn j)到 奈奎斯特路径是包

17、围s平面右半面的顺时针方向的封闭曲线Ls, ，它由两段有向线构成，如图5.3，其中L1为沿s的虚轴由 的直线，为以 为半径从虚轴的正向顺时针转角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。L1和L2两段线包围(bowi)了复平面s的右半面。第36页/共124页第三十七页，共125页。2022-5-33812b1110()()()( )ZnnnnszszszG sa sasa sa(2) 用系统闭环传递函数表示(biosh)的奈奎斯特判据 当已知系统有Z个零点(ln din)时，系统的传递函数可以表示为(5.9) 绘制出Ls的由Gb(s)映象的曲线绕原点按顺时针转的周数N来判断系统(xtng)的稳定性，当

18、N=Z时，系统(xtng)是稳定的；当N赫尔维茨稳定性判据第103页/共124页第一百零四页，共125页。2022-5-3105222222222222j1j112j(1)(1)12(1)(1)xywxyxyyxyxyxyyuvxyxy，5.1.1 稳定性分析方法第104页/共124页第一百零五页，共125页。2022-5-3106平面的虚轴。平面上的单位圆映射成时，当wzuyxz0122平面的左半平面。射成平面上的单位圆内部映时，当wzuyxz0122平面的右半平面。射成平面上的单位圆外部映时，当wzuyxz01225.1.1 稳定性分析方法利用(lyng)赫尔维茨稳定性判据第105页/共1

19、24页第一百零六页，共125页。2022-5-3107)(sx)(sY) 1( ssKT例 分析(fnx)图所示系统当K=10 时的稳定性，求出能使系统稳定的K值范围(T =1s)。5.1.1 稳定性分析方法第106页/共124页第一百零七页，共125页。2022-5-3108 )e)(1()e1 (10)(10-TTzzzzGK递函数为：时，系统的开环脉冲传当解0)e1 (10)e)(1(0)(zzzzGTT：闭环系统的特征方程为，所以系统是不稳定的因为，代入上式，整理得把1876. 4076. 00368. 0952. 412212zzzzzsT5.1.1 稳定性分析方法第107页/共12

20、4页第一百零八页，共125页。2022-5-3109wwzzKzzKzz110368. 0)6324. 037. 1 (0)e1 ()e)(1(21 -1 -令闭环系统特征方程33. 400033. 40632. 0364. 1632. 0736. 202012KKaKaKaaKa，0632. 0364. 1)632. 0736. 2(2KwwK5.1.1 稳定性分析方法第108页/共124页第一百零九页，共125页。2022-5-31105.1.2 极点(jdin)分布与瞬态响应的关系)(1)()()(bbzGzzzXzGzY数的输出：系统输入为单位阶跃函nkkkazzbzY1)()39.

21、5()(1nkkkkkkkabazzbZnyaaa对应的瞬态响应分量为则的位置在实轴上，为系统的极点如果第109页/共124页第一百一十页，共125页。2022-5-3111之间的关系瞬态响应与极点 a)6(0t)5(0t)1 ()2()3()4()5()6()4(0t(2)0t0t(1)(3)0t5.1.2 极点分布(fnb)与瞬态响应的关系第110页/共124页第一百一十一页，共125页。2022-5-3112|z|=1Longer settling timeRe(s)Im(s)UnstableStableHigher-frequencyresponseTsez :Intuition5.1

22、.2 极点(jdin)分布与瞬态响应的关系第111页/共124页第一百一十二页，共125页。2022-5-3113是发散序列；，（）当)(1nyak的等幅脉冲序列；是幅值为，（）当kkbnya)(1衰减越快；离原点越近，是单调衰减序列，（）当)()(10nyanyakk衰减越快；离原点越近，是交替变号的衰减序列，（）当)()(01nyanyakk脉冲序列；的等幅是交替变号的幅值为，（）当kkbnya)(1是交替变号的发散序列，（）当)(1nyak5.1.2 极点(jdin)分布与瞬态响应的关系第112页/共124页第一百一十三页，共125页。2022-5-3114)(1)() 1(lim)()

23、 1(lim)(lim)(1)()()(11zGzXzzEznTeezGzXzEzEzzznss稳态误差变换误差信号的)(sY)(sG)(zE)(sX)(sE)(zY离散系统的误差）基本概念与基本公式（1终值定理(dngl)5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第113页/共124页第一百一十四页，共125页。2022-5-3115)(1lim1)(11lim)(1) 1() 1(lim1)(11pp11zGKKzGzGzzzezzzXzzzss单位阶跃函数输入）误差系数与稳态误差（2的极点。中有两个型系统：如果在的极点；中有一个型系统：如果在的极点；中没有型系统：如果1)(II1)(I1

24、)(0zzGzzGzzG稳态误差型以上的系统：对于；稳态误差为为有限值型系统：对于0I10pppsssseKKeK5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第114页/共124页第一百一十五页，共125页。2022-5-3116型系统：对于；为有限值型系统：对于；型系统：对于0II1I00vvvvsssssseKKeKeK)() 1(lim11)() 1(1lim)(1) 1() 1(lim) 1()(21vv1212zGzTKKzGzTzGzzTzezTzzXzzzss单位斜坡函数输入5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第115页/共124页第一百一十六页，共125页。2022-5-3

25、117)() 1(lim11)() 1(1lim) 1(2) 1()(11lim) 1(2) 1()(3212aa21232132zGzTKKzGzTzzzTzGzezzzTzXzzzss单位抛物线函数输入为有限值型系统：对于；型系统：型及对于aaa1II0I0KeKeKssss5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第116页/共124页第一百一十七页，共125页。2022-5-3118例误差求图中离散系统的稳态)1 . 0(sT )(sY)10(10ss)(zE)(sX)(sE)(zY5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第117页/共124页第一百一十八页，共125页。2022-5

26、-3119 )368. 0)(1(632. 0)e)(1()e1 ()(10-10-zzzzzzzGTT为开环系统脉冲传递函数解0)368. 0)(1(632. 0) 1(lim110)368. 0)(1(632. 0) 1(lim1)368. 0)(1(632. 01limI212a1v1pzzzzTKzzzzTKzzzKzzz；数为型系统，其稳态误差系此系统为查表（6）5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第118页/共124页第一百一十九页，共125页。2022-5-3120。稳态加速度误差；稳态速度误差；稳态位置误差assssssKeKeKe11 . 0101vp5.1.3 离散系统的稳态误差(wch) 第119页/共124页第一百二十页，共125页。2022-5-31215.2 MIMO离散