高等代数最重要的基本概念汇总

1、第一章基本概念数环和数域定义 1设 S 是复数集C 的一个非空子集, 如果对于S 中任意两个数a、 b 来说， a+b,a-b,ab都在 S 内，那么称 S 是一个数环。定义 2 设 F 是一个数环。如果（ i ） F 是一个不等于零的数；（ ii ）如果 a、 b F, ，并且 b0 ， aF ，那么就称 F 是一个数域。b定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式一元多项式的定义和运算定义 1数环 R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式1a0a1 x a2 x2L an xn ，是非负整数而a0 ,a1, a2 ,L an 都是 R 中的数。项式 1中，

2、a0 叫作零次项或常数项，ai xi叫作一次项，一般，ai 叫作 i 次项的系数。定义 2若是数环 R 上两个一元多项式f x和 gx 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说 fx 和 g x 就说是相等定义 3an xn 叫作多项式a0a1xa2 x2Lan xn ， an0 的最高次项，非负整数n 叫作多项式a0a1x a2 x2Lan xn ， an0 的次数。定理 2.1.1设 fx和g x是数环 R上两个多项式，并且f x 0 ， g x 0，那么i当 fxgx0 时，ii0 f x g x0 f x0 g x。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1）加法交换律：fxg

3、xg xfx ；2） 加法结合律：fxg xh xfxg xh x；3）乘法交换律：fx g xg x fx ；4） 乘法结合律：f x g xh xf x g x h x；5） 乘法对加法的分配律：fx g xh xfx g xfx h x 。推论 2.1.1f xgx0 当且仅当fx 和 g x中至少有一个是零多项式推论 2.1.2若 fxg xf x hx ，且 f x0 ，那么 g x h x多项式的整除性设 F 是一个数域。fx 是 F 上一元多项式环定义令 fx 和 g x 是数域 F 上多项式环g xfx h x ，我们说，fxfx 的两个多项式。如果存在整除（能除尽）g x 。

4、fx 的多项式 h x ，使多项式整除的一些基本性质：1）如果 fxgx， gxhx，那么 fxhx2）如果 hxfx， hxgx，那么 hxfxg x3）如果 hxfx，那么对于fx 中的任意多项式 g x来说， hxfx gx4）果 h xfix ,i1,2,3,L , t, 那么对于 fx中任意 gi x i 1,2,3, L, t,5）次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。6）每一个多项式fx 都能被 cfx整除，这里c 是 F 中任意一个不等于零的数。7）如果 fxgx， gxfx，那么 fxcg x，这里 c 是 F 中的一个不等于零的数设 fx，g x是两个任意的多

5、项式，并且gx0。那么f x 可以写成以下形式fxgxqxrx ，这里 rx0 ，或者 r x的次数小于gx的次数。定理2.2.1设fx和 gx是 fx 的任意两个多项式，并且g x0 。那么在f x 中可以找到多项式 q x 和 r x ，使fxgx q xrx（ 3）这里或者 r x0 ，或者 r x 的次数小于g x 的次数，满足以上条件的多项式q x 和rx 只有一对。设数域F 含有数域F 而 fx和 gx 是 fx 的两个多项式，如果在f x 里 gx 不能整除 fx ，那么在 Fx 里 gx也不能整除fx 。1）定义1 假定hx 是 fx和 gx 的任一公因式，那么由2）3）中的第

6、一个等式，rk 3 xrk 2x qk 1 xrk 1 x ,rk 2 xrk 1x qk xrk x ,rk 1xr xqk 1xh x也一定能整除 r1x 。同理，由第二个等式，h x 也一定能整除 r2 x 。如此逐步推下去，最后得出h x能整除 rk x，这样， rkx的确是 fx和 gx 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。4）定义2设以 gxxa 除 f xan xnan 1 xn 1 La1x a0 时，所得的商q xbn 1xn 1bn 2 xn2Lb1 xb0 及余式 rxc0 ，比较 fxgx q x r x 两端同次幂的系数得 bn1an ， bn 2

