2-1随机变量与分布函数ppt课件

1、二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入三、小结三、小结第一节第一节 随机变量随机变量 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，示时， 就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机

2、变量为什么引入随机变量?一、随机变量的引入一、随机变量的引入实例实例1 1 抛掷骰子抛掷骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. ., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6) 6(, 5) 5(, 4) 4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观观察摸出球的颜色察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S

3、 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.)(),(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eXeXSeXSeeSE 二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义随机变量随着试验的结果不同而

4、取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.阐明阐明(1)随机变量与普通的函数不同随

5、机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反反面面朝朝上上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上

6、 e)(2正正面面朝朝上上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,思索思索其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中

7、任抽从中任抽3个个,那那么么,)(抽抽得得的的白白球球数数 eX是一个随机变量是一个随机变量.实例实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 那么那么,)(射中目标的次数射中目标的次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:, 0, 1. 2且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, , 3, 2, 1, 0实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击

8、中目标为止,那么那么,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:., 3, 2, 1实例实例8 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 那么那么,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 03.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列

9、个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 那么那么 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”,

10、那么那么 X 的所有可能取值的所有可能取值为为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.那么那么 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.那么那么 X 的取值范围为的取值范围为三、小结三、小结2. 随机变量的分类随机变量的分类: 离散型、连续型离散型、连续型.1. 概率论是从数量上来研究

11、随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象，律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就就需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时，事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数殊的函数 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、例题讲解三、例题讲解四、小结四、小结第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数对于随机变量对于随机变量X, 我们不

12、仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值, 要知道要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b)内取值的概率内取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?一、分布函数的概念一、分布函数的概念例如例如.,(21内内的的概概率率落落在在区区间间求求随随机机变变量量xxX1.概念的引入概念的引入2.分布函数的定义分布函数的定义阐明阐明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情

13、况.)(,的的分分布布函函数数称称为为函函数数是是任任意意实实数数是是一一个个随随机机变变量量设设定定义义XxXPxFxX .)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, , 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(,

14、1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函数的性质二、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx证明证明,越越来来越越小小时时当当 x,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(, ),(,内内必必然然落落在在时时当当而而的的值值也也不不会会减减小小增增大大时时当当同同样样 XxxXxXPx).()

15、,()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处右连续即任一分布函数处处右连续. ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明证明,bXaaXbX 因为因为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所所以以).()(aFbFbXaP 故故 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律为因此分布律为818383813210pX解解那那么么三、例题讲解三、例题讲解.31,5 . 5

16、,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函数的分布律及分布函数求求”出现的次数出现的次数表示“三次中正面表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次将一枚硬币连掷三次例例1 1,反反面面正正面面设设 TH;218381 ,0时时当当 x,10时时当当 x求分布函数求分布函数)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,21时时当当 x,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP

17、1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP) 1 () 3(FF 81841 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83 5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13 XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP011 . 0 841 .21 请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量, ,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相同吗? ?答答不一定不一定. . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函数函数但它们却有相同的分布但它们却有相同的分布同

18、的随机变量同的随机变量是两个不是两个不则不同则不同在样本空间上的对应法在样本空间上的对应法与与,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出出反反面面出出正正面面出出反反面面出出正正面面XX例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令例例3 3 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m2m的圆盘的圆盘, ,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, ,并设射击都能中靶并设射击都能中靶, ,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离. .试求随机变量试求随机变量 X X 的分布函数的分布函数. .解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即