2-2静电场的基本方程ppt课件

1、第二节第二节 静电场的基本方程静电场的基本方程NoImage2.2 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度 一、库仑定律一、库仑定律1 1库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律2 2库仑定律内容：如图，电荷库仑定律内容：如图，电荷q1q1对对电荷电荷q2q2的作用力为：的作用力为：121212230044Rq qq qFeRRR式中：式中：RRRReR0为真空中介电常数。为真空中介电常数。90110/36F m对库仑定律的进一步讨论对库仑定律的进一步讨论1 1大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上。大小与电量成正比、与距离的平方

2、成反比，方向在连线上。NoImage2 2多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即3 3） 连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解304iiiiiiqqFFRR 二、电场强度矢量二、电场强度矢量E1 1电场的定义电场的定义2 2电场强度矢量电场强度矢量 用电场强度矢量 表示电场的大小和方向E 电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用 静止电荷产生的电场称为静电场 随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场NoImage0Fq E 0FEq 实验证明

3、：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即 对电场强度的进一步讨论对电场强度的进一步讨论 电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关 对静电场和时变电场上式均成立3 3点电荷产生的电场点电荷产生的电场 单个点电荷单个点电荷q q在空间任意点激发的电场为在空间任意点激发的电场为01()4qR O rrRRrrqPRseRqqFrE204)( NoImage O rRrqP 特殊地，当点电荷特殊地，当点电荷q q位于坐标原点时，位于坐标原点时，0r 01( )4qr 4 4多个点电荷

4、组成的电荷系统产生的电场多个点电荷组成的电荷系统产生的电场 由矢量叠加原理，由矢量叠加原理，N N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为的电场为31014NiiiiqERR iiRrr式中式中: :RseRqqFrE204)( NoImage5 5连续分布的电荷系统产生的电场连续分布的电荷系统产生的电场 连续分布于体积连续分布于体积V V中的电荷在空间任意点中的电荷在空间任意点r r产生的电场产生的电场 O dV rrR( )P r 处理思路： 1) 无限细分区域 2考查每个区域 3矢量叠加原理30( )( , )4r dVdE r rRRrrR

5、设体电荷密度为 ，图中dV在P点产生的电场为：( )r则整个体积则整个体积V V内电荷在内电荷在P P点处产生的电场为：点处产生的电场为：301( )( )( , )4VVrE rdE r rRdVR NoImage 面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如： 014sVrRE rdSR 3 014llrRE rdlR 3 线电线电荷荷 面面电荷电荷301( )( )( , )4VVrE rdE r rRdVR 例例1 在直角坐标系的原点在直角坐标系的原点0，0及离原点及离原点1.0m的的y轴上轴上0，1处分别放置电荷量为处分别放置电荷量为q1= 1

6、.010-9C和和q2= -2.010-9C的点电荷，求的点电荷，求x轴上离原点为轴上离原点为2.0m处处P点场强如图）。点场强如图）。CNiCNierqkEr/3 . 2/0 . 2100 . 1100 . 92992111解解: q1在在P点所激点所激发的场强为发的场强为EE2E1q1Pq22.24m2m1mijx q2在在P点场强的大小为点场强的大小为E2的矢量式为的矢量式为CNCNrqkE/6 . 3/0 . 20 . 1100 . 2100 . 9222992222CNjiCNjiE/6 . 12 . 3/sin6 . 3cos6 . 32q1Pq2F312.24m2m1mijx E

7、E2E11200电场和电场和x轴的夹角为的大小为轴的夹角为的大小为CNjiCNjiEEE/6 . 19 . 0/6 . 12 . 33 . 22107 .1209 . 06 . 1arctan根据场强叠加原理，根据场强叠加原理，P点的总场强为点的总场强为解题步骤解题步骤例例2 2 求一均匀带电直线在求一均匀带电直线在P P点的电场点的电场. .已知已知a a 、1 1、2 2、。2. 选电荷元选电荷元ddqlxyEd21Par1.1.建立坐标系建立坐标系dllo o3. 确定磁场的方向确定磁场的方向4. 确定磁场的大小确定磁场的大小201dd4rlEer5.5.将将投影到坐标轴上投影到坐标轴上