7、an1abn 1 ， b0a1ab1 ， c0a0ab0 ，这种计算可以排成anan 1an 2La1a0以下格式a) abn)abn 2L)ab1) ab01bn 1anbn 2bn 3Lb0c05） 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。6）多项式的最大公因式7）设 F 是一个数域。fx 是 F 上一元多项式环8）定义 1令设 fx 和 g x 是 fx 的任意两个多项式，若是fx 的一个多项式h x 同时整除fx 和 g x ，那么 h x 叫作 fx 与 g x 的一个公因式。9）定义 2设 dx 是多项式fx 与 g x 的一个公因式。若是d x 能被 fx 与 g x 的每一

8、个公因式整除，那么dx 叫作 fx 与 g x 的一个最大公因式。10） 定理fx 的任意两个多项式fx 与 g x 一定有最大公因式。除一个零次因式外，fx与 g x 的最大公因式是唯一确定的，这就说，若d x 是 fx 与 g x 的一个最大公因式，那么数域 F 的任何一个不为零的数c 与 dx 的乘积 c d x也是 fx与 gx的一个最大公因式；而且当f x 与 g x 不完全为零时，只有这样的乘积才是f x 与 gx的最大公因式。11） 从数域 F 过度渡到数域F 时， fx 与 g x的最大公因式本质上没有改变。12） 定理 若 d x 是 fx 的多项式f x 与 gx 的最大公

9、因式，那么在fx 里可以求得多项式u x 和v x ，使以下等式成立：13）（ 2） fx u xg x v x =d xf xx, g x=x+1，那么以下等式成立：x x 2x+1x-12x22x 1 但 2 x22x1显然不是f x 与 g x 的最大公因。14） 定义 3如果 fx 的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。15） 定理fx 的两个多项式fx 与 g x 互素的充要条件是：在fx 中可以求得多项式u x 和v x ，使16） （ 4）fx u xg x v x =117） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：18） 若多项

10、式 fx 与 gx 都与多项式 h x互素，那么乘积 f xg x 也与 h x19） 若多项式 hx 整除多项式 f x 与 gx的乘积，而 hx与 fx 互素，那么g x 。20） 若多项式 gx 与 hx 都整除多项式fx ，而 g x与 hx互素，那么乘积f x互素。h x 一定整除g x h x 也整除最大公因式的定义可以推广到n n2 个多项式的情形：若是多项式h x 整除多多项式f1 x , f 2 x ,L , fn x 中的每一个，那么h x 叫作这 n 个多项式的一个公因式。若是f1 x , f2 x ,L , f n x 的公因式 d x 能被这 n 个多项式的每一个公因

11、式整除，那么d x 叫作 f1 x , f2 x ,L , fn x 的一个最大公因式。若 d0 x 是多项式f1 x , f 2x ,L, fn 1 x 的一个最大公因式，那么d0 x 是多项式fn x 的最大公因式也是多项式 f1x , f2 x ,L, f n 1x 的最大公因式。若多项式f1 x , f2 x ,L , f n x 除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。2.4 多项式的分解定义1fx的任何一个多项式fx ，那么F 的任何不为零的元素c 都是fx 的因式，另一方面，c 与fx 的乘积c fx 也总是 fx的因式。我们把fx 这样的因式叫作它的平凡因式，

12、定义2令 fx 是fx 的一个次数大于零的多项式。若是fx 在 fx 只有平凡因式，fx 说是在数域F 上（或在fx 中）不可约。若fx除平凡因式外，在fx 中还有其他因式，fx就说是在F 上（或在fx 中）可约。如果 fx 的一个n（ n>0）次多项式能够分解成fx 中两个次数小于n 的多项式g x 与 h x 的乘积：（ 1）fxg x h x ，那么 fx 在 F 上可约。若是 fx 在 fx 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么fx 在 F 上不可约。不可约多项式的一些重要性质：1）如果多项式 px 不可约，那么 F 中任一不为零的元素c 与 p x 的乘积 c

