第七讲 多元回归模型的延伸

1、 多元线性回归模型的延伸多元线性回归模型的延伸1 1、过原点回归、过原点回归2 2、尺度与测量单位、尺度与测量单位3 3、回归模型的函数形式、回归模型的函数形式4 4、弹性测度：对数线性模型、弹性测度：对数线性模型5 5、半对数模型、半对数模型6 6、倒数模型、倒数模型7 7、函数形式一览表、函数形式一览表8 8、随机误差项的性质注记、随机误差项的性质注记1 1、过原点回归、过原点回归 在双变量模型中不出现截距或者为零在双变量模型中不出现截距或者为零. .其形其形式为式为: : 模型的特点模型的特点: :（1 1）对有截距项的模型说总有）对有截距项的模型说总有 , ,但对过原点回归但对过原点回

2、归 不一定成立。不一定成立。（2 2）过原点回归的判定系数）过原点回归的判定系数 不一定非负。不一定非负。(1.1)iiiiYXu 0iu 0iu2r例题：证券组合的溢价问题例题：证券组合的溢价问题 采用模型为：采用模型为： = =第第i i种证券的期望回报率种证券的期望回报率 = =市场组合证券的期望回报率市场组合证券的期望回报率 = =无风险回报率无风险回报率 =Beta =Beta系数，指不能通过分散而消系数，指不能通过分散而消除的系统风险。在应用中通常表示为：除的系统风险。在应用中通常表示为： iERmERfri()(1.3)ifimfiRrRru()(1.4)ifiimfiRrRru

3、()()(1.2)ifimfERrERr如果资本市场有效运行，则CAPM要求：证券I的期望风险溢价 等于期望市场风险溢价 乘以该证券的 系数。firER fmrER 模型（模型（1.1)1.1)的系数估计的系数估计先把先把(1.1)(1.1)写成：写成：利用利用OLSOLS法，得到法，得到 的如下公式：的如下公式：其中其中 估计为：估计为：(1.5)iiiiYXu2222var()(1.7)iX222(1.8)1iun2(1.6)iiiiX YX222)()(iiXYYYuQiiiXY 22222222)(2)(2iiXYXXYXXXYQiiiiiii02Q令：令：22iXYXii22222)

4、(iiXuXXuXXiiiiiiiiuXY22222222222)(iiiiXEuXEXuXEE222211212122222221220)22()(1iinnnnnniiXXuuXXuuXXuXuXuXEuXEjiuuEuEjii, 0)(,)(22有有同同方方差差且且无无自自相相关关是是非非随随机机的的以以及及iiuX222222)()var(iXE与含有截距项模型公式的比较与含有截距项模型公式的比较后者是：后者是： 其差异：其差异：1.1.没截距项的，用粗或原生平方没截距项的，用粗或原生平方和及交叉乘积和，有截距项的用偏离均和及交叉乘积和，有截距项的用偏离均值平方和及交叉和。值平方和及交

5、叉和。2.2.计算计算 时，时，前者自由度是前者自由度是(n-1),(n-1),而后者是而后者是(n-2)(n-2)。222iun22()()()iiiXX YYXX222var()()iXX过原点回归模型的过原点回归模型的不含有截距项的不含有截距项的 计算：计算：注意：注意：1.1.计算时数据不经过校正；计算时数据不经过校正； 2. 2.满足关系满足关系 ， 但不同但不同 于于 ； 3. 3.应用时采用有截距项为好，否则会犯设定的错误。应用时采用有截距项为好，否则会犯设定的错误。2r2r2R222()()(1.9)iiiiX Yraw rX Y102 r2r组合证券理论的特征线给出有截距和无

6、截距项的模拟例子，模型给出有截距和无截距项的模拟例子，模型为为 ：模拟结果为：模拟结果为：(1.11)iiiiYXu12(1.10)iiiYXu21.0899(1.12)(0.1916)0.7825(5.6884)iiYXrawrt21.2797 1.0691(7.6886)(0.2383)(1.13)(0.1664)(4.4860)0.7155iiYXtr结果的差异：结果的差异：1.1.过原点回归模型中估计出来的过原点回归模型中估计出来的 的标准差略的标准差略低，低， 说明若截距响确实为说明若截距响确实为0,0,测算的斜率系数测算的斜率系数为准确一些为准确一些2.2.过原点无截距回归的斜率系

