第5章 回归模型的函数形式

1、第五章 回归模型的函数形式n到目前为止，我们考虑的都是参数线性，同时又是变量线性的模型。本章将考虑参数线性，但变量不一定是线性的模型。1.双对数模型或不变弹性模型2.半对数模型3.倒数模型n所有这些模型的一个重要特征是，它们都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。一、双对数模型1.模型 假设有如下函数 从模型可知，就我们目前的知识，无法用普通最小二乘法估计这样的模型。但我们可以把以上模型作如下变化，得到： 继而，如果令 ，则有： 以上模型称为双对数模型，或双对数线性模型。2BiiYA X2l nl nl niiYABX1lnBA12lnlniiiYBBXu 如果我们将 和 都看作单独的变量，

2、那么就可以将双对数模型变为变量线性模型。试作如下变换 ， ，得到 ： 如果上式满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法估计，从而得到BLUE估计量。2.双对数模型系数的特殊含义 与变量线性回归模型不同，双对数模型的斜率系数 度量了Y对X的弹性，即X的变动引起Y变动的百分比。 如果用符号 代表Y的一个微小变动， 代表X的一个微小变动，则弹性E定义为：lniYlniXlniiYYlniiXX12iiiYBBXu2B/100()X/100YYYYXXEslopXXXYY变 动 的 百 分 数变 动 的 百 分 数YXn从图形上看，变量线性的回归模型的图形是一条直线，而双对数模型的图形

3、是一条曲线，并且对于不同的X值来说，都具有相同的弹性。所以，双对数模型又称为不变弹性模型。不变弹性模型例子：数学分数（见P101）n该例子主要关注美国S.A.T大学入学考试中的数学成绩与家庭收入之间的关系。即：考察数学成绩与家庭收入之间的回归关系。.双对数模型的假设检验 双对数模型的假设检验与线性模型没有任何不同。在随机误差项服从正态分布的假设下，估计的回归系数服从自由度为（n-k）的t分布，其中k为包括截距在内的参数个数。4.比较线性和双对数回归模型（一个经验问题） 对于数学成绩支出一例来说，线性支出模型和双对数模型哪个更合适？ 1.作散点图，通过散点图来判断。（这种方式只适合双变量模型）

4、2.比较两个模型的 值。该方法要求应变量的形式必须是相同的。 3.即使两个模型中的应变量相同，两个 值可以直接比较，我们也建议不要根据最高 值这一标准选择模型。而应该首先考虑进入模型中的解释变量之间的相关性、解释变量系数的预期符号、统计显著性以及类似弹性系数这样的度量工具。2r2r2r5.多元对数线性回归模型对于三变量对数线性模型来说：模型中的偏斜率系数、又称为偏弹性系数。因此，度量了不变条件下，对的弹性，即在为常量时，每变动1%引起的 变化的百分比。类似地，度量了不变条件下对的弹性。二、如何测度增长率：半对数模型1.半对数模型 先看一个例子：根据下表中的美国人口数据求1975-2007年美国

5、的人口增长率。考虑如下复利计算公式：12233lnlnlniiiiYBBXBXu2B3B2B3XY2X2XY3X3B2XY3X0(1)ttYYrn将上式作如下变形，等式两边取对数，得：如果令因此，可得：将上式变化成为经济计量模型，得到：形如上式的回归模型称为半对数模型或者增长模型、对数-线性模型。利用OLS方法估计美国一例的半对数模型，得到：12l ntYBBt0l nl nl n (1)tYYtr10lnBY2l n (1)Br12l nttYBBtu2(3 3 2 1 .1 3 )(1 2 9 .7 7 9 )0 .9 9 8 2(0 .0 0 0 6 )(0 .0 0 0 0 )ln (

6、)5 .3 5 9 30 .0 1 0 7trseu sp o pt美国人口增长一例估计的样本回归线n美国人口一例估计的半对数模型中，斜率0.0107表示，平均而言，美国人口的年增长率为0.0107。截距5.36的反对数（为212.576）可以表示1974年的人口值。2.瞬时增长率与复合增长率由可知于是：在美国人口增长率一例中，有：此处要注意的是，通过对半对数模型估计所得到的斜率的值为0.0107，该值为美国人口的瞬时增长率，而通过计算而得到的值0.010757称为复合增长率。3.线性趋势模型形如如下形式的模型称为线性趋势模型：22ln (1)bBr的 估 计 值21ber21bre0 .0