13、p x也不可约。2）设 px 是一个不可约多项式而f x 是一个任意多项式，那么或者p x 与 fx互素，或者p x整除 fx 。3） 如果多项式fx 与 gx 的乘积能被不可约多项式p x 整除，那么至少有一个因式被整除。4） 如果多项式f1x , f2x ,L , f sx s 2 的乘积能被不可约多项式p x 整除，那么至少有一个因式被 p x 整除。定理 2.4.1f x 的每一个 n(n>0) 次多项式 fx 都可以分解成fx 的不可约多项式的乘积。定理 2.4.2令 f x 是 fx 的一个次数大于零的多项式，并且此处 ci 与 q jxi 1,2, L , r , j1,2

14、,L , s 都是 fx 的不可约多项式，那么r s ，并且适当调换 q jx的次序后可使 q jx ci x pi x,i1,2, L , r , 此处 ci x是 F 上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式解式是唯一的。形如f x 分解成不可约因式乘积的分k1k 2ktf x 的典型分解式，每一个典型分解式都f x ap1 x p2 xLpt x 的多项式叫作多项是唯一确定的。重因式定义 fx 的多项式的导数或一阶导数指的是f x 的多项式 fxa12a2 xLnan xn 1一阶导数f x 的导数叫作fx 的二阶导数，记作fx， fx的导数叫作 fx 的三阶导数，记作

15、 fx，等等。f x的 k 阶导数也记作f kx。关于和与积的导数公式仍然成立：（ 1）f xg xf xg x（ 2）f x g xf x g xg x f x（ 3）kkfk1f xxf x定理 2.5.1设 p x是多项式fx 的一个 kk1重因式。那么 px 是 f x 的导数的一个 k-1 重因式。定理 2.5.2多项式 fx 没有重因式的充要条件是fx与它的导数fx 互素。多项式函数多项式的根设给定了1R 的一个多项式和一个数cR, 那么在fx 的表示式里，把x 用 c 来代替，就得到R 的一个数这个数叫作当xc 时， fx 的值，并且用fc 来表示。对于R上的每一个数c，就有R

16、中唯一确定的数fc 与它对应。就得到R 与 R 的一个影射。这个影射是由多项式所确定的，叫作R 上的一个多项式函数。fx定理 2.6.1设 f xR x ,c R ，用 x c 除 f x 所得的余式等于当xc 时 f x的值 fc定义令 fx 是 Rx 的一个多项式而 c 是 R 中的一个数，若是当 xc 时 fx 的值 fc0 ，那么 c叫作 fx 在数环 R 中的一个根。定理 2.6.2数 c是 f x的根的充要条件是fx 能被 xc 整除。定理 2.6.3设 xc 是 R x中一个 n 0 次多项式。那么f x 在 R 中至多有 n 个不同的根。定理 2.6.4设 fx 与gx是 R

17、x 的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以 R 中 n+1 个或更多不同的数来代替x 时，每次所得fx 与g x的值都相等，那么f x =g x 。定理 2.6.5R x 的两个多项式 f x 与gx相等，当且仅当她们所定义的R 上多项式函数相等。这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。复数和实数域上多项式定理 2.7.1（代数基本定理）任何 n n0 次多项式在复数域中至少有一个根。定理 2.7.2任何 n n0 次多项式在复数域中有n 个根（按重根重数计算）。复数域 C 上任一 n n0 次多项式可以在C x里分解为一次因式的乘积。负数域上任一次大于1 的多项式都是可约的。定

18、理若实数多项式fx 有一个非实的复数根，那么的共轭数也是fx 的根，并且与有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两成对。定理实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。定理每一个次数大于0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。有理数域上多项式令 fx是整数环 Z 上的一个n0次多项式。如果存在g x , h xZx，它们的次数都小于n，使得 f xg xhx ，（ 1）那么 fx、g x 、 h x自然可以看成有理数域Q上的多项式。等式（1）表明，f x 在 Q x 中是可约的。定义若是一个整系数多项式fx的系数互素，那么f

