2.1.有理函数的积分ppt课件

1、3 3. .2 2. .5 5 有有理理函函数数的的不不定定积积分分一一、有有理理函函数数m1m2m21m1m0n1n2n21n1n0bxbxbxbxbaxaxaxaxa)x(Q)x(P)x(R)x(R叫有有理理函函数数，它是两个实系数多项式之商所表示的函数。其中n ,m是非负整数，)x(P与)x(Q互质。例如：3xx2，33) 1x(x1x，1x2x1x24等都是有理函数。1 1. .有有理理 函函 数数 的的分分 类类)x(R按分子与分母的最高次幂m与n的不同情况可分为：（1）当mn 时，)x(R称为真真分分式式；（2）当mn 时，)x(R称为假假分分式式。若)x(R是假分式，可把它化为多

2、项式与真分式之和。例如 6x5x3x1x6x5x9x2x4x2223。 6x5x2 1x3 x 6x5 x9x4 xx6x5x9x2x4x2223232 2把把真真分分式式分分解解为为部部分分分分式式设)x(Q)x(P为真分式。（1）分母)x(Q中若有因式k)ax( ，则分解后 有下列k个部分分式之和：特别地，当K=1 时，则分解后有axA。,)ax(A)ax(AaxAkk221其中 A ,A ,Ak21都是常数。k2kk2222211)qpxx(NxM)qpxx(NxMqpxxNxM其中 M ,M ,Mk21； N ,N ,Nk21都是常数。特别地，当 K=1 时，则分解后有qPxxNMx2

3、。（2）分母)x(Q中若有因式k2)qpxx(，其中 0q4p2，则分解后有下列 K 个部分分式之和：例如真分式22322) 3x2x()2x)(1x(x1x3的分母中含有2x，) 1x( ，3)2x( ，22) 3x2x(，故其分解式为下列八个部分分式之和：332211221)2x(C)2x(C2xC1xBxAxA2222211)3x2x(ExD3x2xExD例 1求dx6x5x3x2 解：2xB3xA)2x)(3x(3x )0q4p( 6x5x3x22，,)2x)(3x()3x(B)2x(A 6x5x3x2),3x(B)2x(A3x下面用两种方法确定系数 A、B。（ 1） 赋赋 值值 法法

4、令2x ，得B5，5B，令3x ，得A6 ，6A 。（2）比比较较法法,B3A2x)BA()3x(B)2x(A3x5B6A3B3A21B A 2x53x6 6x5x3x2dx6x5x3x2C2xln53xln6 dx)2x53x6( .C)2x()3x(ln56例2求 dxx2xx3x223解：2xC1xBxA)2x)(1x(x3x2x2xx3x223，),1x(Cx)2x(Bx)2x)(1x(A3x2令0 x ，A23，23A，令1x ，B35，35B，令2x，C61，61C， )2x(61) 1x(35x23x2xx3x223，dxx2xx3x2 23dx2x161dx1x135dxx12

5、3.C2xln611xln35xln23例 3求dx) 1x(x12解：22) 1x(C1xBxA) 1x(x1，,Cx) 1x(Bx) 1x(A12 令0 x ，1A ，令1x ，1C ，比较2x项的系数：0BA，1B。22) 1x(11x1x1) 1x(x1，.C1x11xxlndx) 1x(11x1x1dx) 1x(x122例 4求dx)2x2x)(2x(x22解：2x2xCBx)2x(A)2x2x)(2x(x222，)2x)(CBx()2x2x(Ax22，令2x，A24 ，2A ； 令0 x ，)CA(20，2C；比较2x的系数，1BA，1B。2x2x2x2x2)2x2x)(2x(x2