7、数过原点无截距回归的斜率系数95%95%置信区间置信区间 是是(0.6566,1.5232)(0.6566,1.5232)，而有截距的置信区间，而有截距的置信区间 是是(0.5195,1.6186)(0.5195,1.6186)。即前者比后者狭窄些。即前者比后者狭窄些。 3.3.注意：注意：(1.12)(1.12)的的 和和(1.13)(1.13)的的 是不能是不能 直接比较的。直接比较的。 2r2r22 2、 尺度与测量单位尺度与测量单位选择不同的计量单位对回归结果有何影响？设选择不同的计量单位对回归结果有何影响？设模型为：模型为：使用变量使用变量 、 的回归：的回归：由最小二乘理论得：由最

8、小二乘理论得：12iiiYXu*1*2iiiiYwYXw XYwYi1*iiXwX2*12iiiYXuiiuwu1*12YX接上面的公式接上面的公式22(2.6)iiix yx222var()(2.8)ix22(2.9)2iun2212var()(2.7)iiXnx)()(YYyXXxiiii把把OLSOLS法应用于法应用于(2.4)(2.4)得：得：*12(7.2.10)YX*1*var()(2.12)iiXnx*2*2*2var()(2.13)ix*2*2(2.14)2iun*2*2(2.11)iiix yx它们之间的关系利用前面的定义可得：利用前面的定义可得：)16. 2 . 4(111

9、w)15. 2 . 4()(221*2ww)17. 2 . 4(21*w)18. 2 . 4()var()var(121*1w)19. 2 . 4()var()()var(2221*2ww)20. 2 . 4(22*yxxyrr例题例题从前面的从前面的6 6个关系知，这种变换并不影响个关系知，这种变换并不影响 OLS OLS估计量的性质。估计量的性质。 1.GPDI 1.GPDI和和GNPGNP都以都以1010亿美元计算亿美元计算 得：得： 2.GPDI2.GPDI和和GNPGNP都以百万美元计算得：都以百万美元计算得： 237001.52050.17395(76261.1278)(0.054

10、06)0.5461ttGPDIGNPr 237.00152050.17395(76.2611278) (0.05406)0.5641ttGPDIGNPr 续前续前GPDIGPDI以以1010亿美元而亿美元而GNPGNP以百万美元计得：以百万美元计得：GDPIGDPI以百万美元而以百万美元而GNPGNP以以1010亿美元计得：亿美元计得：237.00152050.00017395(76.2611278)(0.00005406)0.5461ttGPDIGNPr 237001.5205 173.95(76261.1278)(54.06)0.5641ttGPDIGNPr “坐立不安坐立不安”让人苗条让

11、人苗条 科学家最近发现了保持苗条身材的奥妙。如科学家最近发现了保持苗条身材的奥妙。如果一个人平时闲不住，小动作很多，日常消耗果一个人平时闲不住，小动作很多，日常消耗的热量就多，就能保持较瘦的身材。的热量就多，就能保持较瘦的身材。 美国梅欧医院的研究人员请来美国梅欧医院的研究人员请来2020位志愿者，进位志愿者，进行为期一年的研究。志愿者分成两组，一组较行为期一年的研究。志愿者分成两组，一组较瘦，另一组轻度肥胖。所有志愿者都穿上一种瘦，另一组轻度肥胖。所有志愿者都穿上一种带有传感器的特制内衣，内衣里的装置每隔半带有传感器的特制内衣，内衣里的装置每隔半秒钟记录一次人体的姿态与活动。志愿者照常秒钟记

12、录一次人体的姿态与活动。志愿者照常进行他们的日常工作和生活，所有食物有研究进行他们的日常工作和生活，所有食物有研究人员提供。人员提供。 研究人员发现，轻度肥胖者更喜欢坐研究人员发现，轻度肥胖者更喜欢坐着，而身材苗条的一组则闲不住。瘦着，而身材苗条的一组则闲不住。瘦人组平均每天人组平均每天“坐立不安坐立不安”的时间比胖的时间比胖人组多出两个多小时，相当于多消耗人组多出两个多小时，相当于多消耗350350卡热。卡热。如果胖人组也这么不如果胖人组也这么不“消停消停”的话，一的话，一年下来完全可以减轻年下来完全可以减轻14-1814-18磅的体重。磅的体重。 此外研究人员还发现，一个人喜动还此外研究人