19、 x叫作一个原本多项式。引理 2.8.1两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。定理 2.8.1若是一个整系数n0次多项式 fx在有理数域上可约，那么f x 总可以分解成次数都小于 n 的两个整系数多项式的乘积。定理 2.8.2（艾森斯坦（ Eisenstein）判别法）设是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得（ i ）最高次项系数 an 不能被 p 整除；（ ii ）其余各项都能被p 整除；（ iii ）常数项a0 不能被 p2 整除，那么多项式fx在有理数域上不可约。有理数域上任意次的不可约多项式都存在。定理 2.8.3设 fxa0 xna1xn 1Lan 是一个整系数多项式。

20、若是有理数u 是 fx的一个根，这里 u 和 v 是互素的整数，那么v（ i） v 整除 fx 的最高次项系数a0 ，而 u 整除 f x 的常数项 an ；（ ii） fxxuqx ，这里 q x是一个整系数多项式。v多元多项式在这一节里， R 总表示一个数环，且1R令 x1 , x2 , x3 ,L, xn 是 n 个文字，形如ax1k1 x2k2 Lxnkn 的表示式。其中aR,k1, k2 ,L kn 是非负整数，叫作 R上 x1 , x2 ,L, xn 的一个单项式。数a 叫作这个单项式的系数，如果某一ki0，那么 xi ki可以不写，约ki1ki1ki1ki1定 ax1k1 Lxi

21、1xi0 xi1Lxn knax1k1 L xi 1xi 1Lxn kn 。因此， m mn 个文字的单项式总可以看成 n 个文字的单项式。特别，当k1k2k3Lkn0 时，我们有 ax10 x20 Lxn0a R 。形式表达式a1x1k11x2k12 Lxnk1na2 x1k21x2k22 Lxnk 2nLasx1ks1 x2ks2 Lxnksn ,aiR ， kij是非负整数i 1,2,3, L, s; j1,2,L, n，叫作 R上 n 个文字 x1, x2 , x3 ,L , xn 的一个多项式，或简称R上一个 n 元多项式。我们通常用符号fx1, x2 ,L, xn， gx1 , x

22、2 ,L , xn等来表示 R上 n 个文字 x1, x2 , x3 ,L, xn 的多项式。定理 2.9.1数环 R上的两个 n 元多项式fx1 , x2 ,L, xn与 g x1, x2 ,L, xn的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。定理 2.9.2数环 R 上两个不等于零的n 元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理 2.9.3设 fx1 , x2,L, xn是数环 R 上的一个 n 元多项式，如果对于任意c1, c2 ,L cnRn 都有f c1 ,c2 ,Lcn0 ，那么 f x1 , x2 ,L, xn0推论 2.9.1设 fx

23、1, x2 ,L, xn与 gx1 , x2 ,L, xn是数环 R 上 n 元多项式，如果对于任意c1 ,c2 ,LcnRn 都有fc1, c2 ,L cngc1 , c2 ,L cn，那么fx1, x2 ,L , xng c1, c2 ,L cn . 换句话说，如果由fx1, x2 ,L , xn 与g x1 , x2 ,L , xn 确定的多项式函数f 与 g 相等，那么这两个多项式相等。对称多项式定义 1设 fx1, x2 ,L , xn 是数环 R上的一个n 元多项式，如果对于这n 个文字 x1, x2 , x3 ,L , xn 的指标集1,2, L , n 施行任意一个置换后，fx