6、22，dx)2x2x2x2x2(dx)2x2x)(2x(x222dx2x2x1dx2x2x2x2212xln22222221) 1x() 1x(d2x2x)2x2x(d212xln2C) 1xarctan(2x2xln212xln22.C) 1xarctan(2x2x)2x(ln223 3有有理理函函数数的的积积分分步步骤骤： 若有理函数)x(R是假分式，则通过除法将)x(R化为 多项式与真分式之和，否则可省去这一步。 将真分式分解为部分分式之和。 求多项式和各部分分式的积分，再相加即得所求之有 理函数的积分。有理函数的积分是积分学中解决得最完善、最彻底的部分。对于形如dxCbxax12的不定

7、积分，可以根据判别式ac4b2的符号确定求不定积分的方法。0ac4b2,配方后代入公式；0ac4b2，分解为部分分式再计算；0ac4b2，凑微分。例如：2222)23()21x()21x(d 0ac4b dx1xx1.C31x2arctan32) 1x)(3x(dx 0ac4b dx3x2x122.C3x1xln41dx)3x11x1(41.C1x1) 1x(dx 0ac4b dx1x2x1222 真分式的积分可以变换成部分分式的积分，而部分分式的 积分可以归结为以下四种类型的积分：(1)dxaxA；(2)1)(n dx)ax(An； (3)0)4q(p dxqpxxNMx22；(4)0)4q

8、p 1,(n dx)qpxx(NMx2n2。 前面三种积分都比较容易，已在上面例题中介绍了它们的解法，最后一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式，这里不再讨论它的解法。 上面介绍的是有理函数积分的常规方法，在具体解题时，应优先考虑其他简便方法。如C8xln318x)8x(d31dx8xx33332。dtttt21dtt) t1 ( dtdx , tx1dx)x1 (x202202202令Ct171t91t191dt)t1t2t1(171819181920.C)x1 (171)x1 (91)x1 (191171819 )x(d)x1 ()x(21 dx)x1 (x25232527dtt1t3t3

9、t121dtt) t1 (21 tx1 2345532令.C)x1 (21)x1 (43)x1 (81)x1 (812223242另解： tdtcos) t(costsin tsinx dx)x1 (x527527 dttcostsin 97) t(tantdtan tdtsecttan 727Cttan818.C)x1 (x81C)x1x(8142882t1x2x1二二、三三角角函函数数有有理理式式的的积积分分由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数称1 1 半半 角角 代代 换换三角函数有理式积分cosx)dx , x(sinR可用“半角代换”法化为有理函数的积分。令t2xtan，则

10、tarctan2x ，dtt12dx2， 2t1t2xsin， 22t1t1xcos，为三三角角函函数数有有理理式式，可用cosx) , x(sinR表示。dtt12)t1t1 ,t1t2(Rcosx)dx , x(sinR2222。例 5求dx1cosxsinxcotx解：令t2xtan，则dtt12dx2，2t1t2xsin，22t1t1xcos，t2t1xcot2，dx1cosxsinxcotxdtt121t1t1t12t2tt122222dtdtt121dt2tt1.C2xtan2xtanln21C ttln21例 6求dxxcos21解：令t2xtan，则dtt12dx2， 22t1

11、t1xcos，dxxcos21dtt312dtt12t1t1212222.C32xtanarctan32C3tarctan32 上面所讲的是三角函数有理式积分的常规方法，因为它要通过半角代换转化为有理函数的积分，所以往往是非常麻烦的，因此具体解题时，应尽量采用其他简便方法。（1）dx) 1x(secxcos1dxxcos11222（2）dxxsin1xsinxdxtandxxcosxsindxxcos)xsin1 (xsin222Cxxtanxsecdx) 1x(secdxxtanxsec2 ).C)2xtanarctan(21)x(tand)2x(tan12例 7求下列不定积分（3）dxxcos2xsin3解： )x(cosdxcos2)xcos1 (dxxcos2xsin23dtt21tdtt2t1 txcos 22令Ct2ln3t2t21dt)t232t (dtt234t22.Cxcos2ln3xcos2xcos212对初等函数来说，在其定义域内它的原函数一定存在，但有些原函数不一定是初等