13、员还发现，一个人喜动还是喜静似乎是天生的，与他们的体重是喜静似乎是天生的，与他们的体重无关。在第二个研究阶段，让瘦人多无关。在第二个研究阶段，让瘦人多吃吃10001000卡热量，胖人少吃卡热量，胖人少吃10001000卡热量，卡热量，他们的生活习惯并没有因此变化。他们的生活习惯并没有因此变化。 这项研究为肥胖者提供了新的希望。这项研究为肥胖者提供了新的希望。乐观与悲观的秘密乐观与悲观的秘密著名剧作家奥斯卡著名剧作家奥斯卡. .王尔德猜测王尔德猜测: :乐观主义者乐观主义者和悲观主义者用不同的方式观看这个世界。和悲观主义者用不同的方式观看这个世界。心理学家现在证实他的这一猜测是正确的。心理学家现

14、在证实他的这一猜测是正确的。心理学家发现，悲观主义者眼睛往下看，他心理学家发现，悲观主义者眼睛往下看，他们的大脑工作的更好；乐观主义者眼睛向上们的大脑工作的更好；乐观主义者眼睛向上看时，他们的大脑会转的更快。看时，他们的大脑会转的更快。这一发现表明，因痛苦而引起的典型这一发现表明，因痛苦而引起的典型的畏怯表情确实会对人起作用，他们的畏怯表情确实会对人起作用，他们也许有悲观的思想，但是如果他们抬也许有悲观的思想，但是如果他们抬头向上看的话，就不会那么悲观的思头向上看的话，就不会那么悲观的思考问题了；而人老是低着头的话，就考问题了；而人老是低着头的话，就会更加悲观的进行思考。会更加悲观的进行思考。

15、领导这一研究的北达科他州大学心理领导这一研究的北达科他州大学心理学家布赖恩学家布赖恩. .迈耶说，更重要的是，这迈耶说，更重要的是，这一研究提出了诊断和治疗这种忧郁情一研究提出了诊断和治疗这种忧郁情绪的新方法。绪的新方法。忧郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心忧郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心理疾病之一，理疾病之一，5 5个人中就有一个人的生活个人中就有一个人的生活受到这种情绪的影响。受到这种情绪的影响。在研究中，研究人员对志愿者进行了测在研究中，研究人员对志愿者进行了测试，结果暗示了这种关系的来源。试，结果暗示了这种关系的来源。迈耶说：迈耶说：“这一研究认为，只需劝说这样这一研究认为，只需劝说这

16、样的人改变一下习惯，将目光稍稍抬高一的人改变一下习惯，将目光稍稍抬高一点，就会大大减轻忧郁情绪。点，就会大大减轻忧郁情绪。”3 3、 回归模型的函数形式回归模型的函数形式对数线性模型对数线性模型半对数线性模型半对数线性模型倒数模型倒数模型4 4、弹性测度：对数线性模型、弹性测度：对数线性模型指数回归模型：指数回归模型：取对数变换得：取对数变换得：改写成改写成双对数模型双对数模型：21(4.1)iuttYXe12lnlnln(4.2)iiiYXu2lnln(4.3)iiiYXu对数对数-对数模型，或双对数模型，对数对数模型，或双对数模型，对数线性模型线性模型设设 、 得如下模型：得如下模型： 利

17、用利用OLSOLS，估计量，估计量 和和 将分别是将分别是 和和 的最优线无偏估计量。的最优线无偏估计量。iiLnYY *iiLnXX*2(4.4)iiiYXu22双对数模型的特点：双对数模型的特点：1.1.是斜率系数是斜率系数 测度了测度了Y Y对对X X的弹性的弹性2.Y2.Y与与X X之间的弹性系数之间的弹性系数 在整个范围在整个范围内保持不变；内保持不变；3 . 3 . 和和 分别是分别是 和和 的无偏估计的无偏估计量，但量，但 进入原始模型的估计进入原始模型的估计 的反对数却是一个有偏的估计量。的反对数却是一个有偏的估计量。2211ln221ln例题，某问题例题，某问题采用双对数型模