24、1 , x2 ,L , xn都不改变，那么就称 fx1, x2 ,L , xn是 R 上一个 n 元对称多项式。定义 2（ 1）n 1x1 x2 L xn 1x1x2 Lxn 2 xnLx2 x3 L xn ,nx1x2 L xn ，这里k 表示x1, x2 , x3 ,L , xn 中 k 个所作的一切可能乘积的和，这样的n 个多项式显然都是n 元对称多项式。我们称这 n 个多项式1 ,2,L ,n 为 n 元对等对称多项式。引理 2.10.1设 fx1, x2 ,L , xnai iLi x1i1 x2i2Lxnin 是数环 R 上一个 n 元对称多项式，以i 代替 xi ，1 2n1 i

25、n ，得到关于1,2 ,L,n 的一个多项式f 1,L , ni1i2L2ai i L i121 2nai1i2L in0 ，即 f x1, x2 ,L , xn0nin 。如果 f1, 2 ,L , n0 ，那么一切系数定理 2.10.1数环 R上一 n 元对称多项式 f x1, x2 ,L , xn 都可以表示成初等对称多项式1, 2,L, n 的系数在 R 中的多项式，并且这种表示法是唯一的。推论 2.10.1设 fx 是数域 F 上的一个一元 n 次多项式，它的最高次项系数是1。令1, 2,L ,n 是fx 是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么1, 2,L ,n 的每一个系数取自

26、F 的对称多项式都是f x 的系数的多项式（它的系数在F 内）因而是F 的一个数。第三章行列式排列定义 1 n个数码 1， 2， n 的一个排列指的是由这n 个数码组成的一个有序组，叫做数码的排列。定义 2一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数）。一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇数个逆序数的排列叫作一个奇排列。定义 3 如果把这个排列里任意两个数码i与 j 交换一下，而其余的数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一

27、个变换叫作一个对换，并且用符号i , j 来表示。定理 3.2.1设 i1i 2 L in 和 j1 j2 L jn 是 n 个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由 i1i2 Lin 得出 j1 j2 L j n 。定理 3.2.2每一个对换都改变排列的奇偶性。定理 3.2.3n 2 时， n 个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为n 个。2n 阶行列式我们用符号j1 j 2 Ljn来表示排列j1 j 2 Ljn 的逆序数。定义 1 用符号表示的 n 阶行列式指的是n 项的代数和，这些项是一切可能取自n 个元素的乘积。项 a1 j1a2 j2 Lan jn 的符号为1j1 j 2 L

28、j n的不同的行与不同的列上的，也就是说，当 j1j 2 L j n 是偶排列时，这一项的符号为正，当j1 j 2 Ljn 是奇排列时，这一项的符号为负。定义 2 n阶行列式如果把 D 的行变为列，就得到一个新的行列式D 叫作 D 的转置行列式。引理 3.3.1从 n 阶行列式的第i, i2,L, in行和 j1,j,L, jn列取出的元素作积ai jaij Lai jn，这里121 122ni1, i2 ,L,i n 和 j1 , j 2,L, jn 都是 1， 2， n 这 n 个数码的排列，那么这一项在行列式中的符1s ti1i2 L in ,tj1 j2 L jn号是, s命题 3.3

29、.1行列式与它的转置行列式相等。命题 3.3.2交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。推论 3.3.1如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。命题 3.3.3把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以数 k 乘以这个行列式。推论 3.3.2一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。推论 3.3.3如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。推论 3.3.4如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。命题 3.3.4设行列式 D 的第 i行的所有元素都可以表示成两项的和：a11a12

30、La1nMMMD bi 1ci1bi 2ci 2LbincinMMMan1an2Lann那么 D 等于两个行列式D1与 D2 的和，其中 D1 的第 i行的元素是 bi 1, bi 2 ,Lbin ， D 2 的第 i行元素是 ci1 ,ci 2 ,L,cin ，而 D1与 D2 的其他各行都和D 的一样。命题把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。子式和代数余子式行列式的依行列展开定义 1在一个 n 阶行列式D 中任意取定 k 行和 k 列。位于这些行列式的相交处的元素所构成的k 阶行列式叫作行列式D 的一个 k 阶子式。定义 2n n1 阶行列式的