7、1 0 711 .0 1 0 7 5 710 .0 1 0 7 5 7rer2bn对美国人口增长率一例线性趋势模型的OLS估计结果如下：n回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年以2.757(百万)的绝对速度增长。因而美国人口表现出向上的趋势。截距表明美国1969年的人口数为210（百万）。.线性对数模型：解释变量是对数形式考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系（1993.11998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：12ttYBB tu2(287.4376)(73.6450)0.9943209.67312.757ttruspopt1993.11998.3个人总消费支出与各

8、类支出的季度数据（10亿美元）n以个人总消费支出X与服务支出Y的关系为例，得到线性对数模型如下：n利用最小二乘法估计以上模型，回归结果如下：n在以上回归结果中，斜率系数表示，如果个人总消费支出增加1个百分点，则平均服务支出将增加24.32(10亿）美元。作出这一解释是因为，线性-对数模型中的斜率系数 可以表示为：12lntttYBBXu2(228.61)(27.05)(78.33)(89.89 )(0.00 )(0.00 )0.99717907.52431.69 lnttprYXset 2/YYBXX的 绝 对 变 化的 相 对 变 化X而上式又可以表示为：所以，线性-对数模型中的斜率系数可以

9、解释为，解释变量的相对变化所引起的应变量的绝对变化量。三、倒数模型形如下式的模型称为倒数模型（reciprocal model）：倒数模型的一个显著特征是，随着的无限增大，趋于零，接近渐进值或极限值。因此，当变量无限增大时，倒数模型中的应变量的取值将逐渐靠近其渐进线或极值。2()XYBX121()iiiYBBuXX(1/)iXY1BXn下图描绘了倒数模型的一些曲线形状：倒数模型：12(1 /)iiYBBXn上图）中，若表示生产的平均固定成本(AFC)，代表产出，则根据经济理论，随着产出的不断增加，平均固定成本将逐渐降低，最终接近产出轴。n上图）中的曲线可用来表示恩格尔消费曲线。该曲线表明消费者

10、在某一个商品上的支出与其总收入或总消费支出的关系。若表示消费者在某一个商品上的消费支出，表示消费者的总收入，则该商品具有如下特征(1)收入有一个临界值，在此临界值下，不能购买某商品。在图）中，收入的临界值是 。(2)消费有一个满足水平，在此水平之上，无论消费者的收入有多高，也不会再有任何消费。n上图）中可以用来表示宏观经济学中著名的菲利普斯曲线。菲利普斯根据英国货币工资变化的百分比(Y)与失业率(X)的数据，得到了形如图）的曲线。图中，工资随着失业水平的变化是不对称的。当失业率低于 时，工资随失业率单位变化的变化比失业率高于 时更快，经济学家称 为自然失业率。21(/)BBNUNUNUNU例1

11、：美国1958-1969年的菲利普斯曲线（p113） 利用Eviews得到如下回归结果：样本回归方程为：66. 0)40. 4()26. 0(159.2026. 02RtXYii例2：共同基金收取的咨询费下表给出了美国共同基金支付给投资顾问管理资产的费用。支付的费用与基金的净资产有关。共同基金的管理费用n首先作上表的散点图管理费用与资产规模的散点图 由散点图可知，两个变量之间的关系是非线性的，具有一定的倒数关系。所以考虑采用倒数模型。n利用如下的倒数模型n采用最小二乘法得到回归结果如下：Dependent Variable: FEEMethod: Least SquaresDate: 10/2

12、9/08 Time: 11:21Sample: 1 12Included observations: 12Variable Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. C 0.420412 0.01285832.69715 0.0000DASSET 0.054930 0.0220992.485610 0.0322R-squared0.381886 Mean dependent var0.432317Adjusted R-squared0.320075 S.D. dependent var0.050129S.E. of regression0.041335 Akaik