8、Ed201ddcos4xlEr201ddsin4ylErxEdyEd6. 选择积分变量选择积分变量rl、是变量，而线积分只要一个变量201cos d4xElrxyEdrxEdyEdPa21dllo osin/ar lactg 2dcscdla 212220coscscd4cscaa 21dcos40a)sin(sin4120a同理同理)cos(cos4210aEy最后最后: :22xyEEE)cos(cos4210aEy)sin(sin4120aEx讨论讨论: :当直线长度当直线长度无限长均匀带无限长均匀带电直线的场强：电直线的场强：0 xEaEEy02L01202yEa【例【例3】求均匀带电

9、圆环轴线上任一点】求均匀带电圆环轴线上任一点p处的场强。处的场强。【解】：设电量【解】：设电量q，圆环半径为，圆环半径为a， 场点距圆心场点距圆心y由对称性可知，总电场沿由对称性可知，总电场沿 y 方向，所以总电场方向，所以总电场ydldEx1dEdEy而电荷元而电荷元其场强其场强则电荷线密度则电荷线密度aq2dldq)(4220aydldEcosEEyEd而而22cosayyarpdEdEx2那么那么【讨论】：【讨论】：1. y a（点电荷）（点电荷）2. Y = 0 时时 ， E = 0322204()dy lEya23)(42220ayya用矢量表示用矢量表示23)(4220ayyqE3

10、04yyqEarydldEx1dEdEypdEdEx202 aRrdr例例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。解：由例解：由例3均匀带电圆环轴线上一点的电场均匀带电圆环轴线上一点的电场2/3220)(4xrxqE 2/3220)(4ddxrqxE2/3220)(4d2xrrrxRxrrdrxE02/3220)(422/1220)(12xRxxPEd讨论：讨论：1. 当xR2. 当xR无限大均匀带电平面的场强，匀强电场无限大均匀带电平面的场强，匀强电场2/1220)(12xRxE02E2/122)(xRx2)(211xR2024xRE204xq可视为点电荷的电

11、场可视为点电荷的电场21/22(1)RxNoImage例：求真空中半径为例：求真空中半径为a a，带电量为，带电量为Q Q的导体球在球外空间的导体球在球外空间中产生中产生E E。由球体的对称性分析可知：由球体的对称性分析可知： 电场方向沿半径方向：电场方向沿半径方向： 电场大小只与场点距离球心的距离相关。电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：在球面上取面元解：在球面上取面元dsds，该面元在，该面元在P P点处点处产生的电场径向分量为：产生的电场径向分量为：201cos4srdsdERsindsadad 式中：式中：coscosraR222sin(cos )Rara24sQa230cossi

12、n4srradEad dR NoImage223000230020cossin4cossin24rrsssEdEaraddRaradRQr 导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。结 果 分 析结 果 分 析 201cos4srdsdERarRrarRarR2cos2cos222222sindsadad 200220cossin41ddRaEsrdRarRdd)(cossin 20222220241ararsrdRdarRrRarR

13、RaEarRarR,;, 0当当NoImage3 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程 亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。一、真空中静电场的散度一、真空中静电场的散度 高斯定理高斯定理 真空中静电场的高斯定理SniiqSdE101式中：式中：S S为高斯面，是一闭合曲面，为高斯面，是一闭合曲面， Q Q为高斯面所围的电荷总量。为高斯面所围的电荷总量。静电场高斯定理积分形式静电场高斯定理积分形式 NoImage 真空中静