31、某一元素aij的余子式 M ij 指的是在 D 中划去 aij 所在的行和列后所余下的n 1阶子式。定义 3 n阶行列式 D 的元素 aij 的余子式 M ij附以符号1ij后, 叫作元素aij 的代数余子式。元素aij 的代数余子式用符号 Aij 来表示： Aij。1Mijij定理 3.4.1若在一个 n 阶行列式中，第 i行（或第 j 列）的元素除 aij 都是零，那么这个行列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积：D aij Ai j定理行列式 D 等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。换句话说，行列式有依行或依列展开式：Dai 1 Ai1ai 2 Ai2L

32、ain Aini1,2, L , nDaj 1 Aj1a j 2 Aj 2Lajn Ajnj1,2,L , n定理行列式的某一行 ( 或列 ) 的元素与另一行( 列 ) 的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。换句话说，ai1 Ai1ai 2 Ai 2 L ain Ain 0 i j ，3.5克拉默法则设给定了一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组利用 1 的系数可以构成一个n 阶行列式a11a12a1 nDa21a22a2 n ，MMMan1an 2 Lann这个行列式叫作方程组1 的行列式。定理 3.5.1（克拉默 Cramer）法则 ) 一个含有 n 个未知量的n 个方程的线性方程组

33、1 当它的行列式 D 0时，有且仅有一个解x1D1 , x2D2 ,L , xnDn ，此处的 D j 是把行列式的第j 列的元DDD素换以方程组的常数项b1 , b2 ,L , bn 而得到的 n 阶行列式。第四章线性方程组消元法定义我们对线性方程组施行这三个初等变换：(i) 交换两个方程的位置；(ii) 用一个不等于零的数乘以某个方程；(iii) 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程；叫作线性方程组的初等变换。定理初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。定义 1由 st 个数 cij 排成的一个 s 行和 t 列的表叫作一个 s 行 t 列（或 s t ）矩阵。 cij 叫作这个

34、矩阵的元素。定义 2矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：（ i ）交换矩阵的两行（或列）；（ ii ）用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；（ iii）用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。定理设 A 是一个 m行 n 列的矩阵：通过行初等变换和第一种列初等变换能把A 化为以下形式：进而化为以下形式：这里 r0, rm,rn,* 表示矩阵的元素，但不同的位置上* 的表示的元素未必相同。矩阵的秩线性方程组可解的判别法定义 1在

35、一个s 行 t 列的矩阵中，任意取k 行 k 列ks, kt 。位于这些行列式的交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式。定义 2一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于领的子式，就认为这个矩阵的秩是；零。定理初等变换不改变矩镇的秩。定理（线性方程组可解的判别法）线性方程组1 有解的充要条件是：它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。定理 4.2.3设线性方程组1 的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r ，那么 r等于方程组所含有未知量的个数n 时，方程组有唯一解；当rn 时，方程组有无穷多个解。线性方程组的公解定理 4.3.1设

36、方程组1有解，它的系数矩阵A和增广矩阵 A 共同秩是 r0 。那么可以在1 的 m个方程中选出 r个方程，使得剩下的mr 个方程中的每一个都是这r 个方程的结果，因而解方程组1 可以归结为解这r 个方程所组成的线性方程组。定义3 若是一个线性方程组的常数项等于零，那么这个方程组叫作一个齐次线性方程组。定理4.3.2一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n。推论4.3.1含有 n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组的系数行列式等于零。4.3.2若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有非零解。结式和判别式定理4.4.1如果多项式f x a0 xma1 xm 1 L am m 0，有公共根，或者a0b00 ，那么它们的结式等于零。定理4.4.2设是复数域 C 上多项式。 R f , g是它们的结式。（ i ）如果 a00，而1,2 ,L, mC 是 fx的全部根，那么Rf , gan0 g1 g2 L gm ;1（ ii）如果 b00，而1,2,L ,nC 是 gx 的全部根，那么R f , gnmb0m f1 f2 L f21n 。定理4.4.3如果多项式 fx 与g x的结式等于零，那