18、型拟合结果如下采用双对数型模型拟合结果如下: :变量变量Y Y对变量对变量X X的弹性的弹性E E定义为定义为: :21,90.77740.25300.7448(0.0152) (0.0494)26.27(51.1447) ( 5.1214)(0.000)(0.003)ttLnYLnXrFtP值)(100)(100)(%YXXYXYXXYYXYE斜率变化的变化的5 5、半对数模型、半对数模型线性到对数模型线性到对数模型1.1.复利公式复利公式: :2.2.对对(5.1)(5.1)取对数得取对数得: :3.3.假设假设4.4.把把(5.2)(5.2)改写为改写为: :5.5.在在(5.3)(5.

19、3)加干扰项得加干扰项得: :6.6.象象(5.4)(5.4)形式的模型叫形式的模型叫半对数模型半对数模型。0(1)(5.1)ttYYr0lnlnln(1)(5.2)tYYtr 2ln(1) r12ln(5.3)tYt12ln(5.4)ttYtu因变量取对数的模型叫做线性到对数模型因变量取对数的模型叫做线性到对数模型10ln y半对数回归模型中，斜率系数（回归系半对数回归模型中，斜率系数（回归系数）度量了当给定自变量取值的绝对变数）度量了当给定自变量取值的绝对变化量时，因变量化量时，因变量Y Y的恒定比例或相对变化的恒定比例或相对变化量量2 5.5因变量的相对变化量（）自变量的绝对变化量用半对

20、数模型模拟结果如下用半对数模型模拟结果如下：000. 0)000. 0()8643.25()54.700()8 . 5 . 4(9738. 0)00956. 0()0114. 0(02469. 00139. 8ln2 ptrstRGDPet值值回归模型说明：回归模型说明：1972197219911991年期间美国实年期间美国实际际GDPGDP每年增长每年增长2.469%2.469%。取。取8.01398.0139的反对数的反对数得到得到19721972年初始值估计值为年初始值估计值为3022730227亿美元。亿美元。tttrYY)02499. 1 (7 .3022)1 (0长长率率。不不是是

21、一一个个时时期期的的复复合合增增长长率率；是是一一个个时时点点上上的的瞬瞬时时增增的的得得到到根根据据02469. 0)1ln(ln2122t r tY 要计算复合增长率，只需要对要计算复合增长率，只需要对 0.02469 0.02469 查反对数，再减去查反对数，再减去1,1,则得到则得到0.02499, 0.02499, 即即1972197219911991年的复合增长率约为每年年的复合增长率约为每年2.499%2.499%。这一增长率略高于。这一增长率略高于2.469%2.469%的瞬时的瞬时增长率。增长率。图6-4 19721991年美国实际GDP的增长率：半对数模型线性趋势模型线性趋

22、势模型模型为：模型为： 注：不做对数注：不做对数Y Y对时间的回归，而是做对时间的回归，而是做Y Y对时对时间的回归。间的回归。利用某数据模拟回归结果如下：利用某数据模拟回归结果如下：12tiYtu22933.053897.6806(50.5913)(4.2233)0.9647(7.5.10)(57.9754)(23.1291)(0.0000)(0.0000)teRGDPtsrtp值比较可知，增长模型比较可知，增长模型4.5.5反映的是因变量随时间变化反映的是因变量随时间变化而发生的相对变化率，线性趋势模型则反映了因变量而发生的相对变化率，线性趋势模型则反映了因变量随时间变化而发生的绝对变化量。随时间变化而发生的绝对变化量。对数到线性模型对数到线性模型模型形式为：模型形式为：斜率系数的意义：斜率系数的意义：另一表达式为：另一表达式为：12lntttYXu2YYX XX的变化的相对变化2()YX X某例的数据的回归结果如下：某例的数据的回归结果如下：216329.02584.8ln( 23.494) (27.549)0.9832(0.0000) (0.0000)ttYXtrp 值因变量取对数的因变