14、电场的散度SniiqSdE101静电场高斯定理微分形式静电场高斯定理微分形式VVd01SVdVESdE0 E阐明：阐明：1) 1) 电场散度仅与电荷分布相关，其大小电场散度仅与电荷分布相关，其大小2 2对于真空中点电荷，有对于真空中点电荷，有或或( )r0 E0 E高斯散度定理高斯散度定理1 1） 物理意义：静电场物理意义：静电场 穿过闭合面穿过闭合面S S的通量只与闭合面内所围的通量只与闭合面内所围电荷量有关。电荷量有关。 2 2） 静电场是有源场，静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或静电场是有源场，静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场汇集状的静电场 3 3） 无电荷处，源的强

15、度无电荷处，源的强度( (散度为零，但电场不一定为零散度为零，但电场不一定为零 E对高斯定理的讨论对高斯定理的讨论NoImage二、真空中静电场的旋度二、真空中静电场的旋度 环路定律环路定律( )0E r当当A A点和点和B B点重合时：点重合时：qABARBRl斯托克斯公式斯托克斯公式llRl deql dE204lRl deq204BARRRdRq204BARRq11400ll dE静电场环路定律积分形式静电场环路定律积分形式RRR dldcSdlAdSA)( 物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零静电场为保守场。 静电场旋度处处为零，静电场是无旋场，电力线不

16、构成闭合回路 对环路定理的讨论对环路定理的讨论( )0E r0ll dENoImage真空中静电场性质小结：真空中静电场性质小结：微分形式微分形式积分形式积分形式静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。静电场的源：电荷静电场的源：电荷讨论：对静电场，恒有：讨论：对静电场，恒有：( )0E r()0 E 为标量函数为标量函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。静电场可以由一标量函数的梯度表示。0 E0E0ll dESniiqSdE101NoImage 求解的关键：高斯面的选择。 高斯面的选择原则： 只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高斯定

17、理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。1 1场点位于高斯面上；场点位于高斯面上； 2 2高斯面为闭合面；高斯面为闭合面； 3 3在整个或分段高斯面上，在整个或分段高斯面上， 或或 为恒定值。为恒定值。E补充内容：利用高斯定理求解静电场补充内容：利用高斯定理求解静电场SniiqSdE101VVd01SdErR+q例例1. 均匀带电球面内外的电场，球面半径为均匀带电球面内外的电场，球面半径为R,带电为带电为q。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r的高斯面的高斯面. 1r R时时，0q解：解：sssdEsdE24 rE0

18、0Er0ER+R+rq2r R时，时，Er 关系曲线204Rq2r0qsssdEsdE24 rE0qrerqE204Rr例例2 均匀带电球体的电场。球半径为均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为，带电为q。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯面解：解： 1r R时时，0qsssdEsdE24 rE343r343433rRq304RqrE高斯面EOrRR204qREr 关系曲线关系曲线2r2r R时，时，r高斯面0qsssdEsdE24 rE0qrerqE204例例3 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为无限长

19、均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，面密度为面密度为 。rl作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, ,解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向高为高为l,半径为半径为r(1) r RseSdESdESdESdE上底侧面下底lrrlErlE2200Rlqi2022RlrlErRE0习题习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体，体密度为密度为 。rl作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, ,解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向高

20、为高为l,半径为半径为r(1) r RseSdESdESdESdE上底侧面下底lrrlErlE2200lRqi2022lRrlErerRE022EE 例例4 均匀带电无限大平面的电场，知均匀带电无限大平面的电场，知 。电场分布也应有面对称性，方向沿法向。电场分布也应有面对称性，方向沿法向。解：解： pE1E2E 作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。，两底面到带电平面距离相同。ESE圆柱形高斯面内电荷圆柱形高斯面内电荷Sq由高斯定理得由高斯定理得0/2SES 02E12SSSeSdESdESdESdE侧ESESES2021习题习题两平行的无限大平面均匀带电，面密度分别为两平行的无限大平面均匀带电，面密度分别为2和11.求空间三个区的场强；求空间三个区的场强；2.当当2121和结果怎样？结果怎样？12ox解：解：02Ei0112E那么：那么：i0212Ei0312E12oxi0222E同理：同理：i0222Ei0222E那么：那么：i0212112EEEi0212122EEEi0212132EEE用高斯定理求场强小结：用高