第二节二重积分的计算法

1、第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy21( )( )(

2、, )( , ).bxaxDf x y df x y dydx 得得21( )( )( , ).bxaxdxf x y dy21( )( )( , )( , )bxaxDf x y df x y dy dx 21( )( )( , ).bxaxdxf x y dy例例 1 1 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域. 2xy 2yx 2xy 2yx .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )

3、(1yx D2121()()()()( , )( , ) ( , )dycyDdycyf x y df x y dx dydyf x y dx 例例 2 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分

4、割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.改变积分的次序改变积分的次序 例例 3 3 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 解解xy 1积分区域如图积分区域如图AoDiirr iirrriii二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr ( , )( cos , s n ).iDDf x y dxdyf rrrdrd21( )( )( cos , sin ).d

5、f rrrdr ADo)(1 r)(2 r( cos , sin )Df rrrdrd 1、二重积分化为二次积分的公式（）、二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图(极点在区域以外极点在区域以外), ).()(21 rAoD)(2r)(1r2、二重积分化为二次积分的公式（）、二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图(极点在区域边界上极点在区域边界上), ).(0 r( )0( cos , sin )( cos , sin ).Df rrrdrddf rrrdr AoD)(r2( )00( cos , sin )( cos , sin ).Df rrrdrddf rr

6、rdr 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 3、二重积分化为二次积分的公式（）、二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图（极点在区域内部）区域特征如图（极点在区域内部）).(0 rDoA)(r,2 0例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx例例 2 2 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为a的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域.例例 3 3 计计算算dxdyyxD)(22 ，其

7、其 D 为为由由圆圆 yyx222 ，yyx422 及及直直线线yx3 0 ， 03 xy 所所围围成成的的平平面面闭闭区区域域. 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例例 4 4 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(, 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD. 1D例例 4 4 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(, 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD. 解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在